19.2.2菱形的判定 导学案

19.2.2菱形的判定 导学案

【学习目标】

1．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；

2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力． 【学习重难点】菱形的两个判定方法． 【学习过程】 一、 温故知新：1．菱形的定义： 2.菱形的性质：边：__________________________;______________________________ 角：__________________________;______________________________ 对角线：______________________________________________________

对称性： . 二、学习新知：

探究一： 如图，四边形是菱形吗？为什么？

归纳：有一组邻边相等的平行四边形是菱形

探究二：用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？

通过探究，容易得到：对角线 的平行四边形是菱形 证明上述结论：

探究三：李芳同学先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？ 请你画一画。

通过探究，容易得到： 的四边形是菱形 证明上述结论： 例1.如图，ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB= 5 ，AC=8，DB=6 求证:四边形ABCD是菱形.

三、练习

1.判断题，对的画“√”错的画“×”

(1).对角线互相垂直的四边形是菱形（ ）

(2).一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形（ ） (3)..对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（ ） (4).对角线相等的四边形是菱形（ ）

2.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？ 求证：（1）四边形ABCD是平行四边形

(2) 过A作AE⊥BC于E点, 过A作AF⊥CD于F.用等积法说明BC=CD. (3) 求证：四边形ABCD是菱形.

ADFBEC

3.已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F． 求证：四边形AFCE是菱形．

4.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点． 求证：MN与PQ互相垂直平分。 A M D

Q P C B N

5．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E． (1)求证：四边形AECD是菱形；

(2)若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．

主备人：胡元云

2012年春季八年级数学下册第19章平行四边形学案

6．如图，□ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝5．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．

(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形； (2)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；

(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，画出图形并写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．

四、中考链接 一、选择题

1. （2011•西宁）用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（ ）

1为圆心，大于2AB的长为半径画弧，两弧相交于C．D，则直线CD即为所求．根据他的作图

方法可知四边形ADBC一定是（ ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 故选：B．

4. (2011襄阳)若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是( ) A．菱形 B．对角线互相垂直的四边形 C．矩形 D．对角线相等的四边形 故选D．

5.（2011清远）如图．若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是（ ）

A、一组临边相等的四边形是菱形 B、四边相等的四边形是菱形 C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D、每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 故选B．

2. （2011•莱芜）如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD．下列结论：

A.AB＝CD D. AC＝BD 故选C． 二、填空题

1. （2011•贵港）如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，

B.AD＝BC C.AB＝BC

若AD=6cm，∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积等于 18

cm2．

1①EG⊥FH，②四边形EFGH是矩形，③HF平分∠EHG，④EG=2（BC﹣AD），⑤四边形EFGH

是菱形．其中正确的个数是（ ）

2. （2011福建省三明市，14,4分）如图，▱ABCD中，对角形AC，BD相交于点O，添加一个条件，能使▱ABCD成为菱形．你添加的条件是 （不再添加辅助线和字母）

A、1 B、2 C、3 D、4 故选C．

3.（2011湖南益阳）如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B

故答案为：AB=BC或AC⊥BD等．

主备人：胡元云

2012年春季八年级数学下册第19章平行四边形学案

三、解答题

1. （2011江苏镇江常州）已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．

∴AB∥CD且AB＝CD，AD∥BC且AD＝BC

11∵E，F分别为AB，CD的中点，∴BE＝2AB，DF＝2CD， ∴四边形DEBF是平行四边形

1在△ABD中，E是AB的中点，∴AE＝BE＝2AB＝AD，而∠DAB＝60°

∴△AED是等边三角形，即DE＝AE＝AD，故DE＝BE ∴平行四边形DEBF是菱形．

（2）四边形AGBD是矩形，理由如下：

∵AD∥BC且AG∥DB ∴四边形AGBD是平行四边形 由（1）的证明知AD＝DE＝AE＝BE，∴∠ADE＝∠DEA＝60°， ∠EDB＝∠DBE＝30° 故∠ADB＝90° ∴平行四边形AGBD是矩形．

3.（2011云南保山）如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E、F，且PE=PF，平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？

解答：证明：∵AD⊥BD， ∴△ABD是Rt△ ∵E是AB的中点，

11∴BE=2AB，DE=2AB （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），

∴BE=DE，

∴∠EDB=∠EBD， ∵CB=CD，

∴∠CDB=∠CBD， ∵AB∥CD，

∴∠EBD=∠CDB，

∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD， ∵BD=BD，

∴△EBD≌△CBD （SAS ）， ∴BE=BC，

∴CB=CD=BE=DE， ∴菱形BCDE．（四边相等的四边形是菱形）

2. （2011新疆乌鲁木齐）如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，点 E、F分别是CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G． （1）求证：四边形DEBF是菱形；

（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明．

解答：解：是菱形．

理由如下：∵PE⊥AB，PF⊥AD，且PE=PF， ∴AC是∠DAB的角平分线， ∴∠DAC=∠CAE，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，

∴∠DCA=∠CAB， ∴∠DAC=∠DCA， ∴DA=DC，

∴平行四边形ABCD是菱形．

4. （2011•贵港）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．

（1）求证：四边形ABED是菱形； （2）若∠ABC=60°，CE=2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形

主备人：胡元云

2012年春季八年级数学下册第19章平行四边形学案

解答：（1）证明：如图，∵AE平分∠BAD， ∴∠1=∠2，

∵AB=AD，AE=AE， ∴△BAE≌△DAE， ∴BE=DE， ∵AD∥BC， ∴∠2=∠3=∠1， ∴AB=BE，

∴AB=BE=DE=AD，

∴四边形ABED是菱形．

（2）解：△CDE是直角三角形．

如图，过点D作DF∥AE交BC于点F， 则四边形AEFD是平行四边形， ∴DF=AE，AD=EF=BE， ∵CE=2BE， ∴BE=EF=FC， ∴DE=EF，

又∵∠ABC=60°，AB∥DE， ∴∠DEF=60°，

∴△DEF是等边三角形， ∴DF=EF=FC，

∴△CDE是直角三角形．

∴EF∥CA，

∴∠AEF=∠EAC， ∵AF=CE=AE，

∴∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA． 又∵AE=EA，

∴△AEC≌△EAF， ∴EF=CA，

∴四边形ACEF是平行四边形． （2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形． 理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90°，

∴AC=，

∵DE垂直平分BC， ∴BE=CE， 又∵AE=CE，

∴CE=，

∴AC=CE，

∴四边形ACEF是菱形．

6. （2011•西宁）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD． （1）求证：四边形AODE是菱形；

（2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE是 矩形 ．

5. （2011•安顺）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．

（1）说明四边形ACEF是平行四边形；

（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．

解答：解：（1）证明：∵矩形ABCD， ∴OA=OC，OD=OB，AC=BD， ∴OA=OD，

∵DE∥CA，AE∥BD，

∴四边形AODE是平行四边形， ∴四边形AODE是菱形． （2）∵DE∥CA，AE∥BD， ∴四边形AODE是平行四边形， ∵菱形ABCD，

解答：（1）证明：由题意知∠FDC=∠DCA=90°，

主备人：胡元云

2012年春季八年级数学下册第19章平行四边形学案

∴AC⊥BD， ∴∠AOD=90°，

∴平行四边形AODE是矩形． 故答案为：矩形．

7. （2011•临沂）如图，△ABC中，AB=AC，AD、CD分別是△ABC两个外角的平分线． （1）求证：AC=AD； （2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形．

解答：证明：（1）∵AB=AC， ∴∠B=∠BCA， ∵AD平分∠FAC， ∴∠FAD=∠B， ∴AD∥BC， ∴∠D=∠DCE， ∵CD平分∠ACE， ∴∠ACD=∠DCE， ∴∠D=∠ACD， ∴AC=AD；

证明：（2）∵∠B=60°，AB=AC，

∴△ABC为等边三角形， ∴AB=BC， ∴∠ACB=60°，

∠FAC=∠ACE=120°，

∴∠BAD=∠BCD=120°，

∴∠B=∠D=60°，

∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB=BC，

∴平行四边形ABCD是菱形．

8. （2011丽江市中考）如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E、F，且PE=PF，平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？

解答：解：是菱形．

理由如下：∵PE⊥AB，PF⊥AD，且PE=PF， ∴AC是∠DAB的角平分线， ∴∠DAC=∠CAE，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，

∴∠DCA=∠CAB， ∴∠DAC=∠DCA， ∴DA=DC，

∴平行四边形ABCD是菱形．

9. （2011浙江宁波）如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点G． （1）求证：DE∥BF； （2）若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．

主备人：胡元云

2012年春季八年级数学下册第19章平行四边形学案

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠4＝∠C，AD＝CB，AB＝CD． ∵点E、F分别是AB、CD的中点，

（2）证明：∵∠BAC=Rt∠，AD上斜边BC上的中线， ∴AD=BD=CD

又∵四边形ADCE是平行四边形 ∴四边形ADCE是菱形

11. （2011•安顺）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE． （1）说明四边形ACEF是平行四边形；

（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．

11∴AE＝2AB，CF＝2CD．∴AE＝CF，∴△ADE≌△CBF，

∴∠3＝∠CBF，∵∠ADB＝∠CBD，∴∠2＝∠FBD，∴DE∥BF， （2）∵∠G＝90°，∴四边形AGBD是矩形，∠ADB＝90°， ∴∠2+∠3＝90°，∴2∠2+2∠3＝180°．∴∠1＝∠2，∠3＝∠4． ∴DE＝AE＝BE，∵AB∥CD，DE∥BF，∴四边形DEBF是菱形．

10. （2011浙江衢州）如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC． （1）求证：AD=EC；

（2）当∠BAC=Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形．

解答：（1）证明：由题意知∠FDC=∠DCA=90°， ∴EF∥CA，

∴∠AEF=∠EAC， ∵AF=CE=AE，

∴∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA． 又∵AE=EA，

∴△AEC≌△EAF， ∴EF=CA，

∴四边形ACEF是平行四边形． （2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形． 理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90°，

1∴AC=2AB，

解答：（1）证明：∵DE∥AB，AE∥BC， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AE∥BD，且AE=BD

又∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD

∴AE∥CD，且AE=CD

∴四边形ADCE是平行四边形 ∴AD=CE

∵DE垂直平分BC， ∴BE=CE， 又∵AE=CE，

1∴CE=2AB ，

∴AC=CE，

∴四边形ACEF是菱形．

主备人：胡元云

2012年春季八年级数学下册第19章平行四边形学案

12. （2011•恩施）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，BC=CD，锐角∠BAC的角平分线AE交BC于点E，AF是CD边上的中线，且PC⊥CD与AE交于点P，QC⊥BC与AF交于点Q．求证：四边形APCQ是菱形．

解答：解：∵AC=AD，AF是CD边上的中线， ∴∠AFC=90°，

∴∠ACF+∠CAF=90°， ∵∠ACF+∠PCA=90°， ∴∠PCA=∠CAF， ∴PC∥AQ， 同理：AP∥QC，

∴四边形APCQ是平行四边形． ∵△PEC≌△QFC， ∴PC=QC，

∴四边形APCQ是菱形．

13. （2011邵阳）在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE．

（1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明； （2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形．（写出你添加的条件，不要求证明）

解答：（1）四边形EFGH的形状是平行四边形．证明：连接AC、BD，∵E、F、G、H分别是

111AB、BC、CD、DA的中点，∴EF∥AC，EF=2AC，HG∥AC，HG=2AC，GF=2BD，∴EF=HG，

EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形． （2）添加的条件是AC=BD．

主备人：胡元云