一元一次方程单元复习
一、知识网络
二、知识要点梳理
知识点一：一元一次方程及解的概念
1、一元一次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。 一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。 2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解 要点诠释：
（1）一元一次方程必须满足的3个条件： 只含有一个未知数； 未知数的次数是1次； 整式方程． （2）判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等．
知识点二：方程变形——解方程的重要依据
1、等式的基本性质（也叫做方程的同解原理）:
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 即：如果
，那么
；(c为一个数或一个式子)。
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
即：如果，那么；如果，那么
2、分数的基本的性质:
分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。
即：（其中m≠0）
注：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，
如方程：
－=1.6，将其化为的形式： －=1.6。方程的右边没有变
1
化。
知识点三：解一元一次方程的一般步骤： 1、解一元一次方程的基本思路： 通过对方程变形，把含有未知数的项归到方程的一边，把常数项归到方程的另一边，最终把方程“转化”成x＝a的形式。
2、解一元一次方程的一般步骤是：
变形名称 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化成1 具体做法 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 变形依据 等式基本性质2 去括号法则、分配律 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都等式基本性质1 移到方程的另一边(记住移项要变号) 把方程化成ax＝b(a≠0)的形式 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程 合并同类项法则 等式基本性质2 的解x＝ 注意： (1)解方程时应注意：
①解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据方程形 式灵活安排求解步骤。熟练后，步骤及检验还可以合并简化。
②去分母时，不要漏乘没有分母的项。去分母是为了简化运算，若不使用，可进行分数运算。 ③去括号时，不要漏乘括号内的项，若括号前为“－”号，括号内各项要改变符号。 (2)在方程的变形中易出现的错误有以下几种情况： ①移项时忘记改变符号；
②去分母时，易忘记将某些整式也乘最简公分母；
③分数线兼有括号的作用，在去分母后，易忘记添加括号；
3、理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:
(1)a≠0时，方程有唯一解；
(2)a=0，b=0时，方程有无数个解； (3)a=0，b≠0时，方程无解。
知识点四：列一元一次方程解应用题的一般步骤:
（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系． （2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．
（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程． （4）解方程．
（5）检验，看方程的解是否符合题意． （6）写出答案．
知识点五：常见的一些等量关系 常见列方程解应用题的几种类型：
2
类型 基本数量关系 等量关系 抓住关键性词语 变形前后体积相等 (1)和、差、倍、分问题 ①较大量＝较小量＋多余量 ②总量＝倍数×倍量 (2)等积变形问题 (3)行程问题 相遇问题 追及问题 路程＝速度×时间 甲走的路程＋乙走的路程＝两地距离 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程 同时不同地出发：前者走的路程＋两地距离＝追者所走的路程 顺逆流问题 (4)劳力调配问题 顺流速度＝静水速度＋水流速度 逆流速度＝静水速度－水流速度 顺流的距离＝逆流的距离 从调配后的数量关系中找相等关系，要抓住“相等”“几倍”“几分之几”“多”“少”等关键词语 各部分工作量之和＝1 抓住价格升降对利润率的影响来考虑 (5)工程问题 (6)利润率问题 工作总量＝工作效率×工作时间 商品利润＝商品售价－商品进价 商品利润率＝×100％ 售价＝进价×(1＋利润率) (7)数字问题 设一个两位数的十位上的数字、个抓住数字所在的位置、新数与原数位上的数字分别为a，b，则这个两之间的关系 位数可表示为10a＋b 利息＝本金×利率×期数 甲∶乙∶丙＝a∶b∶c 本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数×(1－利息税率) 全部数量＝各种成分的数量之和(设一份为x) (8)储蓄问题 (9)按比例分配问题 (10)日历中的问题 日历中每一行上相邻两数，右边的日历中的数a的取值范围是1≤a数比左边的数大1；日历中每一列上≤31，且都是正整数 相邻的两数，下边的数比上边的数大7
四、规律方法指导
解一元一次方程的注意事项：
3
1、分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数；
2、去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相当于除
号，去分母后分子各项应加括号；
3、去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；
4、移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项；
5、系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号； 6、不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法。
列方程解应用题的注意事项：
列一元一次方程解决实际问题的一般步骤也可以概括为：①设未知数。②根据等量关系列方程。③解方程。④检验解的合理性，如果合理就用以解决实际问题，不合理则需要重新回到开始。⑤作答。 列方程解应用题是将实际问题数学化的过程，这个过程的关键是建立等量关系，通过列方程解决实际问题要把握三个重要环节：一是整体的、系统的审清题意；二是找问题中的等量关系；三是正确求解方程并判断解的合理性，其中，审题是基础，找等量关系是关键，为了找准等量关系，可以借助线段、表格、图形等方法进行分析。
经典例题透析
类型一：一元一次方程的有关概念
1、 已知下列各式：
①2x－5＝1；②8－7＝1；③x＋y；④x－y＝x；⑤3x＋y＝6；⑥5x＋3y＋4z＝0；⑦
2
＝8；
⑧x＝0。其中方程的个数是( )
A、5 B、6 C、7 D、8 举一反三：
[变式1]判断下列方程是否是一元一次方程：
（1）-2x+3=x （2）3x-1=2y （3）x+
2
=2 （4）2x-1=1-2(2x-x)
22
[变式2]已知：(a-3)(2a+5)x+(a-3)y+6＝0是一元一次方程，求a的值。
类型二：一元一次方程的解法 1、巧凑整数解方程
4
1、解方程：
举一反三：
[变式]解方程：
2、巧用观察法解方程
＝2x－5
2、解方程：
3、巧去括号解方程
含多层括号的一元一次方程，要根据方程中各系数的特点，选择适当的去括号的方法，以避免繁杂的计算过程。
3、解方程：
举一反三：
[变式]解方程：
4、运用拆项法解方程
5
4、解方程：
5、巧去分母解方程
当方程的分母含有小数，而小数之间又没有特殊的倍数关系时，若直接去分母则会出现比较繁琐的运算。为了避免这样的运算。应把分母化成整数。化整数时，利用分数的基本性质将分子、分母同时扩大相同的倍数即可。
5、解方程：＝1
6、巧组合解方程
6、解方程：
7、巧解含有绝对值的方程
解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号，转化为一般的一元一次方程。对于只含一重绝对值符号的方程，依据绝对值的意义，直接去绝对值符号，化为两个一元一次方程分别解之，即若|x|＝m，则x＝m或x＝－m。
举一反三：
[变式1] 5|x|-16＝3|x|-4
[变式2]
类型三、一元一次方程的综合应用题1．优化方案问题
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1、由于活动需要，78名师生需住宿一晚，，他们住了一些普通双人间和普通三人间，结果每间客房正好住满，且在宾馆给他们打五折优惠的基础上一天一共付住宿费2130元。请你算一算，他们需要双人普通间和三人普通间各多少间？
类型 双人房 三人房
2．行程中的追及相遇问题
普通 (元/间) 140 150 豪华 (元/间) 300 400 2、甲、乙两人从A、B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶.出发后经3小时两人相遇.已知在相遇时乙比甲多行了90千米，相遇后经1小时乙到达A地.问甲、乙行驶的速度分别是多少？
举一反三：
[变式] 甲、乙两地相距240千米，汽车从甲地开往乙地，速度为36千米/时，摩托车从乙地开往
甲地，速度是汽车的。摩托车从乙地出发2小时30分钟后，汽车才开始从甲地开往乙地，问汽车开
出几小时后遇到摩托车？
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3．日历中的方程
3、（1）在日历中(如图(1))，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个数为a，则用含a的代数式表示这三个数(从小到大排列)分别是＿＿＿。
(2)现将连续自然数1至2006按图中(如图(2))的方式排成一个长方形阵列，用一个长方形框出16个数。
①图中框出的这16个数的和是____________。
②在图(2)中，要使一个长方形框出的16个数之和分别等于2000、2006，是否可能？若不可能，试说明
理由；若有可能，请求出该长方形框出的16个数中的最小数和最大数。
举一反三：
[变式1]每人准备一份日历，在各自的日历上任意圈一个竖列上的相邻的四个数，两个分别把自己所圈4个数的和告诉同伴，由同伴求出这个数。 (1)4个数的和等于42。(2)4个数的和等于60。
4．教育储蓄
4、小张在银行存了一笔钱，月利率为2%，利息税为20%，5个月后，他一共取出了本息和为1080元，问它存入的本金是多少元？
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学习成果测评 基础达标：
一、判断正误：
1.含有未知数的代数式是方程（ ）
2.－1是方程x2－5x－6＝0的一个根，也可以说是这个方程的解（ ） 3.方程 | x |＝5的解一定是方程 x－5＝0的解（ ）
4.任何一个有理数都是方程 3x－7＝5x－（2x＋7 ） 的解（ ）
5.无论m和n是怎样的有理数，方程 m x＋n＝0 都是一元一次方程（ ）
二、填空题：
1.方程x＋2＝3的解也是方程ax－3＝5的解时，a＝___________；
2.某地区人口数为m，原统计患碘缺乏症的人占15%，最近发现又有a人患此症，那么现在这个地区患此症的百分比是_________；
3.方程｜x－1|＝1的解是_____________；
4.若3x－2 和 4－5x互为相反数，则x＝_____________； 5.|2x－3y|＋（y－2）2 ＝0 成立时，x2＋y 2 ＝_____________.
三、解下列方程： 1．－
； 2. 3－
；
3．2（0.3x＋4）＝5＋5（0.2x－7）； 4. ； 5. x－
；
四、列方程解应用题：
1、课外数学小组的女同学原来占全组人数的，后来又有4个女同学加入，就占全组
人数的，问课外数学小组原来有多少个同学．
2、A、B两地相距49千米，某人步行从A地出发，分三段以不同的速度走完全程，共用 10小时．已知第一段，第二段，第三段的速度分别是6千米/时，4千米/时，5千米/时，第三 段路程为15千米，求第一段和第二段的路程．
能力提升：
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一、选择题：
1、已知x=2时，2x2+mx+4=6 ；那么当x=-2时，2x2+mx+4的值是（ ）. (A) –18 (B)-10 (C)18 (D)6
2、把方程中的分母化为整数，正确的是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
3、甲、乙两人同时从张庄出发，步行前往李庄。由于乙中途停留了半小时，因而比甲晚15分钟，则以
下相等关系正确的是（ ）.
(A)甲行走时间+0.5=乙行走时间+0.25 (B)甲行走时间－0.5=乙行走时间+0.25 (C)甲行走时间+0.25=乙行走时间+0.5 (D)甲行走时间－0.25=乙行走时间－0.5
二、填空题：
1、由方程 2、
三、解答题： 1、设
变形为的依据是__________，把方程两边都_____________。
是一元一次方程，则m=____________。
若，求x的值。
2、若
的解，求代数式的值
3、解方程：
4、一份试卷共有25个选择题，每题均给出四个答案，其中只有一个正确的，要求学生将正确的答案选出来，每题选对得4分，不选或选错扣1分，一学生得了75分，他选对几题？该学生的得分可能是74分吗？
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