一元一次方程单元复习
一、知识网络
二、知识要点梳理
知识点一:一元一次方程及解的概念
1、一元一次方程的概念:只含有一个未知数,并且未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。 一元一次方程的标准形式是:ax+b=0(其中x是未知数,a,b是已知数,且a≠0)。 2、方程的解:使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解 要点诠释:
(1)一元一次方程必须满足的3个条件: 只含有一个未知数; 未知数的次数是1次; 整式方程. (2)判断一个数是否是某方程的解:将其代入方程两边,看两边是否相等.
知识点二:方程变形——解方程的重要依据
1、等式的基本性质(也叫做方程的同解原理):
等式的性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等。 即:如果
,那么
;(c为一个数或一个式子)。
等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等。
即:如果,那么;如果,那么
2、分数的基本的性质:
分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数,分数的值不变。
即:(其中m≠0)
注:分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数(特别是分母中的小数)化为整数,
如方程:
-=1.6,将其化为的形式: -=1.6。方程的右边没有变
1
化。
知识点三:解一元一次方程的一般步骤: 1、解一元一次方程的基本思路: 通过对方程变形,把含有未知数的项归到方程的一边,把常数项归到方程的另一边,最终把方程“转化”成x=a的形式。
2、解一元一次方程的一般步骤是:
变形名称 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化成1 具体做法 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 先去小括号,再去中括号,最后去大括号 变形依据 等式基本性质2 去括号法则、分配律 把含有未知数的项都移到方程的一边,其他项都等式基本性质1 移到方程的另一边(记住移项要变号) 把方程化成ax=b(a≠0)的形式 在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程 合并同类项法则 等式基本性质2 的解x= 注意: (1)解方程时应注意:
①解方程时,表中有些变形步骤可能用不到,并且也不一定按照自上而下的顺序,要根据方程形 式灵活安排求解步骤。熟练后,步骤及检验还可以合并简化。
②去分母时,不要漏乘没有分母的项。去分母是为了简化运算,若不使用,可进行分数运算。 ③去括号时,不要漏乘括号内的项,若括号前为“-”号,括号内各项要改变符号。 (2)在方程的变形中易出现的错误有以下几种情况: ①移项时忘记改变符号;
②去分母时,易忘记将某些整式也乘最简公分母;
③分数线兼有括号的作用,在去分母后,易忘记添加括号;
3、理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况,并能进行简单应用:
(1)a≠0时,方程有唯一解;
(2)a=0,b=0时,方程有无数个解; (3)a=0,b≠0时,方程无解。
知识点四:列一元一次方程解应用题的一般步骤:
(1)审题,分析题中已知什么,未知什么,明确各量之间的关系,寻找等量关系. (2)设未知数,一般求什么就设什么为x,但有时也可以间接设未知数.
(3)列方程,把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来,列出方程. (4)解方程.
(5)检验,看方程的解是否符合题意. (6)写出答案.
知识点五:常见的一些等量关系 常见列方程解应用题的几种类型:
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类型 基本数量关系 等量关系 抓住关键性词语 变形前后体积相等 (1)和、差、倍、分问题 ①较大量=较小量+多余量 ②总量=倍数×倍量 (2)等积变形问题 (3)行程问题 相遇问题 追及问题 路程=速度×时间 甲走的路程+乙走的路程=两地距离 同地不同时出发:前者走的路程=追者走的路程 同时不同地出发:前者走的路程+两地距离=追者所走的路程 顺逆流问题 (4)劳力调配问题 顺流速度=静水速度+水流速度 逆流速度=静水速度-水流速度 顺流的距离=逆流的距离 从调配后的数量关系中找相等关系,要抓住“相等”“几倍”“几分之几”“多”“少”等关键词语 各部分工作量之和=1 抓住价格升降对利润率的影响来考虑 (5)工程问题 (6)利润率问题 工作总量=工作效率×工作时间 商品利润=商品售价-商品进价 商品利润率=×100% 售价=进价×(1+利润率) (7)数字问题 设一个两位数的十位上的数字、个抓住数字所在的位置、新数与原数位上的数字分别为a,b,则这个两之间的关系 位数可表示为10a+b 利息=本金×利率×期数 甲∶乙∶丙=a∶b∶c 本息和=本金+利息=本金+本金×利率×期数×(1-利息税率) 全部数量=各种成分的数量之和(设一份为x) (8)储蓄问题 (9)按比例分配问题 (10)日历中的问题 日历中每一行上相邻两数,右边的日历中的数a的取值范围是1≤a数比左边的数大1;日历中每一列上≤31,且都是正整数 相邻的两数,下边的数比上边的数大7
四、规律方法指导
解一元一次方程的注意事项:
3
1、分母是小数时,根据分数的基本性质,把分母转化为整数;
2、去分母时,方程两边各项都乘各分母的最小公倍数,此时不含分母的项切勿漏乘,分数线相当于除
号,去分母后分子各项应加括号;
3、去括号时,不要漏乘括号内的项,不要弄错符号;
4、移项时,切记要变号,不要丢项,有时先合并再移项,以免丢项;
5、系数化为1时,方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数,不要弄错符号; 6、不要生搬硬套解方程的步骤,具体问题具体分析,找到最佳解法。
列方程解应用题的注意事项:
列一元一次方程解决实际问题的一般步骤也可以概括为:①设未知数。②根据等量关系列方程。③解方程。④检验解的合理性,如果合理就用以解决实际问题,不合理则需要重新回到开始。⑤作答。 列方程解应用题是将实际问题数学化的过程,这个过程的关键是建立等量关系,通过列方程解决实际问题要把握三个重要环节:一是整体的、系统的审清题意;二是找问题中的等量关系;三是正确求解方程并判断解的合理性,其中,审题是基础,找等量关系是关键,为了找准等量关系,可以借助线段、表格、图形等方法进行分析。
经典例题透析
类型一:一元一次方程的有关概念
1、 已知下列各式:
①2x-5=1;②8-7=1;③x+y;④x-y=x;⑤3x+y=6;⑥5x+3y+4z=0;⑦
2
=8;
⑧x=0。其中方程的个数是( )
A、5 B、6 C、7 D、8 举一反三:
[变式1]判断下列方程是否是一元一次方程:
(1)-2x+3=x (2)3x-1=2y (3)x+
2
=2 (4)2x-1=1-2(2x-x)
22
[变式2]已知:(a-3)(2a+5)x+(a-3)y+6=0是一元一次方程,求a的值。
类型二:一元一次方程的解法 1、巧凑整数解方程
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1、解方程:
举一反三:
[变式]解方程:
2、巧用观察法解方程
=2x-5
2、解方程:
3、巧去括号解方程
含多层括号的一元一次方程,要根据方程中各系数的特点,选择适当的去括号的方法,以避免繁杂的计算过程。
3、解方程:
举一反三:
[变式]解方程:
4、运用拆项法解方程
5
4、解方程:
5、巧去分母解方程
当方程的分母含有小数,而小数之间又没有特殊的倍数关系时,若直接去分母则会出现比较繁琐的运算。为了避免这样的运算。应把分母化成整数。化整数时,利用分数的基本性质将分子、分母同时扩大相同的倍数即可。
5、解方程:=1
6、巧组合解方程
6、解方程:
7、巧解含有绝对值的方程
解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号,转化为一般的一元一次方程。对于只含一重绝对值符号的方程,依据绝对值的意义,直接去绝对值符号,化为两个一元一次方程分别解之,即若|x|=m,则x=m或x=-m。
举一反三:
[变式1] 5|x|-16=3|x|-4
[变式2]
类型三、一元一次方程的综合应用题1.优化方案问题
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1、由于活动需要,78名师生需住宿一晚,,他们住了一些普通双人间和普通三人间,结果每间客房正好住满,且在宾馆给他们打五折优惠的基础上一天一共付住宿费2130元。请你算一算,他们需要双人普通间和三人普通间各多少间?
类型 双人房 三人房
2.行程中的追及相遇问题
普通 (元/间) 140 150 豪华 (元/间) 300 400 2、甲、乙两人从A、B两地同时出发,甲骑自行车,乙骑摩托车,沿同一条路线相向匀速行驶.出发后经3小时两人相遇.已知在相遇时乙比甲多行了90千米,相遇后经1小时乙到达A地.问甲、乙行驶的速度分别是多少?
举一反三:
[变式] 甲、乙两地相距240千米,汽车从甲地开往乙地,速度为36千米/时,摩托车从乙地开往
甲地,速度是汽车的。摩托车从乙地出发2小时30分钟后,汽车才开始从甲地开往乙地,问汽车开
出几小时后遇到摩托车?
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3.日历中的方程
3、(1)在日历中(如图(1)),任意圈出一竖列上相邻的三个数,设中间的一个数为a,则用含a的代数式表示这三个数(从小到大排列)分别是___。
(2)现将连续自然数1至2006按图中(如图(2))的方式排成一个长方形阵列,用一个长方形框出16个数。
①图中框出的这16个数的和是____________。
②在图(2)中,要使一个长方形框出的16个数之和分别等于2000、2006,是否可能?若不可能,试说明
理由;若有可能,请求出该长方形框出的16个数中的最小数和最大数。
举一反三:
[变式1]每人准备一份日历,在各自的日历上任意圈一个竖列上的相邻的四个数,两个分别把自己所圈4个数的和告诉同伴,由同伴求出这个数。 (1)4个数的和等于42。(2)4个数的和等于60。
4.教育储蓄
4、小张在银行存了一笔钱,月利率为2%,利息税为20%,5个月后,他一共取出了本息和为1080元,问它存入的本金是多少元?
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学习成果测评 基础达标:
一、判断正误:
1.含有未知数的代数式是方程( )
2.-1是方程x2-5x-6=0的一个根,也可以说是这个方程的解( ) 3.方程 | x |=5的解一定是方程 x-5=0的解( )
4.任何一个有理数都是方程 3x-7=5x-(2x+7 ) 的解( )
5.无论m和n是怎样的有理数,方程 m x+n=0 都是一元一次方程( )
二、填空题:
1.方程x+2=3的解也是方程ax-3=5的解时,a=___________;
2.某地区人口数为m,原统计患碘缺乏症的人占15%,最近发现又有a人患此症,那么现在这个地区患此症的百分比是_________;
3.方程|x-1|=1的解是_____________;
4.若3x-2 和 4-5x互为相反数,则x=_____________; 5.|2x-3y|+(y-2)2 =0 成立时,x2+y 2 =_____________.
三、解下列方程: 1.-
; 2. 3-
;
3.2(0.3x+4)=5+5(0.2x-7); 4. ; 5. x-
;
四、列方程解应用题:
1、课外数学小组的女同学原来占全组人数的,后来又有4个女同学加入,就占全组
人数的,问课外数学小组原来有多少个同学.
2、A、B两地相距49千米,某人步行从A地出发,分三段以不同的速度走完全程,共用 10小时.已知第一段,第二段,第三段的速度分别是6千米/时,4千米/时,5千米/时,第三 段路程为15千米,求第一段和第二段的路程.
能力提升:
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一、选择题:
1、已知x=2时,2x2+mx+4=6 ;那么当x=-2时,2x2+mx+4的值是( ). (A) –18 (B)-10 (C)18 (D)6
2、把方程中的分母化为整数,正确的是( )
(A) (B)
(C) (D)
3、甲、乙两人同时从张庄出发,步行前往李庄。由于乙中途停留了半小时,因而比甲晚15分钟,则以
下相等关系正确的是( ).
(A)甲行走时间+0.5=乙行走时间+0.25 (B)甲行走时间-0.5=乙行走时间+0.25 (C)甲行走时间+0.25=乙行走时间+0.5 (D)甲行走时间-0.25=乙行走时间-0.5
二、填空题:
1、由方程 2、
三、解答题: 1、设
变形为的依据是__________,把方程两边都_____________。
是一元一次方程,则m=____________。
若,求x的值。
2、若
的解,求代数式的值
3、解方程:
4、一份试卷共有25个选择题,每题均给出四个答案,其中只有一个正确的,要求学生将正确的答案选出来,每题选对得4分,不选或选错扣1分,一学生得了75分,他选对几题?该学生的得分可能是74分吗?
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