连续时间周期信号的傅里叶级数

一、实验目的：

1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法。 2、观察由矩形窗函数截断产生的Gibbs现象，了解其特点、产生的原因及消除的方法。

3、掌握周期函数的傅里叶级数计算方法和编程技术。 二、实验原理：

（一）傅里叶级数（FS）展开

周期为T1连续时间周期信号，若满足狄利克莱条件，就可以展开成FS。其中三角形式的傅里叶级数为：

x(t)a02[ak1kcosk1tbksink1t] a02[ak1kcos2T1ktbksin2T1kt]

(1)

其中1a0，ak，和bk2T1，称为信号的基本频率（Fundamental frequency），

分别是信号x(t)的直流分量、余弦分量幅度和正弦分量幅度。

其中：

ak2T1t0T1t0x(t)cosk1tdt bk2T1t0T1t0x(t)sink1tdt (2)

连续时间周期信号x(t)的幅度频谱与相位频谱分别为

Akakbk22 karctanbkak (3)

其中k与频率的关系为k1，因此上式给出了信号基波与各次谐波幅度随频率变化的规律。

三角形式的傅里叶级数表明，一个周期信号x(t) 如果满足狄里克莱条件，那么，它就可以被看作是由很多不同频率的正弦信号所组成，其中每一个不同频率的正弦信号称为正弦谐波分量，其幅度为Ak。反过来理解三角傅里叶级数：用无穷多个正弦谐波分量可以合成一个任意的非正弦周期信号。

（二）吉布斯（Gibbs）现象

当利用(1)式对一个周期函数作实际展开运算时，对k的求和过程不可能进行到无穷，只能到某一有限值K，即相当于在频域用一个矩形窗函数WK(k)与FS的求和式相乘，得到一个频域有限长序列X(k)WK(k)，因此实际FS展开式为

x(t)a02[ak1Kk1kcosk1tbksink1t]WK(k) cosk1tbksink1t]

a0  2[ak (4)

K越大，所选项数越多，有限项级数合成的结果越逼近原信号x(t)。截断引起信号失真，这是由于高频部分信号的损失。这就导致在构成有跃变的连续时间周期函数时，在跃变点的附近存在一个幅度大约为9%的过冲，且所选谐波次数越多，过冲点越向不连续点靠近。这种现象称为Gibbs现象，或称为震铃(ringing)效应。

若在计算机上编程对周期函数x(t)进行FS展开，必须对函数x(t)作等间距抽样。若抽样周期为Ts，且令T1NTs，则为

x(nTs)x(t)tnTsk1k2NTs，（1）式离散化

a02[akcosk12Nnkbksin2Nnk]

(5)

时间抽样后，（4）式离散化为

x(n)a02Kk1[akcos2Nnkbksin2Nnk] (6)

将上式与(4)式比较可见，实际的FS展开式x(n)与x(nTs)之间的误差为

(n,K)kK[akcos2Nnkbksin2Nnk] (7)

上式表明，实际展开后的误差是时间n（t = nTs）和截断频率K（cK1）的函数。

图3-1给出了一个方波信号展开成有限长FS后，在跃变点的附近产生的Gibbs现象，而且不连续的跃变点也扩展成了有一定上升时间的连续函数。

图3-1 方波展开成有限长FS后，在跃变点的附近产生Gibbs现象

为了消除这种频域截断形成的Gibbs现象，通常不采用矩形窗作截断处理，而是采用汉宁（Hanning）窗、海明（Hamming）窗或三角窗等进行加权计算。

1、以0点为中心的Hanning窗（也称为升余弦窗）定义为

2k1) kK/2(1cosw(k)2 K0 otherwise (8)

2、以0点为中心的Hamming窗定义为

2k kK/20.540.46cosw(k) K0 otherwise (9)

3、以0点为中心的三角窗（Bartlett窗）定义为

2k kK/21w(k) K0 otherwise (10)

图3-2中列出了矩形窗、三角窗、Hanning窗和Hamming窗的图像，可以比较它们的差异和类同之处。

w(k) w(k) 1 1

-K/2 0 K/2 -K/2 0 K/2

(a) 矩形窗 (b) 三角窗

w(k) w(k) 1 1

-K/2 0 K/2 -K/2 0 K/2 (c) Hanning窗 (d) Hamming窗

图 3-2 几种加权窗函数的比较

例如图3-1中的方波信号展开式用Hanning窗加权截断后，图像如图3-3所示，显然Gibbs现象已经基本消除。

图 3-3 用Hanning窗加权后方波FS的跃变点附近的Gibbs现象的消除

采用频域Hanning窗加权或Hamming窗加权的方法进行截断，与矩形截断相比，可以减弱或消除Gibbs现象，但不会减小由于频域截断产生的误差，反而因加权导致所截取区域内频谱发生变化，增大了误差。

三、实验内容：

1、将如图3-4所示的奇谐周期方波信号展开成Fourier级数并分别采用频域矩形窗和Hanning窗加权，绘制两种窗函数加权后的方波合成图像。该方波信号的周期为T1=1，振动幅度为A=1。抽样周期选为Ts0.004。

提示：由于该信号是奇谐对称周期函数，展开式中将只有正弦函数的奇次谐波，即

x(n)T1Tskk1,3,5,bsin2kNnWK(k)

其中N，系数bk由(2)式得

bk4T1T1/2x(t)sin2kT1tdt40k k1,3,5,

采用Hanning窗加权，则展开式变为

x(t) 1 -2 -1 0 1 2 t 图 3-4 奇谐方波

Kx(n)k04(2k1)[0.50.5cos2(2k1)K]sin2(2k1)Nn

程序编写如下： K=100 T=1

Ts=0.004 N=T./Ts t=-1:0.02:1 n=t./Ts x1=0 x2=0 x3=0

for k=1:1:K

x1=4./(pi.*(2.*k-1)).*sin(2.*pi.*(2.*k-1).*n./N)+x1

x2=4./(pi.*(2.*k-1)).*sin(2.*pi.*(2.*k-1).*n./N).*(0.5+0.5.*cos((4.*k+2).*pi./K))+x2

x3=4./(pi.*(2.*k-1)).*sin(2.*pi.*(2.*k-1).*n./N).*(ut(n+K/2)-ut(n-K/2))+x3 end subplot(131) plot(n,x1)

title('傅里叶级数') axis([-300,300,-1.2,1.2]) subplot(132) plot(n,x2)

title('Hanning 窗加权') axis([-300,300,-1.2,1.2]) subplot(133) plot(n,x3) title('矩形框加权') axis([-150,150,-1.2,1.2])

function x=ut(t) x=(t>0);

运行截图如下：

2、将图3-5中的锯齿波展开为Fourier级数，按(2)式求出Fourier级数的系数，并在频域分别采用矩形窗、Hanning窗和三角窗加权，观察其Gibbs效应及其消除情况。

x(t) 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 t 图 3-5 锯齿波

程序编写如下：

t=-3:0.1:3 %调用内部函数画锯齿波 y=sawtooth(2.*pi.*t) subplot(231) plot(t,y)

title('锯齿波原函数') axis([-3,3,-1,1])

K=100 %以下是傅立叶级数和各种加权情况 x1=0 x2=0 x3=0 x4=0 t=-5:0.1:5 for k=1:1:K

x1=-sin(2.*pi.*k.*t)./(pi.*k)+x1

x2=-sin(2.*pi.*k.*t).*(0.5+0.5.*cos(2.*pi.*k./K))./(pi.*k)+x2 x3=-sin(2.*pi.*k.*t).*(0.54+0.46.*cos(2.*pi.*k./K))./(pi.*k)+x3 x4=-sin(2.*pi.*k.*t).*(1-2.*k./K)./(pi.*k)+x4

end subplot(232) plot (t,x1) title('傅立叶级数') axis([-5,5,-0.5,0.5]) subplot(233) plot(t,x2) title('矩形窗加权') axis([-5,5,-0.5,0.5]) subplot(234) plot(t,x3)

title('Hanning窗加权') axis([-5,5,-0.5,0.5]) subplot(235) plot(t,x4) title('三角窗加权') axis([-5,5,-0.5,0.5])

程序运行结果如下：