(时间:120分钟 分值:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)
⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) 1.在□ABCD中,若⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷=(2,8),⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵=(-3,4),则𝐴𝐶A.(-1,-12) 答案:B
2.在△ABC中,若A=,BC=3,AB=√6,则C=
3π
B.(-1,12) C.(1,-12) D.(1,12)
( )
A.或 B. C. D.
4
4
4
4
6
π3π3πππ
答案:C
⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则该四边形一3.若四边形ABCD满足⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵+⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷=0,(⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵-⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷)·𝐴𝐶定是( )
A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.直角梯形 答案:C
4.(2020年新高考全国Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形⃗⃗⃗⃗ ·⃗⃗⃗⃗⃗ ABCDEF内的一点,则⃗𝐴𝑃𝐴𝐵的取值范围是 ( )
A.(-2,6) B.(-6,2) 答案:A
5.若点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵在⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷方向上的投影为( )
3√2A. 2
C.(-2,4) D.(-4,6)
3√15 B.
2
3√2C.- 2
3√15D.- 2
答案:A
6.在△ABC中,若AB=BC=3,∠ABC=60°,AD是边BC上的高,则⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值等于 ( ) 𝐴𝐷·𝐴𝐶
A.- B. C. D.9
4
4
4
9927
答案:C
7.在△ABC中,a,b,c分别为A,B,C的对边,如果2b=a+c,B=30°,△ABC的面积为,那么b等于 ( )
23
A.
1+√32
B.1+√3 C.
2+√2 2
D.2√3 答案:B
8.如图,海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°,与O相距 15 n mile的C处.若甲船以35 n mile/h的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25 n mile的B处的乙船,则甲船到达B处需要的时间为( )
A. h
21
B.1 h C. h
23
D.2 h 答案:B
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.若O是平行四边形ABCD对角线的交点,则 ( ) A.⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵=⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐴+⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐶=𝐷𝐵
2
⃗⃗⃗⃗⃗ =1(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.𝑂𝐵C.⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵-⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷=𝐵𝐷𝐷𝐴+⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐴) 答案:AB
10.在△ABC中,若a=5√2,c=10,A=30°,则B可能是 ( ) A.135° B.105° C.45° D.15° 答案:BD
11.已知向量 e1=(-1,2),e2=(2,1),若向量a=λ1e1+λ2e2,则使λ1λ2<0成立的a可能是
( )
D.(0,-1)
A.(1,0) B.(0,1) C.(-1,0) 答案:AC
12.定义平面向量之间的一种运算“☉”:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令a☉b=mq-np,下列说法正确的是 ( )
A.若a与b共线,则a☉b=0 B.a☉b=b☉a
C.对任意的λ∈R,有λa☉b=λ(a☉b) D.(a☉b)2+(a·b)2=|a|2|b|2 答案:ACD
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)
13.在△ABC中,若3a2-2ab+3b2-3c2=0,则cos C的值为.
31
⃗⃗⃗⃗⃗ |,⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则|⃗⃗⃗⃗⃗ 14.若向量⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴=(1,-3),|⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴|=|𝑂𝐵𝑂𝐴·𝑂𝐵𝐴𝐵|=2√5. 15.(本题第一空2分,第二空3分)已知在△ABC
中,AB=AC=4,BC=2,D为AB延长线上一点,连接CD,若BD=2,则△BDC的面积是
√15√10,cos∠CDB=. 24
16.太湖中有一个小岛,沿太湖有一条正南方向的公路,一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上,若汽车沿公路行驶1 km后,测得小岛在南偏西75°的方向上,则小岛到公路的距离是km.
√36
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)
17.(10分)在△ABC中,a=3,b=2√6,B=2A. (1)求cos A的值; (2)求c的值.
解:(1)因为a=3,b=2√6,B=2A, 所以在△ABC中,由正弦定理得所以
2sin𝐴cos𝐴2√6sin𝐴
3
sin𝐴sin2𝐴
=2√6,
=
3
.故cos A=.
√63
√63
(2)由(1),知cos A=, 所以sin A=√1-cos2𝐴=.
因为B=2A,所以cos B=2cos2A-1=.
31
√33
所以sin B=√1-cos2𝐵=
2√2. 3
5√3,所以9
在△ABC中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=c=
𝑎sin𝐶sin𝐴
=5.
18.(12分)如图,在平面直角坐标系中,|⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴|=2|⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵|=2,∠
2π
⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3). OAB=,⃗𝐵𝐶
3
(1)求点B,C的坐标;
(2)求证:四边形OABC为等腰梯形.
(1)解:设点B的坐标为(xB,yB),则xB=|⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴|+|⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵|·cos(π-∠
5√3OAB)=,yB=|⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵|·sin(π-∠OAB)=,
2
2
⃗⃗⃗ =𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ =（5,√3）+(-1,√3)=（3,3√3）, 所以⃗⃗𝑂𝐶𝐵𝐶
22
22
所以点B的坐标为（,）,点C的坐标为（,
1√3⃗⃗⃗ =（3,3√3）,⃗⃗⃗⃗⃗ (2)证明:因为⃗⃗𝑂𝐶𝐴𝐵=（,）,
22
22
5√32233√3）. 22
⃗⃗⃗ =3⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ∥⃗⃗⃗⃗⃗ 所以⃗⃗𝑂𝐶𝐴𝐵,所以⃗⃗𝑂𝐶𝐴𝐵. ⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3),所以|⃗⃗⃗⃗⃗ |=2. 因为⃗𝐵𝐶𝐵𝐶⃗⃗⃗ |≠|⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ |=2, 因为|⃗⃗𝑂𝐶𝐴𝐵|,|⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴|=|⃗𝐵𝐶所以四边形OABC为等腰梯形.
⃗⃗⃗⃗ =(x,y),⃗⃗⃗⃗⃗ 19.(12分)在四边形ABCD中,已知⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵=(6,1),⃗𝐵𝐶𝐶𝐷=(-2,-⃗⃗⃗⃗ ∥⃗⃗⃗⃗⃗ 3),⃗𝐵𝐶𝐷𝐴.
(1)求x与y的解析式;
⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求x,y的值以及四边形ABCD的面积. (2)若𝐴𝐶解:如图所示.
⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ (1)因为⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷=⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵+⃗𝐵𝐶𝐶𝐷=(x+4,y-2), 所以⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐴=-⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷=(-x-4,2-y). ⃗⃗⃗⃗ ∥⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ =(x,y), 因为⃗𝐵𝐶𝐷𝐴,⃗𝐵𝐶所以x(2-y)-(-x-4)y=0,即x+2y=0. ⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ =(x+6,y+1), (2)由题意,得𝐴𝐶𝐴𝐵+⃗𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗𝐵𝐷𝐵𝐶𝐶𝐷=(x-2,y-3).
⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ·⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 因为𝐴𝐶𝐵𝐷即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0.
由(1)可知x=-2y,所以y2-2y-3=0,所以y=3或y=-1. ⃗⃗⃗⃗ =(-6,3),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4),𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-8,0), 当y=3时,x=-6,此时,⃗𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,|𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=8, 所以|𝐴𝐶
1
⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=16. 所以S四边形ABCD=|𝐴𝐶
2
⃗⃗⃗⃗ =(2,-1),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,0),𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-4). 当y=-1时,x=2,此时,⃗𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |=8,|𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,S四边形ABCD=16. 所以|𝐴𝐶
𝑥=-6,𝑥=2,
综上可知{或{
𝑦=3𝑦=-1,S四边形ABCD=16.
20.(12分)如图,某海轮以60 n mile/h的速度航行,在点A测得海面上油井P在南偏东60°,向北航行40 min后到达点B,测得油井P在南偏东30°,海轮改为沿北偏东60°的航向再行驶80 min到达点C,求P,C间的距离.
解:由题意知AB=40 n mile,∠BAP=120°,∠ABP=30°, 所以∠APB=30°,所以AP=40 n mile,
所以BP=AB+AP-2AP·AB·cos 120°=40+40-2×40×40×（-）
2
2
2
2
2
2
1
=402×3,
所以BP=40√3 n mile. 因为∠PBC=90°,BC=80 n mile,
所以PC2=BP2+BC2=(40√3)2+802=11 200, 所以PC=40√7 n mile,
即P,C间的距离为40√7 n mile.
21.(12分)在边长为1的菱形ABCD中,A=60°,E是线段CD上一⃗⃗⃗⃗ |=2|⃗⃗⃗⃗⃗ 点,满足|⃗𝐶𝐸𝐷𝐸|,如图所示,设⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵=a,⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷=b.
⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)用a,b表示𝐵𝐸
(2)在线段BC上是否存在一点F,满足AF⊥BE?若存在,确定点F⃗⃗⃗⃗ |;若不存在,请说明理由. 的位置,并求|⃗𝐴𝐹
⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗ 解:(1)根据题意,得⃗𝐵𝐶𝐴𝐷=b,
222
⃗⃗⃗⃗⃗ =2⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐸𝐶𝐷=⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐴=-⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵=-a,
3
3
3
3
⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ =b-2a. ⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗所以𝐵𝐸𝐵𝐶𝐶𝐸
3
⃗⃗⃗⃗ |的一点F,满足AF⊥⃗⃗⃗⃗ |=|⃗(2)结论:在线段BC上存在使得4|⃗𝐵𝐹𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ |=√21. BE,此时|⃗𝐴𝐹
4
求解如下:
⃗⃗⃗⃗ =tb,则⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-t)b(0≤t≤1), ⃗⃗⃗⃗ =t⃗设⃗𝐵𝐹𝐵𝐶𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ =a+tb. 所以⃗𝐴𝐹𝐴𝐵+⃗𝐵𝐹
因为在边长为1的菱形ABCD中,A=60°, 所以|a|=|b|=1,a·b=|a||b|cos 60°=.
21
因为AF⊥BE,
2222212⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 所以𝐴𝐹·𝐵𝐸=(a+tb)·（b-a）=（1-t）a·b-a+tb=（1-t）×-3
3
3
3
2
23
+t=0,
1
⃗⃗⃗⃗ =a+1b, 解得t=,所以⃗𝐴𝐹
4
4
⃗⃗⃗⃗ |=√⃗⃗⃗⃗⃗ 2=√𝒂2+𝒂·𝒃+所以|⃗𝐴𝐹𝐴𝐹
2
1116
𝒃𝟐=√1+×+
2
2
11
√21. 164
1
=
22.(12分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,且满足 sin A+√3cos A=2. (1)求角A的大小.
(2)现给出三个条件:①a=2;②B=;③c=√3b.试从中选出两个可以
4π
确定△ABC的条件,写出你的方案,并以此为依据求△ABC的面积.(写出一种方案即可)
解:(1)依题意,得2sin（A+）=2,
3π
即sin（A+）=1.
3
π
因为0 3 ππ4π 所以A+=,所以A=. 32 6 πππ (2)参考方案:选择①②. 由正弦定理 𝑎sin𝐴sin𝐵 =𝑏 ,得b= 𝑎sin𝐵sin𝐴 =2√2. 因为A+B+C=π, 所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=所以S△ABC=absin C=×2×2√2×2 2 1 1 √2+√6, 4 √2+√6=√3+1. 4 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容