数学分析课程教学大纲3

课程编号：061009、061010、061011 课程性质：必修 总学时：288 总学分：141、2、3 适用专业：数学系本科各专业 先修课程：中学数学

一、课程简介

数学分析（Mathematical Analysis）是大学数数学专业的一门重要基础课。计划开设三个学期（分别在第一、二、三学期，课时分别为72、108、108，学分分别为4分、6分、6分），共288学时。其主要内容为：变量与函数;极限论;一元函数微积分学基本理论; 多元函数微积分学基本理论;数项级数及函数项级数;幂级数;富里叶级数;广义积分和含参变量的积分等。 二、课程的目的和任务

本课程是大学数数学专业的一门重要基础课。它的任务是使学生获得极限论、一元函数微积分学、无穷级数与多元函数微积分学等方面的系统知识；本课程是进一步学习复变函数、微分方程、微分几何、概率论、实变函数、泛函分析等后续课程的阶梯。

通过本课程的讲授与作业练习应使学生：

（1）对极限的思想和方法有较深的理解和认识，学习科学的思想方法，以利于辩证唯物主义世界观的培养与形成；

（2）正确理解数学分析的基本概念，基本掌握数学分析的论证方法，获得较熟练的演算技能和应用数学知识的能力。 三、本课程的基本要求及内容

第一章 变量与函数 (8学时)

（一）基本要求

1、正确理解和掌握函数概念、函数的运算及函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性等性质; 2、掌握基本初等函数的定义、性质及初等函数的定义。 （二）课程内容

1、函数概念及函数的几何特性； 2、复合函数与反函数； 3、基本初等函数与初等函数;

4、几个常用的非初等函数（符号函数、狄里赫雷数、整数部分函数等）。

第二章 极限与连续 (34学时)

（一）基本要求

1、理解和掌握数列极限与数极限及它们的性质；

2、理解和掌握无穷小与无穷大的概念及它们的性质；

3、掌握求极限的基本方法（四则运算、两边夹法则、单调有界原理、重要极限等）; 4、理和掌握连续函数、一致连续函数的概念与性质，弄清函数间断点的分类; 5、掌握闭区间上连续函数的性质。 （二）课程内容

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1、 数列极限的定义及几何意义； 2、 数列极限的局部性质及运算；

3、 单调有界数列极限存在定理，一个重要极限（lim(1n1n)n。 e）

1、 函数极限的定义（包括单侧极限）及性质和运算； 2、 两个重要极限：limsinxxx01,lim(1x1x)xe

3、 无穷小与无穷大（定义、关系、性质、无穷小的比较和阶）；

4、 函数连续的概念（一点处连续、单侧连续、区间上连续及间断点分类）; 5、 函数在一点处连续的性质;

6、 闭区间上连续函数的性质（有界性、介值性、最值性及一致连续性）； 10、初等函数的连续性。

第三章 关于实数的基本定理 (10学时)

（一）基本要求

1、了解实数集关于极限运算的封闭性;

2、掌握实数连续性的几个基本定理的内容，了解定理的证法； 3、了解闭区间上连续函数性质的证法；

（二）课程内容

1、几个基本定理（确界公理、闭区间定理、致密性定理、柯西收敛原理与有限覆盖定理; 2、闭区间上连续函数性质的证明。

第四章 导数与微分 (20学时)

（一）基本要求

1、掌握导数与微分的概念与几何意义，了解它们的应用；

2、能熟念应用导数的定义与求导法则求函数的导数。 （二）课程内容

1、导数概念（概念引入、导数定义、几何意义、可导与连续的关系）； 2、求导法则（四则运算法则、反函数与复合函数求导法则、基本公式表）； 3、隐函数与参数方程表示的函数的求导法;

4、微分概念（定义、几何意义、微分与导数的关系，一阶微分形式不变性）； 5、微分在近似计算中的运用； 6、高阶导数与高阶微分。

第五章 微分学的基本定量及应用 (20学时)

（一）基本要求

1、掌握中值定理的内容，证法；

2、理解中值定理是沟通函数导数与函数关系的意义。 （二）课程内容 1、中值定理；

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2、泰勒公式；

3、利用导数研究函数的性质（单调性、极值与最值、凸凹性、曲线曲率、函数作图）； 4、洛必达法则; 5、方程的近似解。

第六章 不定积分 (16学时)

（一）基本要求

1、掌握原函数与不定积分的概念；

2、熟念掌握换元积分法与分部积分法，了解有理函数积分法； （二）课程内容

1、不定积分概念（原函数存在性与结构，不定积分概念、性质、运算性质及基本积分表）； 2、换元积分法（凑微分法、换元法），分部积分法； 3、有理函数积分法（掌握dx(ax)22n的递推公式）；

4、三角函数有理式积分及特殊类型的积分，（R(x,n等）。

axbcxd)dx,R(x,ax2bxc)dx第七章 定积分 (18学时)

（一）基本要求

1、正确理解和掌握定积分的概念，了解可积准则，掌握可积函数类；

2、掌握定积分性质，熟练应用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分，掌握定积分的换元积分法和分部积分法;

3、掌握原函数存在的充分条件及原函数存在与可积概念的区别； （二）课程内容

1、定积分的概念（引入实例，定义）；

2、可积条件（达布大和与小和，可积的必要条件与充要条件）； 3、三类可积函数;

4、定积分的性质（线性性、区间可加性、单调性、绝对可积性及第一中值定理）； 5、定积分的计算（变上限定积分、基本公式法，换元积分法与分部积分法）

第八章 定积分的应用和近似计算 (12学时)

（一）基本要求

1、掌握定积分在几何上的应用并了解定积分在物理上的应用； （二）课程内容

1、定积分在几何上的应用（微分法、平面区域的面积、已知截面面积的立体体积、平面曲线的弧长；旋转体的侧面积）;

2、定积分在物理上的应用（液体压力、功、重心，平均值）；

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3、定积分的近似计算（梯形法，抛物线法）

第九章 数项级数 (14学时)

（一）基本要求

1、掌握无穷级数敛散性概念及其基本性质； 2、熟练使用常用判别法判别级数的敛散性。 （二）课程内容

1、数项级数及敛散性（上、下极限，级数部分和，收敛与发散，余和，收敛级数的性质，收敛的必要条件及柯西原理）； 2、正项级数敛散性判别法（比较法，比值法，根值法，积分判别法）；

3、任意项级数敛散性判别法（绝对收敛与条件收敛，交错级数、阿贝耳和狄里克雷判别法）； 4、绝对收敛级数与条件收敛级数的性质；

第十章 广义积分（8学时）

（一）基本要求

1、掌握广义积分与收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念;

2、掌握广义积分敛散性判别的常用方法，了解广义积分与级数的联系。 （二）课程内容

1、无穷限广义积分的概念及敛散性判别法（无穷限积分与级数的关系）; 2、无界函数的广义积分的概念及敛散性判别法。

第十一章 函数项级数、幂级数 (20学时)

（一）基本要求

1、掌握函数项级数的收敛域、和函数及一致收敛等概念； 2、掌握一致收敛的常用判别法及和函数的分析性质；

3、掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域等概念及求法； 4、掌握幂级数的性质及函数的幂级数展开方法； 5、了解连续函数的多项式逼近定理。 （二）课程内容

1、函数项级数的收敛、和函数及一致收敛；

2、一致收敛判别法（柯西准则、优级数判别法、狄尼定理、阿贝尔与狄里赫雷判别法）； 3、和函数的分析性质（连续性、可积性、可微性） 4、幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域；

5、幂级数的性质（内闭一致收敛，和函数的唯一性，可积及可导性）；

6、函数的幂级数展开（展开式的系数、展开式的唯一性、展开的条件、基本展式及在近似计算上的应用）; 7、逼近定理。

第十二章 傅立叶级数 (10学时)

（一）基本要求

掌握傅立叶级数的概念、性质及函数的傅立叶级数展开式条件、方法。

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（二）课程内容

1、傅立叶系数与傅立叶级数（三角函数系的正交性、三角级数、贝塞尔不等式、黎曼引理）； 2、傅立叶级数的一致收敛性；

3、函数的傅立叶级数展开式（周期为2,2l的函数的展开式，奇、偶函数的傅立叶级数）。

第十三章 多元函数的极限与连续 (12学时)

（一）基本要求

1、掌握平面点集、多元函数的概念； 2、掌握平面点集的基本定理；

3、掌握二元函数极限、连续的概念及二重极限与二次极限的关系； （二）课程内容

1、平面点集概念（邻域、内点、外点、边界点、开集、闭集、区域、闭区域等）及几个基本定理（闭域套定理、致密性定理、有限覆盖定理、平面点列收敛原理）; 2、多元函数概念；

3、二元函数的极限（二重极限、二次极限）与连续；

4、有界闭区域上连续函数的性质（有界性、最值性、零点定理）。

第十四章 多元函数微分学 (22学时)

（一）基本要求

1、理解偏导数、全微分的概念，熟练地求偏导数与全微分； 2、弄清偏导数存在、可微、偏导连续等概念的关系； 3、了解偏导数、全微分的几何意义及其应用； 4、掌握多元函数极值、条件极值的概念及求法。 （二）课程内容

1、偏导数与全微分的概念； 2、高阶偏导数与高阶全微分；

3、复合函数的偏导数求导法则，隐函数（组）的求导法则； 4、空间曲线的切线与法平面，空间曲面的切平面与法线; 5、方向导数与梯度；

6、泰勒公式;

7、二元函数的极值，条件极值（拉格朗日乘数法）。

第十五章 隐函数定理及其应用 (6学时)

（一）基本要求

1、掌握隐函数存在的条件，了解隐函数存在定理的证明； 2、掌握函数行列式的性质及函数相关性； （二）课程内容

1、隐函数存在定理（F(x,y)0的情形、多变量及方程组情形、雅可比式）；

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2、函数行列式性质，函数相关性。

第十六章 含参变量的积分（10学时）

（一）基本要求

1、掌握含参变量的积分的概念及其分析性质;

2、掌握含参变量广义积分的一致收敛概念、判别法及其分析性质。 （二）课程内容

1、含参变量积分的概念及分析性质; 2、含参变量广义积分的概念，一致收敛及判别法（优积分判别法、阿贝耳和狄里克雷判别法）。 3、一致收敛积分的性质（连续性、可积性、可微性、积分次序的变换）; 4、欧拉积分。

第十七章 重积分 (22学时)

（一）基本要求

1、掌握二、三重积分的概念、性质及计算方法； （二）课程内容

1、二重积分的概念（概念的引入、定义、性质、可积条件）；

2、二重积分的计算（二重积分化为累次积分、利用极坐标变换及一般变量替换法）； 3、三重积分的概念及计算；

4、重积分几何应用及物理应用（平面区域面积、立体体积、质心、力矩、引力）; 5、广义重积分。

第十八章 曲线积分与曲面积分 (22学时)

（一）基本要求

1、掌握第一、二型曲线积分与曲面积分的概念及计算；

2、弄清格林公式、高斯公式及斯托克斯公式的内容、意义及应用，掌握曲线积分与路径无关的条件；

（二）课程内容

1、两类曲线积分的概念（定义、性质、关系）及计算；

2、格林公式、曲线积分与路径无关性（单连通区域、闭曲线方向）； 3、曲面的侧，两类曲面积分的概念（定义、性质、关系）及计算； 4、高斯公式及斯托克斯公式；

*第十九章 场论初步 (4学时)

（一）基本要求

1、了解场的概念及向量场的散度、旋度。 （二）课程内容 1、场的概念;

2、向量场的散度、旋度; 3、保守场;

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4、算子

四、学时分配的建议 第 一 学 期 章 （或 编） 次 1、变量与函数 2、极限与连续 3、关于实数的基本定理 4、导数与微分 合 计 5、微分学的基本定理及应用 6、不定积分 第二学期 7、定积分 8、定积分的应用和近似计算 9、 数项级数 10、广义积分 11、函数项级数、幂级数 合 计 12、傅里叶级数 第 三 学 期 13、多元函数的极限与连续 14、多元函数微分学 15、隐函数存在定理 16、含参变量的积分 17、重积分 18、曲线积分与曲面积分 19、场论初步 合 计 总 计 四、推荐教材与参考书目 总学时数 讲授学时数 习题课、讨论课学时数 8 34 10 20 72 20 16 18 12 14 8 20 108 10 12 22 6 10 22 22 4 108 288 6 26 8 14 54 14 12 14 10 10 6 14 80 8 10 18 6 8 16 16 4 88 220 2 8 2 6 18 6 4 4 2 4 2 6 28 2 2 4 2 6 6 22 68 数学分析 83年7月 第二版 复旦大数学系编 高等教育出版社 数学分析 91年10月 第二版 华东师大数学系编 高等教育出版社 数学分析习题集 58年6月B.∏.基米多维奇 人民教育出版社

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