单元形成性评价(一)(第一、二章)
(120分钟 150分)
一、单选题(每小题5分，共40分)
1．设全集为R，集合A＝{1，2，3}，B＝{x|y＝A．{1，2} B．{1} C．{1，3} D．{1，2，3} 【解析】B＝{x|x≥2}，
所以RB＝{x|x＜2}，且A＝{1，2，3}， 所以A∩(RB)＝{1}． 2．若集合A＝{x∈N|x≤A．{a}⊆A B．a⊆A C．{a}∈A D．a∉A 【解析】A＝{x∈N|x≤
2 020}，
2，
2 020}，a＝2
2，则下列结论正确的是()
x－2}，则A∩(RB)＝()
所以A中元素全是整数，因为a＝2所以a∉A.
3．(2021·某某高一检测)设a＝x2＋y2－2x＋2y＋1，b＝－4，则实数a，b的大小关系() A．a＜b B．a＞b
C．a＝b D．与x，y取值有关
【解析】选B.a－b＝x2＋y2－2x＋2y＋5＝(x－1)2＋(y＋1)2＋3＞0，所以a＞b. 4．“x2－2x>0”是“x>2”的() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
- 1 - / 14
考试
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【解析】x2－2x>0，得到x>2或x<0，由x>2或x<0推不出x>2，但由x>2一定能推出
x>2或x<0，故“x2－2x>0”是“x>2”的必要不充分条件．
x
>0，则A∩B5．(2021·某某高一检测)已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，集合B＝xx－1
＝()
A．{x|－2 >0＝{x|x<0或x>1}， 集合B＝xx－1 所以A∩B＝{x|－2 因为2a＋1<0，所以a<－， 2所以－a>5a. 结合二次函数y＝x2－4ax－5a2的图象，得原不等式的解集为{x|x<5a或x>－a}． - 2 - / 14 考试 2t2－t＋2 6．(2021·某某高一检测)已知t＞0，则函数y＝的最小值为() t1 A．－2 B． C．3 D．2 2 2t2－t＋22 【解析】t＞0，则函数y＝＝2t＋－1≥22 2t·－1＝3，当且仅当t＝1时取等号． ttt2t2－t＋2 所以函数y＝的最小值为3. t【加固训练】 1 若0＜x＜，则函数y＝x21 A．1 B． 211C． D． 48 1 【解析】选C.因为0＜x＜，所以1－4x2＞0， 2所以x121－4x＝×2x2 14x2＋1－4x21 1－4x2≤×＝，当且仅当2x＝ 224 1－4x2，即 2 x＝时 4 1－4x2的最大值为() 等号成立． 7．(2021·某某高一检测)若不等式kx2－6kx＋k＋8≥0的解集为R，则实数k的取值X围是() A．0≤k≤1 B．0 【解析】kx2－6kx＋k＋8≥0的解集为R，分以下两种情况讨论： ①当k＝0时，则有8≥0，合乎题意； ②当k≠0时，则有 - 3 - / 14 考试 k>0， 2 Δ＝36k－4k（k＋8）＝32k（k－1）≤0 解得0 项目 基础 2018年1万元，以后每年逐增10% 工资 住房 按工龄计算：400元×工龄 补贴 医疗费 每年1 600元固定不变 计算方法 若该公司某职工在2020年将得到的住房补贴与医疗费之和超过基础工资的25%，到2020年底这位职工的工龄至少是() A．2年 B．3年 C．4年 D．5年 【解析】x年， 则400x＋1 600>10 000·(1＋10%)2×25%， 即400x＋1 600>3 025， 即x>3.562 5，所以至少为4年． 二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分) 9．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，则() A．A∩B＝{0，1} - 4 - / 14 考试 B．UB＝{4} C．A∪B＝{0，1，3，4} D．集合A的真子集个数为8 【解析】U＝{0，1，2，3，4}， 集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}， 所以A∩B＝{0，1}，故A正确，UB＝{2，4}，故B错误，A∪B＝{0，1，3，4}，故C正确，集合A的真子集个数为23－1＝7，故D错误． 10．下列不等式不一定正确的是() 1x2＋y2 A．|x＋|≥2 B．≥2 xxyC．x2＋y2 2|x＋y| >xyD．≥2 |xy| 1 【解析】x与同号， x11x＋所以＝|x|＋≥2，A正确； |x|x 当x，y异号时，B不正确； 当x＝y时， x2＋y2 2 ＝xy，C不正确； 当x＝1，y＝－1时，D不正确． 11．(2021·某某高一检测)有以下说法，其中正确的为() A．“x，y为无理数”是“xy为无理数”的充分条件 B．“x∈A∩B”是“x∈A”的必要条件 C．“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件 - 5 - / 14 考试 1 D．“x>1”是“<1”的充分不必要条件 x【解析】选CD.对于A，2是无理数，但2×2＝2是有理数，故A不正确；对于B，x∈A∩B⇒x∈A，反之不成立，因此“x∈A∩B”是“x∈A”的充分不必要条件，故B不正确；对于C，x＝3⇒x2－2x－3＝0，反之不成立，因此“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件，11 故C正确；对于D，<1⇒x>1或x<0，因此“x>1”是“<1”的充分不必要条件，故D xx正确． 【加固训练】 (2021·某某高一检测)已知关于x的不等式ax2＋bx＋3＞0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是() A．不等式ax2＋bx＋3＞0的解集可以是{x|x＞3} B．不等式ax2＋bx＋3＞0的解集可以是R C．不等式ax2＋bx＋3＞0的解集可以是{x|－1＜x＜3} ax2＋bx＋3＞0的解集可以是∅ 【解析】选BC.在A项中，依题意可得a＝0，且3b＋3＝0，解得b＝－1，此时不等式为－ x＋3＞0，解得x＜3，故A项错误；在B项中，取a＝1，b＝2，可得x2＋2x＋3＝(x＋1)2 －1＋3＝－aa＝－1＋2＞0，解集为R，故B项正确；在C项中，依题意可得a＜0，且，解得， 3b＝2 －1×3＝a符合题意，故C项正确．在D项中，当x＝0时，ax2＋bx＋3＝3＞0，可得其解集不为∅，故D项错误． 12．(2021·某某高一检测)已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且 b- 6 - / 14 考试 仅有3个整数，则a的取值可以是() A．4 B．5 C．6 D．7 【解析】y＝x2－6x＋a，其图象为开口向上，对称轴为x＝3的抛物线，如图所示． 关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，a需满足 22－6×2＋a≤0，解得5＜a≤8，又a∈Z，所以a的取值是6，7，8. 21－6×1＋a＞0 三、填空题(每小题5分，共20分) 13．命题∃n∈N，n2>2n＋5的否定为________． 【解析】存在量词命题的否定是全称量词命题，所以该命题的否定为∀n∈N，n2≤2n＋5. 答案：∀n∈N，n2≤2n＋5 14．已知集合A＝{a，b，2}，B＝{2，b2，2a}，且A∩B＝A∪B，则a＝________． 【解析】由A∩B＝A∪B知A＝B，又根据集合元素的互异性， a＝2aa＝bb＝b所以有或b＝2a， a≠ba≠b2 2 a＝0解得或 b＝1 1， b＝2 1a＝4 1 故a＝0或. 4 - 7 - / 14 考试 1 答案：0或 4 15．(2021·某某高一检测)已知“命题p：(x－m)2＞3(x－m)”是“命题q：x2＋3x－4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值X围为____________． 【解析】由(x－m)2＞3(x－m)， 得(x－m)(x－m－3)＞0，解得x＞m＋3或x＜m. 所以p：x＞m＋3或x＜m. 由x2＋3x－4＜0，解得－4＜x＜1，即q：－4＜x＜1. 因为p是q成立的必要不充分条件，所以q⇒p，pD⇒/q， 所以{x|－4 1 16．已知正实数a，b满足ab－b＋1＝0，则＋4b的最小值是________，此时b＝________． a【解析】由ab－b＋1＝0可得a＝b－1b， 由a＝ b－1b>0，得b>1， 1b1所以＋4b＝＋4b＝＋4(b－1)＋5， ab－1b－1因为 1 ＋4(b－1)≥4，所以＋4b≥9， b－1a1 13 当且仅当a＝，b＝时等号成立． 32 - 8 - / 14 考试 3 答案：9 2【加固训练】 已知正实数a，b，c满足a2－2ab＋9b2－c＝0，则当为________． 【解析】正实数a，b，c满足a2－2ab＋9b2－c＝0， 1 得＝2＝＝≤， ca－2ab＋9b2a2－2ab＋9b2a9b4 ＋－2 abc3112 取得最大值时，＋－的最大值 abcabab11 abba1 当且仅当＝，即a＝3b时，取最大值. bac4又因为a2－2ab＋9b2－c＝0，所以此时c＝12b2， 3112111 所以＋－＝＋－2 a9bababcbbb112＋2－ b1b1 ＝2－≤＝1. bb4 当且仅当a＝3，b＝1时，等号成立． 故最大值为1. 答案：1 四、解答题(共70分) 17．(10分)设全集为R，集合A＝{x|x2－2x－3＞0}，B＝{x|a－1＜x＜2a＋3}． (1)若a＝－1，求(RA)∩B； (2)在①A∪B＝A，②A∩B＝B，③(RA)∩B＝∅，这三个条件中任选一个作为已知条件，某某数a的取值X围． - 9 - / 14 考试 (注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分) 【解析】(1)全集为R，集合A＝{x|x2－2x－3＞0}＝{x|x＜－1或x＞3}， 所以RA＝{x|－1≤x≤3}； 又a＝－1时，集合B＝{x|a－1＜x＜2a＋3}＝{x|－2＜x＜1}， 所以(RA)∩B＝{x|－1≤x＜1}． (2)选择①A∪B＝A作为已知条件．(选择②，③的解法同①) 因为A∪B＝A，所以B⊆A， 又由A＝{x|x＜－1或x＞3}得当B＝∅时a－1≥2a＋3，解得a≤－4； a－1＜2a＋3a－1＜2a＋3 当B≠∅时或， 2a＋3≤－1a－1≥3a＞－4a＞－4 所以或， a≤－2a≥4 所以－4＜a≤－2或a≥4. 综上，可得a的取值X围为a≤－2或a≥4. 18．(12分)(2021·某某高一检测)(1)比较a2＋13与6a＋3的大小； (2)解关于x的不等式x2－(3m＋1)x＋2m2＋2m<0. 【解析】(1)a2＋13－6a－3＝a2－6a＋10＝(a－3)2＋1＞0， 所以a2＋13＞6a＋3； (2)x2－(3m＋1)x＋2m2＋2m<0， 即x2－(3m＋1)x＋2m(m＋1)＝(x－2m)(x－m－1)＜0， 令(x－2m)(x－m－1)＝0， 解得x＝2m或x＝m＋1， 当2m＞m＋1，即m＞1时，解集为{x|m＋1 考试 当2m＜m＋1，即m＜1时，解集为{x|2m 2x1 的最大值． x－3 (2)已知x＞0，求y＝ x2＋1 的最大值． 【解析】(1)因为x＜3，所以3－x＞0. 又因为y＝2(x－3)＋ 1＋7 x－3 1 ＝－[2(3－x)＋]＋7， 3－x由基本不等式可得2(3－x)＋≥ 3－x2 2（3－x）·＝2 3－x11 2， 1 当且仅当2(3－x)＝， 3－x2 即x＝3－时，等号成立， 2 11 ≤－22，－[2(3－x)＋于是－2（3－x）＋]＋7≤7－22， 3－x3－x 故y的最大值是7－2(2)y＝ 2x＝2. 2. x2＋1 1x＋x- 11 - / 14 考试 1 因为x＞0，所以x＋≥2 x1 x·＝2， x21 所以0＜y≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立． 2x故y的最大值为1. 20．(12分)设不等式(x－3a)(x－a－2)＜0的解集为A，B＝{x|x＜2}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，某某数a的取值X围． 【解析】不等式(x－3a)(x－a－2)＜0， (1)当3a＞2＋a，即a＞1时，解集A＝{x|2＋a＜x＜3a}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A2B，所以3a≤2，此时1 (2)当3a＝2＋a，即a＝1时，解集A＝∅，则AB，符合题意． (3)当3a＜2＋a，即a＜1时，解集A＝{x|3a 所以2＋a≤2，此时a≤0，综上(1)(2)(3)知a的取值X围为{a|a≤0或1≤a≤}． 3 21．(12分)(2021·荆州高一检测)已知命题p：“∃x∈R，x2－2x＋a＝0”为假命题；命题q：“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2＋ax－8≤0”为真命题，某某数a的取值X围． 【解析】命题p：“∃x∈R，x2－2x＋a＝0”为假命题，可得方程x2－2x＋a＝0无实数解，即有Δ＝4－4a＜0，解得a＞1；命题q：“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2＋ax－8≤0”为真命题，可得 1＋a－8≤0，解得a≤2. 4＋2a－8≤0 综上可得，a的取值X围是1＜a≤2. 22．(12分)(2021·某某高一检测)第一机床厂投资A生产线500万元，每万元可创造利润1.5万元．该厂通过引进先进技术，在A生产线的投资减少了x(xx)倍．现将在A生产线少投资的 - 12 - / 14 考试 x万元全部投入B生产线，且每万元创造的利润为1.5(ax)万元，其中a>0. (1)若技术改进后A生产线的利润不低于原来A生产线的利润，求x的取值X围； (2)若B生产线的利润始终不高于技术改进后A生产线的利润，求a的最大值． 【解析】x)(500－x)≥×500， 整理得x2－300x≤0， 解得0≤x≤300，又x＞0，故0＜x≤300. (2)由题意知，B生产线的利润为1.5(ax)x万元，技术改进后，Ax)(500－x)万元，则1.5(ax)x≤x)(500－x)恒成立，又x＞0， 500 所以a≤＋＋1.5恒成立． 125x500 又＋≥2125xxx·＋1.5＝5.5， 125xx500 500 当且仅当＝，即x＝250时，等号成立， 125x又a>0，所以0＜a≤5.5，所以a的最大值为5.5. 【加固训练】 (2020·滨州高一检测)为了缓解市民吃肉难的生活问题，某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距120千米的乙地，运费为每小时60元，装卸费为1 000元，猪肉在运输途中的损耗费(单位：元)是汽车速度(km/h)值的2倍．(说明：运输的总费用＝运费＋装卸费＋损耗费) (1)若汽车的速度为每小时50千米，试求运输的总费用． (2)为使运输的总费用不超过1 260元，求汽车行驶速度的X围． (3)若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时多少千米的速度行驶？ x- 13 - / 14 考试 120 【解析】(1)当汽车的速度为每小时50千米时，运输的总费用为：×60＋1 000＋2×50＝ 501 244(元). (2)设汽车行驶的速度为x km/h， 120 由题意可得：×60＋1 000＋2x≤1 260， x化简得x2－130x＋3 600≤0， 解得40≤x≤90， 故为使运输的总费用不超过1 260元，汽车行驶速度不低于40 km/h时，不高于90 km/h. (3)设汽车行驶的速度为x km/h， 120则运输的总费用为×60＋1 000＋2x x7 200＝2x＋＋1 000≥2 x7 200 2x·＋1 000＝1 240， x7 200 当2x＝，即x＝60时取得等号， x故若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时60千米的速度行驶． - 14 - / 14 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容