江苏淮安新马高级中学2019高三10月自主练习-数学理

数学试卷Ⅰ〔理科〕2018/10/13

．．．．．．．

【一】填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分、请把答案填写在答卷纸相应位置上、

1

1、集合A=，B=｛x | 2＜2x+1＜4｝,那么A∩B= ▲ 、

0,1,2,40,1 2、在复平面内，复数23i所对应的点位于第 ▲ 象限、 第二象限

34i▲、

，13

fxa1x2ax3是偶函数，那么

4.假设5、

fx的递增区间为▲、

,0

Y B =▲、15 0,2sin2sin,则cos(2)286.实数x，y满足3x4y50，那么x2y2的最小值为▲、1

7.如右图所示，A(4,0)、B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经 直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到

O P A X P点，那么光线所通过的路程是▲、210

8、数列

an满足a133,an1an2n,那么an的最小值为▲、21

n2为定义在R上的奇函数，当x0时，，那么

fx3x2xaaR9、设

fxf2▲、-4

的图象上任意点处切线的倾斜角为，那么的最x32yx1(0x2)310.假设函数

小值是▲、 3

411、假设点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5AMAB3AC，那么△ABM与△ABC

的面积比为▲、3

512、假设

2Snsinsin77那么在S1，S2，…，S100中，正数的个n*sin(nN),7数是▲、86

13、假设关于x的方程|x|x114、函数f(x)=

kx有三个不等实数根，那么实数k的取值范围是▲、

0,1

(3a1)x4a(x1)(x1)logax在R不是单调函数，那么实数a的取值范围是▲、 ．．．．．．

11(0,)[,1)(1,)73．．．．．．．．

【二】解答题：本大题共6小题，共计90分、请在答卷纸指定区域内作答. 15、〔本小题总分值14分〕函数

3122f(x)sin2x(cosxsinx)122〔1〕求函数f(x)的最小值和最小正周期；

〔2〕设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且c=7，f(C)0，假设向量

m(1,sinA)与向量n（3，sinB）答案：解：〔1〕

共线，求a,b的值。

31f(x)2xcos2x122……………3分

sin(2x)16 2当2x2k(k62)时（2x）mm1626即f(x)mm2T=……………7分 〔2〕

sinB3sinAb3a

11 f(c)sin(2c)10sin(2c)10c2c666662c62即C……………10分

3

由余弦定理C2a2b22abcosc即a1，b3……………14分

16、〔本小题总分值14分〕如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，AB边所

在直线的方程为x3y60点T(11)，在AD边所在直线上、

〔I〕求AD边所在直线的方程； 〔II〕求矩形ABCD外接圆的方程；

〔III〕假设直线l通过点N(2，0)，且与矩形ABCD的外接圆有公共点，求直线的倾斜角的范围、

【答案】解：〔I〕因为AB边所在直线的方程为x3y60，且AD与AB垂直， 因此直线AD的斜率为3、……………2分 又因为点T(11)，在直线AD上，

因此AD边所在直线的方程为y13(x1)、

y3xy20、……………4分

〔II〕由

x3y60，3xy2=0

TD O NA C M B x 解得点A的坐标为(0，2)，……………6分 因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2，0)、 因此M为矩形ABCD外接圆的圆心、 又

AM(20)2(02)222、

从而矩形ABCD外接圆的方程为(x2)2y28、……………10分 〔III〕求出斜率范围……………12分

0，43，4……………14分

17.〔本小题总分值14分〕函数f(x)lg(2x)lg(2x).

〔1〕求函数f(x)的定义域；

〔2〕记函数g(x)10f(x)3x,求函数g(x)的值域； 〔3〕假设不等式f(x)m有解，求实数m的取值范围.

解：〔1〕由题意得，x应满足：2+x＞0，2-x＞0，解得-2＜x＜2，因此f〔x〕的定义域为〔-2，2〕、 〔2〕由于g〔x〕=10f〔x〕+3x，得g〔x〕=-x2+3x+4〔-2＜x＜2〕为二次函数，对称轴为x=3， 2故最大值为g(3)=25最小值为g〔-2〕=-6，故函数g〔x〕的值域为(-625)， 244〔3〕∵不等式f(x)m有解，∴mf(x) max令t4x2，由于2x2，∴0t4 ∴f(x)的最大值为lg4. ∴实数m的取值范围为mlg4

18、〔本小题总分值16分〕函数f(x)ax1lnx(aR)、 〔1〕讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；

〔2〕假设函数f(x)在x1处取得极值，对x(0,),f(x)bx2恒成立， 求实数b的取值范围. 解：〔Ⅰ〕

f(x)a1ax1，…………2分

xx当a0时，f(x)0在(0,)上恒成立，函数f(x)在(0,)单调递减， ∴f(x)在(0,)上没有极值点；……………4分 当a0时，f(x)0得

1，f(x)0得1，

0xxaa∴f(x)在

上递增，即f(x)在1处有极小值、………6分 1上递减，在1x(0,)(,)aaa∴当a0时f(x)在(0,)上没有极值点，

当a0时，f(x)在(0,)上有一个极值点、………………8分 〔Ⅱ〕∵函数f(x)在x1处取得极值，∴a1，……………10分 ∴

，………………12分 1lnxf(x)bx21bxx令

1lnx，可得g(x)在0,e2上递减，在e2,上递增，

g(x)1xx2∴即

g(x)ming(e)11，……………14分

b1e21、………………16分

e219、〔本小题总分值16分〕如下图，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建筑一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要

求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的 半径OMR，MOP45，OB与OM之间的夹角为. 〔1〕将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成的函数. 〔2〕求当为何值时，矩形ABCD的面积S有最大值？ 其最大值是多少？(用含R的式子表示) 解〔Ⅰ〕由题意可知，点M为

的中点，因此OMAD. PQM

D

F

B

Q C

设OM于BC的交点为F，那么BC2Rsin，OFRcos. .……………3分 1ABOFADRcosRsin2O

A P 因此SABBC2Rsin(RcosRsin)R2(2sincos2sin2)……………5分

R2(sin21cos2)2Rsin(2)R422，

(0, )4.……………8分

〔Ⅱ〕因为

(0, )4，那么

3.……………10分

2(, )444

因此当

24，即

2时，S有最大值.……………13分

8Smax(21)R2故当

.……………15分

时，矩形ABCD的面积S有最大值(21)R2.……………16分 820.〔本小题总分值16分〕点〔1，1〕是函数f(x)ax(a0,且a1〕的图象上一点，

3等比数列{a}的前n项和为f(n)c，数列{b}(b0)的首项为c，且前n项和S满

nnnn足

Sn－Sn1=Sn+Sn1〔n2〕.

〔1〕求数列{a}和{b}的通项公式；

nn〔2〕假设数列{c}的通项n〔3〕假设数列{

1n，求数列{cn}的前n项和Rn；

cnbn()31前n项和为Tn，问Tn1000的最小正整数n是多少?

}2013bnbn1解〔1〕

xw. 1,1Qf1afx33,12, af2cf1ca1f1cc2392.

a3f3cf2c27又数列

an成等比数列，

，因此c1； 42a221a181ca323327又公比

n1nnN*；……………………...3a21，因此211qan2a13333分

QSnSn1SnSn1SnSn1SnSn1n2

又b0,,；

Sn0SnSn11n数列

Sn构成一个首相为1公差为1的等差数列，2Sn1n11n，

Snn2

当n2，

bnSnSn1n2n12n1；又其满足bc1，

1*bn2n1(nN)；……………………………….6分

〔2〕、

11cnbn(2n1)33nn

因此RcccLc

n123n1111Rn135L(2n1)3333

1233〔1〕

1Rn3〔2〕

(1)式减〔2〕式得：

11111135L(2n3)(2n1)33333234nn1nn11213142111Rn2L(2n1)3333333………………8

分

化简：

121n11n1n32122(n1)131Rn2(2n1)133333313n1…………………………………………………11分

Rn1n3

因此所求

〔3〕

11111111TnLKb1b2b2b3b3b4bnbn1133557(2n1)2n1

1111111111111n；1K12323525722n12n122n12n1………………………14分 由

n1000得1000，满足1000的最小正整数为77.…………16

TnnTn2n12013132013

分