吉林省长春市朝阳区实验中学2020-2021学年高二上学期期末数学(文)试题

末数学（文）试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．为了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析，在这个问题中，5000名学生成绩的全体是（ ） A．总体 的容量

B．个体

C．从总体中抽取的一个样本

D．样本

t32．已知某物体的运动方程是st，则当t3s时的瞬时速度是（ ）

9A．2m/s

B．3m/s

C．4m/s

D．5m/s

3．设定点F1(2,0)，F2(2,0)，平面内满足PF1PF24的动点P的轨迹是（ ） A．椭圆

B．线段

C．双曲线

D．不存在

x24．双曲线y21的渐近线方程是（ ）

4A．y±4x＝0

B．y±2x＝0

C．x±2y＝0

D．x±4y＝0

5．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 A．对立事件 C．不可能事件

B．互斥但不对立事件 D．以上都不对

6．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是（ ） ．．

A．甲的极差是29 C．甲罚球命中率比乙高

B．甲的中位数是24 D．乙的众数是21

7．北宋欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿.因曰：‘我亦无他，唯手熟尔.’”可见技能都能通过反复苦练而达至熟能生巧之境地.若铜钱是半径为1.5cm的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为

（ ） A．

1 B．

1 2C．

1 4D．

1 98．已知随机事件A,B,C中，A与B互斥，B与C对立，且PA0.3,PC0.6，则PAB（ ） A．0.3

B．0.6

C．0.7

D．0.9

9．执行如图所示的程序框图，输出的S( )

A．25 B．9 C．17 D．20

x2y210．已知F1、F2为椭圆1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若

259F2AF2B12，则|AB|= ( )

A．6

B．7

C．5

D．8

11．已知函数f(x)x32ax2a2x的极小值点是x1，则a（ ） A．0或1

12．对于函数fxB．3或1

C．1

D．3

lnx,下列说法正确的有（ ） x1①f(x)在xe处取得极大值；

e②f(x)有两个不同的零点； ③f4ffe

A．0个

二、填空题

B．1个 C．2个 D．3个

13．为了了解1200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样考虑用系统抽样，则分段的间隔k为_______________

14．从湖中打一网鱼，共M条，做上记号再放回湖中；数天后再打一网鱼共有n条，其中有k条有记号，则能估计湖中有鱼____________条.

215．已知点P在抛物线y4x上，那么点P到点Q(2,1)的距离与点P到抛物线焦点

距离之和取得最小值时，点P的坐标为______

x2y216．已知离心率为e1的椭圆C1：221(a1b10)和离心率为e2的双曲线C2：

a1b1x2y221(a20,b20)有公共的焦点F1,F2,P是它们在第一象限的交点,且2a2b22F1PF260,则e12e2的最小值为__________________.

三、解答题

17．已知抛物线C:x24y的焦点为F，椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率e3.求椭圆E的方程． 218．已知抛物线的顶点在原点,过点A(-4,4)且焦点在x轴. （1）求抛物线方程;

（2）直线l过定点B(-1,0)与该抛物线相交所得弦长为8,求直线l的方程. 19．影响消费水平的原因很多，其中重要的一项是工资收入.研究这两个变量的关系的一个方法是通过随机抽样的方法，在一定范围内收集被调查者的工资收入和他们的消费状况.下面的数据是某机构收集的某一年内上海、江苏、浙江、安徽、福建五个地区的职工平均工资与城镇居民消费水平（单位：万元）.

地区 职工平均工资x 城镇居民消费水平y

（1）利用江苏、浙江、安徽三个地区的职工平均工资和他们的消费水平，求出线性回

上海 9.8 6.6 江苏 6.9 4.6 浙江 6.4 4.4 安徽 6.2 3.9 福建 5.6 3.8 归方程ybxa，其中bxi1nixyiyixynxyiinxi1nx2i1nxi12inx2，aybx；

（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过1万，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问所得的线性回归方程是否可靠？（b的结果保留两位小数）

（参考数据：6.94.66.44.46.23.984.08，6.926.426.22127.01） 20．为了调查某省高三男生身高情况，现从某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组157.5,162.5，第二组162.5,167.5，…，第六组182.5,187.5，下图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图.



（1）求该学校高三年级男生的平均身高；

（2）利用分层抽样的方式从这50名男生中抽出20人，求抽出的这20人中，身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数；

（3）从根据（2）选出的身高在177.5cm以上（含177.5cm）的男生中任意抽取2人，求此二人来自于不同组的概率.

21．已知函数f（x）＝ax－3lnx（a为常数）与函数g（x）＝互相平行． （1）求a的值；

（2）求函数y＝f（x）在[1，2]上的最大值和最小值． 22．已知函数fxxlnx2axx，aR．

23－xlnx在x＝1处的切线2（Ⅰ）若fx在0,内单调递减，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若函数fx有两个极值点分别为x1，x2，证明：x1x2

1． 2a参考答案

1．A 【解析】

试题分析：由题意得，根据抽样的概念可知，这5000名学生成绩的全体是样本的总体，故选A.

考点：抽样的概念. 2．C 【分析】

根据瞬时速度为位移对应导数值求解. 【详解】

32tt当t3s时的瞬时速度是为s导函数在t3的值，因为st，所以s1，因此当

9332t3s时的瞬时速度是14，选C.

3【点睛】

本题考查导数在物理上的应用，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．B 【分析】

由动点到两定点距离之和等于两定点距离可知，该动点轨迹为线段. 【详解】

定点F1（-2，0）、F2（2，0），则满足|PF1|+|PF2|=4=|F1F2|的动点P的轨迹为线段F1F2， 故选B． 【点睛】

主要考查了椭圆定义，属于基础题.这类型题要注意比较定值与|F1F2|的大小关系，当

PF1PF2F1F2时，动点P的轨迹为椭圆；当|PF1||PF2||F1F2|时，动点P的轨迹

为线段；当|PF1||PF2||F1F2|时，动点P的轨迹不存在. 4．C 【分析】

直接在双曲线的方程中把1变为0，可求得渐近线方程.

【详解】

x2由双曲线的方程为双曲线y21.

4xx2则令y20，得y，即x2y0

24所以双曲线的渐近线方程为：x2y0. 故选：C 【点睛】

本题考查根据双曲线的方程求渐近线方程，属于基础题. 5．B 【分析】

本题首先可以根据两个事件能否同时发生来判断出它们是不是互斥事件，然后通过两个事件是否包含了所有的可能事件来判断它们是不是对立事件，最后通过两个事件是否可能出现来判断两个事件是否是不可能事件，最后即可得出结果．， 【详解】

因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不可能同时发生，所以它们是互斥事件， 因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不包含所有的可能事件，所以它们不是对立事件，所以它们是互斥但不对立事件，故选B． 【点睛】

本题考查了事件的关系，互斥事件是指不可能同时发生的事件，而对立事件是指概率之和为1的互斥事件，不可能事件是指不可能发生的事件，考查推理能力，是简单题． 6．B 【分析】

通过茎叶图找出甲的最大值及最小值求出极差判断出A对；找出甲中间的两个数，求出这两个数的平均数即数据的中位数，判断出D错；根据图的数据分布，判断出甲的平均值比乙的平均值大，判断出C对． 【详解】 由茎叶图知

甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为29，故A对

甲中间的两个数为22，24，所以甲的中位数为

222423故B不对 2甲的命中个数集中在20而乙的命中个数集中在10和20，所以甲的平均数大，故C对 乙的数据中出现次数最多的是21，所以D对 故选B． 【点睛】

茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况． 7．D 【分析】

根据几何概型可知，油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率等于正方形空的面积与铜钱的面积之比，即可求出. 【详解】

铜钱的面积s1.52，正方形孔的面积s0.520.25， 根据几何概型知，P=【点睛】

本题主要考查了概率，几何概型，属于中档题. 8．C 【分析】

由对立事件概率关系得到B发生的概率，再由互斥事件的概率计算公式求P(A + B). 【详解】

因为P(C)0.6，事件B与C对立，所以P(B)0.4，又P(A)0.3，A与B互斥，所以

s0.251.故选D. 2s1.59P(AB)P(A)P(B)0.30.40.7，故选C.

【点睛】

本题考查互斥事件的概率，能利用对立事件概率之和为1进行计算，属于基本题. 9．C 【分析】

直接利用循环结构，计算循环各个变量的值，当T41620S，不满足判断框的条件，

退出循环输出结果即可． 【详解】

按照程序框图依次执行为S1，n0，T0；

S9，n2，T044；

S17，n4，T41620S，

退出循环，输出S17．故应选C． 【点睛】

解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 10．D 【分析】

运用椭圆的定义，可得三角形ABF2的周长为4a=20，再由周长，即可得到AB的长． 【详解】

x2y2=1的a=5， 椭圆259由题意的定义，可得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a， 则三角形ABF2的周长为4a=20， 若|F2A|+|F2B|=12， 则|AB|=20﹣12=8． 故答案为D 【点睛】

本题考查椭圆的方程和定义，考查运算能力，属于基础题． 11．D 【解析】

分析：求函数导数，由极值点处导数为0，解得a的值，结合函数单调性检验极小值点即可. 详解：由函数fxx2axax，求导得：f'x3x4axa.

32222根据题意得：f10，解得a1或3. 当a1时，fx3x4x1x13x1，

2fx0,fx单调递增，1,,?fx0,fx单调递减. 在,1,?所以x1为极大值点，不满足题意.

当a3时，fx3x12x93x1x3，

213fx0,fx单调递减，1,,?fx0,fx单调递增. 在3,1,?所以x1为极小值点，满足. 所以a3. 故选D.

点睛：本题主要考查导数的几何意义以及利用导数判断函数的单调性与函数的极值，属于中档题.求函数fx极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数fx；(3) 解方程

fx0,求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查fx在fx0的根x0左右两侧

值的符号，如果左正右负（左增右减），那么fx在x0处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么fx在x0处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值. 12．C 【分析】

先求导得，f(x)'1lnx，再利用导数的应用可得函数yf(x)的增区间为0,e，减x区间为e,，然后逐一判断各命题即可得解. 【详解】

函数fx的定义域为0,，由fx''lnx1lnx'，则f(x)， xx令f(x)0，解得：0xe，令f(x)0，解得：xe， 则函数yf(x)的增区间为0,e，减区间为e,，

即在xe处取得极大值f(e)令fx错误；

1，即①正确； elnx0，得lnx0，可得x1.综上可得函数yf(x)只有一个零点，即②x由函数yf(x)的减区间为e,，又43e， ∴f4f正确，

即说法正确的为①、③， 故选：C. 【点睛】

fe，即③

本题考查了利用导数研究函数的单调区间及极值，重点考查了函数单调性的应用，属基础题. 13．30 【解析】

解：由题意知本题是一个系统抽样，总体中个体数是1200，样本容量是40，根据系统抽样的步骤，得到分段的间隔K=14．

1200=30，故答案为30． 40Mn k【分析】 按比例计算． 【详解】

估计湖中有鱼x条，则

MkMn，x． xnk故答案为：【点睛】

Mn． k本题考查用样本数据特征估计总体，解题时把样本的频率作为总体频率计算即可． 15．1,1 4【分析】

由抛物线定义可得PFPQPP，由此可知当P为QQ1与抛物线的交点1PQPQ1时，PFPQ取得最小值，进而求得点P坐标.

【详解】

由题意得：抛物线焦点为F1,0，准线为x1 作PP1，QQ1垂直于准线，如下图所示：

由抛物线定义知：PFPP1

PFPQPP（当且仅当Q,P,P1三点共线时取等号） 1PQPQ1即PFPQ的最小值为QQ1，此时P为QQ1与抛物线的交点 P1,1 41故答案为,1

4【点睛】

本题考查抛物线线上的点到焦点的距离与到定点距离之和最小的相关问题的求解，关键是能够熟练应用抛物线定义确定最值取得的位置. 16．

23 2【分析】

由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴长为2a2，P在双曲线的右支上，由已

22222知条件结合双曲线和椭圆的定义推出a13a24c，由此能求出e1e2的最小值.

【详解】

由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴长为2a2，

P在双曲线的右支上，

由椭圆的定义PF1PF22a1，

由双曲线的定义PF1PF22a2， 所以有PF1a1a2，PF2a1a2， 因为F1PF260，

222由余弦定理可得(a1a2)(a1a2)(a1a2)(a1a2)4c，

222整理得a13a24c，

所以

3a22a12c2c2a123a22a123a223a221a12323ee2221121，

a1a24a124a224a124a224a124a22222123a22a12当且仅当22时取等号，

a1a2故答案是：【点睛】

该题考查的是有关根据共焦点的椭圆和双曲线相交，在相应的焦点三角形中，利用题中所给的条件，求其离心率的运算式的最值的问题，涉及到的知识点有椭圆的定义，双曲线的定义，余弦定理，基本不等式，属于简单题目.

23. 2x217．y21.

4【分析】

由点抛物线焦点F是椭圆的一个顶点可得b1，由椭圆离心率e程可求． 【详解】

3c3得，椭圆方2a2x2y2设椭圆E的方程为221，半焦距为c．

ab由已知条件，F0,1，b1，

c3，a2b2c2， a2x2解得a2，b1．所以椭圆E的方程为y21．

4【点睛】

本题考查了利用待定系数法求椭圆方程，属于基础题. 18．（1）y24x（2）yx1,yx1 【解析】

分析：（1）可先设出抛物线的方程：

，然后代入点计算即可；

（2）已知弦长所以要先分析斜率存在与不存在的情况，）①当直线l的斜率不存在时，直线l：x=-1验证即可，②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线为联立方程根据弦长公式求解即可. 详解：（1）设抛物线方程为

，得p=2

则

抛物线过点

（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l：x=-1

与抛物线交于

、

，弦长为4，不合题意

②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线为

消y得

弦长=解得得

所以直线l方程为或

点睛：考查抛物线的定义和标准方程，以及直线与抛物线的弦长公式的应用，注意讨论是解题容易漏的地方，属于基础题.

19．(1) y0.88x1.42. (2) 得到的线性回归方程是可靠的. 【分析】

ˆ，aˆ，再代入ybxa即可; （1）先计算出x，y代入公式求出b（2）将x9.8与x5.6代入比较即可． 【详解】 解：（1）x6.96.46.24.64.43.96.5，y4.3.

33ˆ84.0836.54.30.230.88， b127.0136.520.26ˆ4.30.886.51.42， a∴所求线性回归方程为y0.88x1.42.

（2）当x9.8时，y0.889.81.427.204，7.2046.60.6041， 当x5.6时，y0.885.61.423.508，3.83.5080.2921， 所以得到的线性回归方程是可靠的. 【点睛】

本题考查线性回归方程的计算，属于基础题． 20．（1）171.5cm（2）4（3）【分析】

（1）结合频率分布直方图，求样本数据的平均值即可； （2）利用分层抽样的方法，按比例抽取样本即可； （3）由古典概型概率的求法，结合概率公式求解即可. 【详解】

解：（1）由频率分布直方图可得：该学校高三年级男生的平均身高为

2 3(157.5162.5162.5167.5167.5172.5172.5177.5177.5182.50.020.040.060.0422222

即该学校高三年级男生的平均身高为171.5cm；

（2）由频率分布直方图可知身高在177.5cm以上（含177.5cm）的概率为0.02520.2， 则利用分层抽样的方式从这50名男生中抽出20人，则抽出的这20人中，身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数为200.24人；

（3）由（2）可知，所抽取的4人中，177.5,182.52人，182.5,187.52人，

不妨设177.5,182.5的2人编号为A,B, 182.5,187.5的2人编号为1，2， 则从4人中抽取2人共有A,1, A,2,A,B,B,1,B,1,1,2共6种不同取法， 二人来自于不同组共有A,1, A,2 ,B,1,B,1共4种不同取法，

42， 632故二人来自于不同组的概率为.

3即二人来自于不同组的概率为【点睛】

本题考查了频率分布直方图，重点考查了分层抽样及古典概型概率的求法，属基础题. 21．（1）a＝2（2）最小值为3－3ln【分析】

（1）由导数的几何意义可得f′（1）＝g′（1），再求解即可；

（2）先利用导数研究函数数y＝f（x）在[1，2]的单调性，然后求最值即可得解. 【详解】

解：（1）f′（x）＝a－

3；最大值为2 23（x>0），g′（x）＝－（lnx＋1），由已知有f′（1）＝g′（1）， x即a31，解得a＝2.

（2）由（1）得：f（x）＝2x－3lnx. 令f′（x）＝2－∴当x∈（1,当x∈（

33＝0，解得x＝， x23）时，f′（x）<0，f（x）单调递减； 23,2）时，f′（x）>0，f（x）单调递增． 2e2又f（1）＝2，f（2）＝4－3ln2，f（2）－f（1）＝2－3ln2＝ln<0.

833）＝3－3ln，最大值为f（1）＝2， 223故函数f（x）在[1，2]上的最小值为3－3ln，最大值为2.

2∴函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（【点睛】

本题考查了导数的几何意义，重点考查了利用导数求函数的最值，属中档题. 22．（Ⅰ）,；（Ⅱ）证明见解析.

e4【分析】

（I）对原函数求导，根据f(x)在(0,)内的单调性得4a立，构造函数g(x)lnx2在x0,上恒成xlnx2，求出其最大值即可求出a的取值范围; x（Ⅱ）函数f(x)有两个极值点分别为x1，x2，等价于f'(x)lnx24ax0在

x0,内有两根x1，x2，将极值点代入作差，设0x1x2，得到a0时原不等式成

x211x1x2x1t立；a0时，将原不等式转化为，t(0,1)，构造函数ln，令

xx1x221x2h(t)2(t1)lnt，证明h(t)h(1)0，即原不等式成立. t1【详解】

（I）由题可知fxlnx24ax，x0，

fx在0,内单调递减，

内恒成立，

∴fxlnx24ax0在0,即4alnx2在0,内恒成立， xxlnx21lnx，则gx令gx， xxx2∴当0x1时，gxe10，即gx在0,内为增函数，

e当x1时，gxe10，即gx在,内为减函数，

ee1ggx∴maxe，即4ae，a，

4e∴a,；

（Ⅱ）若函数fx有两个极值点分别为x1，x2， 则fxlnx24ax0在0,内有两根x1，x2，

e4lnx24ax101，两式相减，得lnx1lnx24ax1x2，

lnx24ax022不妨设0x1x2， 当a0时，x1x21恒成立， 2ax1x211当a0时，要证明x1x2，只需证明， 4ax1x22alnx1lnx22a2x1x2x1x2x211xlnx1， lnx1lnx2，即证明2x1x21x2即证明

令tx1，t(0,1)， x2令h(t)2(t1)lnt， t1(t1)2h'(t)0，

t(t1)2h(t)在t(0,1)上单调递减，

h(t)h(1)0， 2(t1)lnt， t1x121x2lnx1成立， 即

x1x21x2x1x2【点睛】

1. 2a本题主要考查导数在研究函数中的应用，不等式的转化，构造函数讨论是解决问题的关键.