2021-2022学年福建省三明市九年级（上）期末数学试卷（一检）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）一元二次方程2x2﹣1＝6x化成一般形式后，常数项是﹣1，一次项系数是（ ） A．﹣2
B．﹣6
C．2
D．6
2．（4分）下列各组图形中，不一定相似的是（ ） A．任意两个等腰直角三角形 B．任意两个等边三角形 C．任意两个矩形 D．任意两个正方形
3．（4分）抛物线y＝﹣x2+2x﹣7与y轴的交点坐标为（ ） A．（7，0）
B．（﹣7，0）
C．（0，7）
D．（0，﹣7）
4．（4分）如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，B，C，D，E，F，若DE＝7，EF＝10，则
𝐴𝐵𝐵𝐶
的值为（ ）
A．
710
B．
107
C．
7
17
D．
1017
25．（4分）将二次函数y＝x2﹣4x+3通过配方可化为y＝a（x﹣h）+k的形式，结果为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝（x+2）2+3 D．y＝（x+2）2﹣1
6．（4分）如图所示几何体的左视图是（ ）
第1页（共24页）
A． B．
C． D．
7．（4分）某种芯片实现国产化后，经过两次降价，每块芯片单价由128元降为88元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意，可列方程（ ） A．128（1﹣x2）＝88 C．128（1﹣2x）＝88
B．88（1+x）2＝128 D．128（1﹣x）2＝88
8．（4分）如图，小勇在探究课本“综合与实践”中的“制作视力表”时，根据测试距离为5m的标准视力表制作了一个测试距离为3m的视力表．如果标准视力表中“E”的高a是72.7mm，那么制作出的视力表中相应“E”的高b是（ ）
A．121.17mm
B．43.62mm
C．43.36mm
D．29.08mm
9．（4分）若点A（1，y1），B（2，y2），C（m，y3）在抛物线y＝a（x+1）2+c（a≠0）上，且m的值不可能是（ ） A．5
B．3
C．﹣3
D．﹣5
10．（4分）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝6，点E，F分别在边AB，AD上，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，若点G恰好为CD边的中点，则AE的长为（ ）
A．
43
B．
214
C．
34
√15
D．3√3
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）小华在解方程x2＝3x时，只得出一个根是x＝3，则被他漏掉的一个根是x＝ ．
第2页（共24页）
12．（4分）若=，则
𝑏
2
𝑎5𝑎−𝑏𝑎+𝑏
= ．
13．（4分）在不透明的袋中装有仅颜色不同的一个红球和一个蓝球，从此袋中随机摸出一个小球，然后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的球颜色不同的概率是 ． 14．（4分）小莉和小林同时站在阳光下，测得身高150cm的小莉影子长为120cm，小林的影子比小莉的影子长20cm，则小林的身高比小莉高 cm．
15．（4分）如图，点A，B为反比例函数y=𝑥（x＞0）图象上的两点，过点A作x轴的垂线，垂足为C，AC与OB交于点D，OD=OB．若△OCD的面积为2，则k的值为 ．
2
3𝑘
16．（4分）如图，ABCD中，∠ACB＝30°，AC的垂直平分线分别交AC，BC，AD于点O，E，F，点P在OF上，连接AE，PA，PB．若PA＝PB，现有以下结论： ①△PAB为等边三角形； ②△PEB∽△APF； ③∠PBC﹣∠PAC＝30°； ④EA＝EB+EP．
其中一定正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（8分）解方程：2x2﹣4x﹣1＝0．
18．（8分）如图，点E为矩形ABCD外一点，AE＝DE．求证：△ABE≌△DCE．
第3页（共24页）
19．（8分）已知关于x的方程x2﹣5x+m＝0． （1）若方程有一根为﹣1，求m的值； （2）若方程无实数根，求m的取值范围．
20．（8分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E为AD的中点，点F在BC的延长线上，且∠BEF＝90°，求BF的长．
21．（8分）如图，已知△ABC，点D在BC延长线上，且CD＝BC． （1）求作▱ACDE；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若F是DE的中点，连接BF交AC于点M，连接CE交BF于点N，求
𝑀𝑁𝑁𝐹
的值．
22．（10分）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，其中BC段是恒温阶段，CD段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
（1）求a的值；
（2）大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10℃，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？
第4页（共24页）
23．（10分）某智力竞答节目共有10道选择题，每道题有且只有一个选项是正确的．小明已答对前7题，答对最后3题就能顺利通关，其中第8题有A，B两个选项，第9题和第10题都有A，B，C三个选项，假设这3道题小明都不会，只能从所有选项中随机选择一个，不过小明还有两次“求助”没有用（使用一次“求助”可以让主持人在该题的选项中去掉一个错误选项，每道题最多只能使用一次“求助”）．
（1）若小明在竞答第8题和第9题时都使用了“求助”，求小明能顺利通关的概率； （2）从概率的角度分析，如何使用两次“求助”，竞答通关的可能性更大．
24．（12分）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝k•AC，△ADE是由△ABC绕点A逆时针旋转某个角度得到的，BC与DE交于点F，直线BD与EC交于点G． （1）求证：BD＝k•EC； （2）求∠CGD的度数；
（3）若k＝1（如图②），求证：A，F，G三点在同一直线上．
25．（14分）抛物线y＝ax+bx+c（a≠0）经过点A（﹣4，0）和点B（5，）．
4
2
9
（1）求证：a+b=4；
（2）若抛物线经过点C（4，0）．
①点D在抛物线上，且点D在第二象限，并满足∠ABD＝2∠BAC，求点D的坐标；
第5页（共24页）
1
②直线y＝kx﹣2（k≠0）与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左侧），点P是直线MN下方的抛物线上的一点，点Q在y轴上，且四边形MPNQ是平行四边形，求点Q的坐标．
第6页（共24页）
2021-2022学年福建省三明市九年级（上）期末数学试卷（一检）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）一元二次方程2x2﹣1＝6x化成一般形式后，常数项是﹣1，一次项系数是（ ） A．﹣2
B．﹣6
C．2
D．6
【解答】解：一元二次方程2x2﹣1＝6x化成一般形式为： 2x2﹣6x﹣1＝0， ∴一次项系数是﹣6， 故选：B．
2．（4分）下列各组图形中，不一定相似的是（ ） A．任意两个等腰直角三角形 B．任意两个等边三角形 C．任意两个矩形 D．任意两个正方形
【解答】解：A．所有的等腰直角三角形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项不合题意；
B．所有的等边三角形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项不合题意； C．所有的矩形，对应边不一定成比例，对应角一定相等，故不一定相似，故本选项符合题意；
D．所有的正方形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项不合题意． 故选：C．
3．（4分）抛物线y＝﹣x2+2x﹣7与y轴的交点坐标为（ ） A．（7，0）
B．（﹣7，0）
C．（0，7）
D．（0，﹣7）
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+2x﹣7， ∴当x＝0时，y＝﹣7，
即抛物线y＝﹣x2+2x﹣7与y轴的交点坐标是（0，﹣7）， 故选：D．
4．（4分）如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，B，C，D，
第7页（共24页）
E，F，若DE＝7，EF＝10，则
𝐴𝐵𝐵𝐶
的值为（ ）
A．
710
B．
107
C．
7
17
D．
1017
【解答】解：∵a∥b∥c， ∴
𝐴𝐵𝐵𝐶
=
𝐷𝐸𝐸𝐹
=
7
10
，
故选：A．
2
5．（4分）将二次函数y＝x2﹣4x+3通过配方可化为y＝a（x﹣h）+k的形式，结果为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝（x+2）2+3 D．y＝（x+2）2﹣1
【解答】解：y＝x2﹣4x+3＝（x2﹣4x+4）﹣1＝（x﹣2）2﹣1， 即y＝（x﹣2）2﹣1． 故选：A．
6．（4分）如图所示几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从左边看，是一个长方形，长方形的中间偏上的部分有一条虚线． 故选：D．
7．（4分）某种芯片实现国产化后，经过两次降价，每块芯片单价由128元降为88元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意，可列方程（ ）
第8页（共24页）
A．128（1﹣x2）＝88 C．128（1﹣2x）＝88
【解答】解：设每次降价的百分率为x， 依题意得：128（1﹣x）2＝88． 故选：D．
B．88（1+x）2＝128 D．128（1﹣x）2＝88
8．（4分）如图，小勇在探究课本“综合与实践”中的“制作视力表”时，根据测试距离为5m的标准视力表制作了一个测试距离为3m的视力表．如果标准视力表中“E”的高a是72.7mm，那么制作出的视力表中相应“E”的高b是（ ）
A．121.17mm
B．43.62mm
C．43.36mm
D．29.08mm
【解答】解：如图，依题意得△OAB∽△OCD 则即
𝐶𝐷𝐴𝐵𝑏
=
𝐷𝑂𝐵𝑂53
，
72.7
=，
解得：b≈121.17． 故选：A．
9．（4分）若点A（1，y1），B（2，y2），C（m，y3）在抛物线y＝a（x+1）2+c（a≠0）上，且m的值不可能是（ ） A．5
B．3
C．﹣3
D．﹣5
【解答】解：∵点A（1，y1），B（2，y2），C（m，y3）在抛物线y＝a（x+1）2+c（a≠0）上，
∴y1＝4a+c，y2＝9a+c，y3＝（m+1）2a+c，
第9页（共24页）
∴y3﹣y1＝[（m+1）2﹣4]a＝（m+3）（m﹣1）a， ∵a≠0，
∴（m+3）（m﹣1）≠0， ∴m≠﹣3，m≠1，
∴y3﹣y2＝[（m+1）2﹣9]a＝（m+4）（m﹣2）a， ∴（m+4）（m﹣2）≠0， ∴m≠﹣4，m≠2， ∴m可取5、3、﹣5， ∴m的值不可能是﹣3； 故选：C．
10．（4分）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝6，点E，F分别在边AB，AD上，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，若点G恰好为CD边的中点，则AE的长为（ ）
A．
43
B．
214
C．
34
√15
D．3√3
【解答】解：连接BD、BG，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝6，∠C＝∠BAD＝60°， ∴△BCD是等边三角形， ∵点G恰好为CD边的中点， ∴∠BGC＝90°，
在Rt△BCG中，CG=2BC＝3， BG=√𝐵𝐶2−𝐶𝐺2=3√3，
第10页（共24页）
1
设AE＝x，则BE＝6﹣x， ∵△AEF沿EF翻折得到△GEF， ∴EG＝AE＝x，
∵四边形ABCD是菱形， ∴CD∥AB， ∴∠GBE＝90°，
在Rt△BGE中，BE2+BG2＝GE2， ∴（6﹣x）2+（3√3）2＝x2， 解得x=4， 故选：B．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）小华在解方程x2＝3x时，只得出一个根是x＝3，则被他漏掉的一个根是x＝ 0 ． 【解答】解：∵x2＝3x， ∴x2﹣3x＝0， ∴x（x﹣3）＝0， ∴x＝0或x﹣3＝0， ∴x1＝0，x2＝3， 故答案为：0． 12．（4分）若=，则
𝑏
2𝑎𝑏𝑎
5
𝑎−𝑏𝑎+𝑏
21
= 37 ．
【解答】解：∵=，
2
5
∴设a＝5k，b＝2k， ∴
𝑎−𝑏𝑎+𝑏3𝑘3
7=
5𝑘−2𝑘5𝑘+2𝑘
=7𝑘 =， 故答案为：．
73
13．（4分）在不透明的袋中装有仅颜色不同的一个红球和一个蓝球，从此袋中随机摸出一个小球，然后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的球颜色不同的概率是
第11页（共24页）
12 ．
【解答】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中两次摸出的球颜色不同的结果有2种， ∴两次摸出的球颜色不同的概率为=，
4
22
1
故答案为：．
2
1
14．（4分）小莉和小林同时站在阳光下，测得身高150cm的小莉影子长为120cm，小林的影子比小莉的影子长20cm，则小林的身高比小莉高 25 cm． 【解答】解：设小林的身高为xm， 由题意可得：
150120
=
𝑥120+20
，
解得：x＝175．
所以175﹣150＝25（cm）． 故答案为：25．
15．（4分）如图，点A，B为反比例函数y=（x＞0）图象上的两点，过点A作x轴的垂线，垂足为C，AC与OB交于点D，OD=3OB．若△OCD的面积为2，则k的值为 9 ．
2𝑘
𝑥
【解答】解：作BE⊥x轴于E， ∵AC⊥x轴于C， ∴AC∥BE， ∴
𝐵𝐸𝐶𝐷
=
𝑂𝐸𝑂𝐶
=
𝑂𝐵𝑂𝐷
，
设点D坐标为（a，b）， ∵OD=3OB，
第12页（共24页）
2
∴BE=CD，OE=OC， ∴点B的坐标为（a，b），
2
23
3
3
232∴k=4ab，
∵△OCD的面积为2， ∴ab＝2，
21
9
∴ab＝4， ∴k=ab＝9． 故答案为：9．
94
16．（4分）如图，ABCD中，∠ACB＝30°，AC的垂直平分线分别交AC，BC，AD于点O，E，F，点P在OF上，连接AE，PA，PB．若PA＝PB，现有以下结论： ①△PAB为等边三角形； ②△PEB∽△APF； ③∠PBC﹣∠PAC＝30°； ④EA＝EB+EP．
其中一定正确的是 ①③④ ．（写出所有正确结论的序号）
【解答】解：①如图，连接CP，
第13页（共24页）
∵EF垂直平分AC于点O，且点P在OF上， ∴PA＝PC， ∵PA＝PB， ∴PA＝PB＝PC，
∴点A，B，C在以点P为圆心，以PA长为半径的圆上， ∵∠ACB＝30°，
∴∠APB＝2∠ACB＝60°， ∴△PAB为等边三角形， ∴①正确，
②在AF上取点G，使FG＝FP，连接PG， ∵EF垂直AC于点O， ∴∠COE＝90°， ∵∠ACB＝30°，
∴∠CEO＝90°﹣∠ACB＝60°， ∵AD∥BC，
∴∠AFE＝∠FEC＝∠CEO＝60°， ∴△FGP是等边三角形， ∴∠FGP＝60°，FG＝FP＝GP， ∵EF垂直平分AC， ∴EA＝EC，
由平行四边形的中心对称性知，EC＝AF， ∴AE＝AF，
∴△AEF是等边三角形， ∴AF＝EF， ∴AG＝EP，
由①知，∠APB＝60°，
第14页（共24页）
∴∠APF+∠BPE＝120°，
∵∠APF+∠PAF＝180°﹣∠AFP＝120°， ∴∠PAF＝∠BPE即∠PAG＝∠BPE， ∴△APG≌△PBE（SAS），
∵∠AFP＝60°，∠APG+∠PAG＝∠FGP＝60°， ∴∠AFP＝∠PAG+∠APG， ∴∠AFP＞∠APG， ∵∠GAP＝∠PAF， ∴△ABP与△APF不相似， ∴△PEB与△APF不相似， ∴②不正确， ③∵PB＝PC， ∴∠PBC＝∠PCB， ∵PA＝PC， ∴∠PAC＝∠PCA，
∴∠PBC﹣∠PAC＝∠PCB﹣∠PCA＝∠ACB＝30°， ∴③正确，
④由②知△APG≌△PBE， ∴EB＝GP， ∵GP＝GF， ∴EB＝GF， ∵AF＝AG+GF， ∴AF＝EB+EP， ∵EA＝AF， ∴EA＝EB+EP， ∴④正确， 故答案为：①③④．
三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（8分）解方程：2x2﹣4x﹣1＝0． 【解答】解：∵2x2﹣4x﹣1＝0，
第15页（共24页）
∴2x2﹣4x＝1， 则x2﹣2x=2，
∴x2﹣2x+1=，即（x﹣1）2=， 则x﹣1＝±∴x1=
√6， 232321
2+√62−√6，x． 2=2218．（8分）如图，点E为矩形ABCD外一点，AE＝DE．求证：△ABE≌△DCE．
【解答】证明：∵AE＝DE． ∴∠EAD＝∠EDA， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠BAD＝∠CDA， ∴∠EAD+∠BAD＝∠EDA+∠CDA， ∴∠EAB＝∠EDC， 在△ABE和△DCE中， 𝐸𝐴=𝐸𝐷
{∠𝐸𝐴𝐵=∠𝐸𝐷𝐶， 𝐴𝐵=𝐷𝐶
∴△ABE≌△DCE（SAS）．
19．（8分）已知关于x的方程x2﹣5x+m＝0． （1）若方程有一根为﹣1，求m的值； （2）若方程无实数根，求m的取值范围． 【解答】解：（1）∵方程有一根为﹣1， ∴1+5+m＝0， ∴m＝﹣6． ∴m的值为﹣6． （2）∵方程无实数根，
第16页（共24页）
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×m＜0， ∴m＞25， 425
∴m的取值范围为m＞4．
20．（8分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E为AD的中点，点F在BC的延长线上，且∠BEF＝90°，求BF的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，且∠BEF＝90°， ∴∠A＝∠BEF，
∵∠ABE+∠EBF＝90°，∠F+∠EBF＝90°， ∴∠ABE＝∠F， ∴△ABE∽△EFB， ∴
𝐴𝐸𝐸𝐵
=
𝐵𝐸𝐹𝐵
，
∵AB＝AD＝2，E为AD的中点， ∴AE＝DE＝1．
在Rt△ABE中，BE=√𝐴𝐵2+𝐴𝐸2=√22+12=√5， ∴1√5=
√5， 𝐵𝐹
∴BF＝5．
21．（8分）如图，已知△ABC，点D在BC延长线上，且CD＝BC． （1）求作▱ACDE；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若F是DE的中点，连接BF交AC于点M，连接CE交BF于点N，求
𝑀𝑁𝑁𝐹
的值．
第17页（共24页）
【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图，
∵四边形ACDE是平行四边形， ∴AC∥DE， ∴△BCM∽△BDF， ∴
𝐵𝐶𝐵𝐷
=
𝐶𝑀𝐷𝐹
，
∵CD＝BC， ∴BD＝2BC， ∴DF＝2CM， ∵点F是DE的中点， ∴EF＝DF＝2CM， ∵AC∥DE， ∴△CMN∽△EFN， ∴
𝑀𝑁𝑁𝐹
=
𝐶𝑀𝐸𝐹
=．
2
1
22．（10分）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，其中BC段是恒温阶段，CD段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
（1）求a的值；
（2）大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系
第18页（共24页）
统开启前的温度是10℃，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？
【解答】解：（1）设CD对应函数解析式为 把B（24，10）代入y=（a≤x≤24）中得： k＝24×10＝240， ∴y=𝑥， 当y＝20时，20=
240
， 𝑥240
𝑘𝑥解得x＝12，即a＝12；
（2）设AB的解析式为：y＝mx+n（0≤x≤2）， 把（0，10）、（2，20）代入y＝mx+n中得：{𝑚=5解得：{，
𝑛=10
∴AB的解析式为：y＝5x+10， 当y＝12时，12＝5x+10，解得x＝0.4， 12=𝑥，x＝20， ∴20﹣0.4＝19.6，
答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有19.6小时．
23．（10分）某智力竞答节目共有10道选择题，每道题有且只有一个选项是正确的．小明已答对前7题，答对最后3题就能顺利通关，其中第8题有A，B两个选项，第9题和第10题都有A，B，C三个选项，假设这3道题小明都不会，只能从所有选项中随机选择一个，不过小明还有两次“求助”没有用（使用一次“求助”可以让主持人在该题的选项中去掉一个错误选项，每道题最多只能使用一次“求助”）．
（1）若小明在竞答第8题和第9题时都使用了“求助”，求小明能顺利通关的概率； （2）从概率的角度分析，如何使用两次“求助”，竞答通关的可能性更大．
第19页（共24页）
𝑛=10
，
2𝑚+𝑛=20
240
【解答】解：（1）小明在竞答第8题和第9题时都使用了“求助”，那么第10题没有使用“求助”，
假设A表示第8题的正确选项，B表示第9题的正确选项，C表示第10题的正确选项， 第8题使用了“求助”后只剩下一个正确选项A，第9题使用了“求助”后剩下的两个选项是B，C， 画树状图如图：
共有6种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况， ∴小明能顺利通关的概率为：；
61
（2）小明使用两次“求助”有三种情况：
①第8题和第9题，由（1）知能顺利通关的概率为；
6161
②第8题和第10题，同理可知能顺利通关的概率为； ③第9题和第10题，那么第8题没有使用“求助”，
假设A表示第8题的正确选项，B表示第9题的正确选项，C表示第10题的正确选项， 第9题使用了“求助”后剩下的两个选项是B，C，第10题使用了“求助”后剩下的两个选项是B，C， 画树状图如图：
由上图可知，共有8种等可能的结果，小明能顺利通关的只有1种情况，所以能顺利通
第20页（共24页）
关的概率为，
8
16
1
＞，
8
1
故在竞答第8题和第9题时都使用“求助”，或在竞答第8题和第10题时都使用“求助”，可使”竞答通关的可能性更大．
24．（12分）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝k•AC，△ADE是由△ABC绕点A逆时针旋转某个角度得到的，BC与DE交于点F，直线BD与EC交于点G． （1）求证：BD＝k•EC； （2）求∠CGD的度数；
（3）若k＝1（如图②），求证：A，F，G三点在同一直线上．
【解答】（1）证明：由旋转的性质可知：AE＝AC，AD＝AB，∠EAD＝∠CAB， ∴
𝐴𝐸𝐴𝐷
=
𝐴𝐶𝐴𝐵
，∠EAC＝∠DAB，
∴△EAC∽△DAB， ∴
𝐸𝐶𝐵𝐷
=
𝐴𝐶𝐴𝐵
=，
𝑘
1
∴BD＝k•EC；
（2）解：∵△EAC∽△DAB， ∴∠ACE＝∠ABD， 点A、B、G、D四点共圆， ∴∠CGD+∠BAC＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠CGD＝90°；
（3）证明：如图②，连接CD，
第21页（共24页）
当k＝1时，AB＝AC，
则△ABC和△ADE都为等腰直角三角形， ∴AC＝AD，∠ACB＝∠ADE＝45°， ∴∠ACD＝∠ADC， ∵∠ACE＝∠ADB ∴∠ACG＝∠ADG， ∴∠GCG＝∠GDC＝45°， ∴GC＝GD，∠FCD＝∠FDC， ∴FC＝FD，
∴A、F、D都在线段CD的垂直平分线上， ∴A，F，G三点在同一直线上．
25．（14分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣4，0）和点B（5，）．
49
（1）求证：a+b=4；
（2）若抛物线经过点C（4，0）．
①点D在抛物线上，且点D在第二象限，并满足∠ABD＝2∠BAC，求点D的坐标； ②直线y＝kx﹣2（k≠0）与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左侧），点P是直线MN下方的抛物线上的一点，点Q在y轴上，且四边形MPNQ是平行四边形，求点Q的坐标．
16𝑎−4𝑏+𝑐=0①【解答】（1）证明：由题意得：{9，
25𝑎+5𝑏+𝑐=4②②﹣①得：9a+9b=4， ∴a+b=4；
第22页（共24页）
1
9
1
（2）抛物线过（4，0），（﹣4，0）， ∴b＝0， ∴a=4，c＝﹣4， ∴y=𝑥2−4，
①∵A（﹣4，0），B（5，，
49
1
41
∴直线AB的关系式是：y=4𝑥+1，
作BE∥x轴交y轴于E，设BD交y轴于F，直线AB交y轴于G， ∴∠EBA＝∠BAC，OG＝1，OE=， ∴EG＝OE﹣OG=， ∵∠ABD＝2∠BAC， ∴∠ABD＝2∠EBA， ∴EF＝EG=，
∴OF＝OE+EF=4+4=2， ∴F（0，），
27
9
5
7
5
454941
∴直线BF的关系式是：y=−𝑥+， 由𝑥2−4=−4𝑥+2得，
41
1
7
1472x1＝5，x2＝﹣6，
当x＝﹣6时，y=4×(−6)2=4＝5， ∴D（﹣6，5）； ②由𝑥2−4＝kx﹣2得，
41
1
x2﹣4kx﹣8＝0， ∴x1+x2＝4k，
∴y1+y2＝k（x1+x2）﹣4＝4k2﹣4， 设Q（0，a），
∵四边形MPNQ是平行四边形，
第23页（共24页）
∴P（4k，4k2﹣4﹣a）， ∴×(4𝑘)2−4＝4k2﹣4﹣a，
41
∴a＝0， ∴Q（0，0）．
第24页（共24页）
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容