函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）
一．选择题（共17小题）
1．已知函数（fx）=是R上的增函数，则a的取值范围是（ ）
A．﹣3≤a＜0 B．﹣3≤a≤﹣2 C．a≤﹣2 D．a＜0
2．函数f（x）定义在实数集R上，f（2﹣x）=f（x），且当x≥1时f（x）=log2x，则有（ ）
A．f（）＜f（2）＜f（）
B．f（）＜f（2）＜f（）
C．f（
）＜f
（）＜f（2） D．f（2）＜f（）＜f（
3．函数f（x）是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=x﹣1，则不等式xf（x）＞0在[﹣1，3]上的解集为 （ ）
A．（1，3） B．（﹣1，1） C．（﹣1，0）∪（1，3） D．（﹣1，0）∪（0，1） 4．已知函数f（x）的定义域为R且满足﹣f（x）=f（﹣x），f（x）=f（2﹣x），则
=（ ）
A．1
B．﹣1 C． D．0
5．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=﹣f（x+2），且在[1，2]上是减函数，则（ ） A．
C．
B
D．
．
6．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在区间[﹣3，﹣2]上是减函数，若A，B是锐角三角形的两个内角，且A＞B，则（ ） A．f（sinA）＞f（cosB）
B．f（sinA）＜f（cosB）
C．f（sinA）＞f（sinB）
D．f（cosA）＞f（cosB）
7．已知定义在R上的奇函数满足f（x+1）=﹣f（x），且在[0，1）上单调递增，
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记a=f（），b=f（2），c=f（3），则a，b，c的大小关系为（ ） A．a＞b=c B．b＞a=c C．b＞c＞a D．a＞c＞b 8．设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣时，f（x）=4x，则f（107.5）=（ ） A．10 B．
C．﹣10
D．﹣
，且当x∈[﹣3，﹣2]
9．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是（ ） A．（
，2） B．（
，2） C．[
，2） D．（
，2]
10．定义在R上奇函数，f（x）对任意x∈R都有f（x+1）=f（3﹣x），若f（1）=﹣2，则2012f（2012）﹣2013f（2013）=（ ） A．﹣4026 B．4026
C．﹣4024 D．4024
11．设函数f（x）是定义在R上的周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有f（x）﹣f（﹣x）=0，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，若g（x）=f（x）﹣logax在x∈（0，+∞）上有且仅有三个零点，则a的取值范围为（ ） A．[3，5] B．[4，6] C．（3，5） D．（4，6）
12．已知函数f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（ ） A．﹣ B． C． D．1
13．函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ） A．[﹣2，2]
B．[﹣1，1]
C．[0，4] D．[1，3]
﹣1
14．若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）exA．﹣1 B．﹣2e﹣3 C．5e﹣3 D．1 15．已知函数f（x）=|lnx|，若在区间
的极值点，则f（x）的极小值为（ ）
内，曲线g（x）=f（x）﹣ax与x
轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是（ ） A．
B．
C．
D．
16．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，当x∈[0，1]
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时，，若函数g（x）=f（x）﹣x﹣b恰有一个零点，则实数b的取值集
合是（ ） A．C．
B． D．
17．已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），若函数y=图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则A．0
二．填空题（共1小题） 18．已知函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣
B．m C．2m D．4m
与y=f（x）
（xi+yi）=（ ）
，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）
+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是 ．
三．解答题（共4小题） 19．设a，b∈R，函数
，g（x）=ex（e为自然对数的底数），
且函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在x=0处有公共的切线． （Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若g（x）＞f（x）在区间（﹣∞，0）内恒成立，求a的取值范围．
20．已知m＞0，n＞0，f（x）=|x+m|+|2x﹣n|． （1）求f（x）的最小值；
（2）若f（x）的最小值为2，求m2+
的最小值．
21．设函数f（x）=|x+1|+x﹣m的最小值是﹣3． （1）求m的值； （2）若
，是否存在正实数a，b满足
？并说明理由．
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22．已知函数f（x）对∀x1，x2∈R且x1＜x2有
（x﹣2017）的图象关于点（2017，0）成中心对称图形． （1）判断函数f（x）在R上的单调性、奇偶性，并说明理由； （2）解不等式
；
，y=﹣4x中的某一个，令
恒成立，函数f
（3）已知函数f（x）是y=lnx，，
求函数F（x）=g（f（x））在（﹣∞，2]上的最小值．
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函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）
参考答案与试题解析
一．选择题（共17小题）
1．已知函数（fx）=是R上的增函数，则a的取值范围是（ ）
A．﹣3≤a＜0 B．﹣3≤a≤﹣2 C．a≤﹣2 D．a＜0
【分析】由函数f（x）上R上的增函数可得函数，设g（x）=﹣x2﹣ax﹣5，h（x）=，则可知函数g（x）在x≤1时单调递增，函数h（x）在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1），从而可求
【解答】解：∵函数是R上的增函数
设g（x）=﹣x2﹣ax﹣5（x≤1），h（x）=（x＞1）
由分段函数的性质可知，函数g（x）=﹣x2﹣ax﹣5在（﹣∞，1]单调递增，函数h（x）=在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1）
∴
∴
解可得，﹣3≤a≤﹣2 故选B
【点评】本题主要考查了二次函数的单调性的应用，反比例函数的单调性的应用，主要分段函数的单调性应用 中，不要漏掉g（1）≤h（1）
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2．函数f（x）定义在实数集R上，f（2﹣x）=f（x），且当x≥1时f（x）=log2x，则有（ ）
A．f（）＜f（2）＜f（）
B．f（）＜f（2）＜f（）
C．f（
）＜f
（）＜f（2） D．f（2）＜f（）＜f（
【分析】易判断f（x）在[1，+∞）上的单调性，根据f（2﹣x）=f（x）可把f（），f（）转化到区间[1，+∞）上，借助函数单调性可作出大小判断． 【解答】解：∵x≥1时f（x）=log2x， ∴f（x）在[1，+∞）上单调递增， ∵f（2﹣x）=f（x），
∴f（）=f（2﹣）=f（），f（）=f（2﹣）=f（）， 又1＜
＜2，
∴f（）＜f（）＜f（2），即f（）＜f（）＜f（2）， 故选C．
【点评】本题考查函数的单调性及其应用，解决本题的关键是利用所给条件把问题转化到已知区间上利用函数性质解决问题．
3．函数f（x）是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=x﹣1，则不等式xf（x）＞0在[﹣1，3]上的解集为 （ ）
A．（1，3） B．（﹣1，1） C．（﹣1，0）∪（1，3） D．（﹣1，0）∪（0，1） 【分析】根据函数的周期性和奇偶性，求出当x∈[﹣1，3]上的解析式，结合图象将不等式转化为
或
，利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：若x∈[﹣2，0]，则﹣x∈[0，2]， ∵当x∈[0，2]时，f（x）=x﹣1， ∴f（﹣x）=﹣x﹣1， ∵f（x）是偶函数，
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∴f（﹣x）=﹣x﹣1=f（x），
即当x∈[﹣2，0]时，f（x）=﹣x﹣1， 即在一个周期[﹣2，2]内，f（x）=若x∈[2，4]，则x﹣4∈[﹣2，0]，
即f（x）=f（x﹣4）=﹣（x﹣4）﹣1=﹣x+3，x∈[2，4]， 作出函数f（x）在[﹣2，4]上的图象如图： 则当x∈[﹣1，3]时，不等式xf（x）＞0 等价为
或
，
，
即1＜x＜3或﹣1＜x＜0， 即（﹣1，0）∪（1，3）， 故选：C
【点评】本题主要考查不等式的解集的计算，根据函数的奇偶性和周期性求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．
4．已知函数f（x）的定义域为R且满足﹣f（x）=f（﹣x），f（x）=f（2﹣x），则
=（ ）
A．1
B．﹣1 C． D．0
【分析】由已知可得函数f（x）是奇函数，且f（0）=0，函数f（x）的周期为4 又
=2++﹣
，即可
【解答】解：∵﹣f（x）=f（﹣x），∴函数f（x）是奇函数，且f（0）=0
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∵f（x）=f（2﹣x）⇒﹣f（﹣x）=f（2﹣x） ⇒f（x）=﹣f（x+2）
⇒f（x）=f（x+4），∴函数f（x）的周期为4 又∵
=2++﹣
∴故选：D
=f（4）=f（0）=0
【点评】本题考查了函数的周期性、奇函数的性质，考查了对数运算，属于中档题．
5．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=﹣f（x+2），且在[1，2]上是减函数，则（ ） A．
C．
B
D．
．
【分析】在R上的奇函数f（x）满足f（x）=﹣f（x+2），可得f（x+2）=﹣f（x）=f（﹣x），f（3）=﹣f（1），2]上是减函数，
=﹣
，
=
．由f（x）在在[1，
（2）=﹣f（0）=0，即可得出．
【解答】解：∵在R上的奇函数f（x）满足f（x）=﹣f（x+2），∴f（x+2）=﹣f（x）=f（﹣x）， ∴f（3）=﹣f（1），
=﹣
，
=
．
∵f（x）在在[1，2]上是减函数，∴∴f（3）＜故选：B．
，∴﹣f（1）＜﹣＜
．
＜
（2）=﹣f（0）=0，
．
【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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6．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在区间[﹣3，﹣2]上是减函数，若A，B是锐角三角形的两个内角，且A＞B，则（ ） A．f（sinA）＞f（cosB）
B．f（sinA）＜f（cosB）
C．f（sinA）＞f（sinB）
D．f（cosA）＞f（cosB）
【分析】由f（x+2）=f（x）得函数的周期为2，然后利用函数的周期和奇偶性进行判断．
【解答】解：由f（x+2）=f（x），所以函数的周期为2，
因为f（x）在[﹣3，﹣2]上为减函数，所以f（x）在[﹣1，0]上为减函数， 因为f（x）为偶函数，所以f（x）在[0，1]上为单调增函数． 因为在锐角三角形中，π﹣A﹣B＜所以A+B＞所以
＞A＞
，
﹣B＞0， ﹣A）=cosB，
，
所以sinA＞sin（
因为f（x）在[0，1]上为单调增函数． 所以f（sinA）＞f（cosB）， 故选A．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的应用，以及三角函数的图象和性质，综合性较强，涉及的知识点较多．
7．已知定义在R上的奇函数满足f（x+1）=﹣f（x），且在[0，1）上单调递增，记a=f（），b=f（2），c=f（3），则a，b，c的大小关系为（ ） A．a＞b=c B．b＞a=c C．b＞c＞a D．a＞c＞b
【分析】根据f（x+1）=﹣f（x）得出f（x+2）=﹣f（x+1）=﹣[﹣f（x）]=f（x），可得周期为2，化简求解即可．
【解答】解：∵定义在R上的奇函数满足f（x+1）=﹣f（x）， ∴f（x+2）=（x+1+1）=﹣f（x+1）=﹣[﹣f（x）]=f（x）， ∴函数f（x）是周期为2的函数，
第9页（共24页）
∴f（2）=f（0），又函数f（x）在[0，1）上单调递增， 0
，
∴f（0）＜f（），即b＜a，
又f（3）=f（2+1）=﹣f（2）=f（﹣2）=0， 故选：A．
【点评】本题主要考查函数的周期性和单调性，属于基础题．
8．设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣时，f（x）=4x，则f（107.5）=（ ） A．10 B．
C．﹣10
D．﹣
，且当x∈[﹣3，﹣2]
【分析】先通过有f（x+3）=﹣，且可推断函数f（x）是以6为周期的函数．进
以及偶函数f（x）和x
而可求得f（107.5）=f（5.5），再利用f（x+3）=﹣∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=4x即可求得f（107.5）的值． 【解答】解：因为f（x+3）=﹣
，故有f（x+6）=﹣
=﹣=f（x）．函
数f（x）是以6为周期的函数． f（107.5）=f（6×17+5.5）=f（5.5）=﹣故选B
【点评】本题主要考查了函数的周期性．要特别利用好题中有f（x+3）=﹣的关系式．在解题过程中，条件f（x+a）=﹣2a．
9．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是（ ） A．（
=﹣=﹣=．
通常是告诉我们函数的周期为
，2） B．（，2） C．[，2） D．（，2]
第10页（共24页）
【分析】由已知中f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x），我们可以得到函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，则不难画出函数f（x）在区间（﹣2，6]上的图象，结合方程的解与函数的零点之间的关系，我们可将方程f（x）﹣logax+2=0恰有3个不同的实数解，转化为函数f（x）的与函数y=﹣logax+2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．
【解答】解：设x∈[0，2]，则﹣x∈[﹣2，0]， ∴f（﹣x）=（）﹣x﹣1=2x﹣1， ∵f（x）是定义在R上的偶函数， ∴f（x）=f（﹣x）=2x﹣1．
∵对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4）， ∴当x∈[2，4]时，（x﹣4）∈[﹣2，0]， ∴f（x）=f（x﹣4）=xx﹣4﹣1； 当x∈[4，6]时，（x﹣4）∈[0，2]， ∴f（x）=f（x﹣4）=2x﹣4﹣1．
∵若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，
∴函数y=f（x）与函数y=loga（x+2）在区间（﹣2，6]上恰有三个交点， 通过画图可知：恰有三个交点的条件是
，解得：
＜a＜2，
即＜a＜2，因此所求的a的取值范围为（，2）．
故选：B
【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键，体现了转化和数形结合的数学思想，属
第11页（共24页）
于中档题．
10．定义在R上奇函数，f（x）对任意x∈R都有f（x+1）=f（3﹣x），若f（1）=﹣2，则2012f（2012）﹣2013f（2013）=（ ） A．﹣4026 B．4026
C．﹣4024 D．4024
【分析】由条件f（x+1）=f（3﹣x），可得f（x）=f（4﹣x），f（﹣x）=f（4+x）．再由函数f（x）为奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x）．综合可得﹣f（x）=f（x+4），可得f（x）=f（x+8），故函数f（x）的周期为8．利用周期性求得f（2012）和f（2013）的值，即可求得2012f（2012）﹣2013f（2013）的值．
【解答】解：由于函数f（x）对任意x∈R都有f（x+1）=f（3﹣x），∴f（x）=f（4﹣x），∴f（﹣x）=f（4+x）．
再由函数f（x）为奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣f（x）=f（x+4），∴f（x）=f（x+8），
故函数f（x）的周期为8．
∴f（2012）=f（8×251+4）=f（4）=f（4﹣4）=f（0）=0，
f（2013）=f（251×8+5）=f（5）=f（4﹣5）=f（﹣1）=﹣f（1）=2， 2012f（2012）﹣2013f（2013）=0﹣2013×2=﹣4026， 故选：A．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性、周期性的应用，求函数的值，属于基础题．
11．设函数f（x）是定义在R上的周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有f（x）﹣f（﹣x）=0，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，若g（x）=f（x）﹣logax在x∈（0，+∞）上有且仅有三个零点，则a的取值范围为（ ） A．[3，5] B．[4，6] C．（3，5） D．（4，6）
【分析】根据函数的周期和奇偶性作出f（x）和y=logax在（0，+∞）上的图象，根据交点个数列出不等式解出a．
【解答】解：∵f（x））﹣f（﹣x）=0，∴f（x）=f（﹣x），∴f（x）是偶函数，根据函数的周期和奇偶性作出f（x）的图象如图所示：
第12页（共24页）
∵g（x）=f（x）﹣logax在x∈（0，+∞）上有且仅有三个零点， ∴y=f（x）和y=logax的图象在（0，+∞）上只有三个交点， ∴
，解得3＜a＜5．
故选C．
【点评】本题考查了零点个数的判断，作出f（x）的函数图象是解题关键．
12．已知函数f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（ ） A．﹣ B． C． D．1
2
【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣（x﹣1）的图象与y=a（ex﹣1+
）
的图象只有一个交点求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论．
【解答】解：因为f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1+=0，
所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2=a（ex﹣1+等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+
）有唯一解，
）
）的图象只有一个交点．
①当a=0时，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；
②当a＜0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
第13页（共24页）
且y=a（ex﹣1+
）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
）的图
所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+象的最高点为B（1，2a），
由于2a＜0＜1，此时函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+两个交点，矛盾；
）的图象有
③当a＞0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
且y=a（ex﹣1+
）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，
）的图
所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+象的最低点为B（1，2a），
由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即a=，符合条件； 综上所述，a=， 故选：C．
【点评】本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能力，考查数形结合能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．
13．函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ） A．[﹣2，2]
B．[﹣1，1]
C．[0，4] D．[1，3]
【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x﹣2≤1，解得答案．
【解答】解：∵函数f（x）为奇函数． 若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，
又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1， ∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1）， ∴﹣1≤x﹣2≤1，
第14页（共24页）
解得：x∈[1，3]， 故选：D
【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．
14．若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（ ） A．﹣1 B．﹣2e﹣3 C．5e﹣3 D．1
【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可．
【解答】解：函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1， 可得f′（x）=（2x+a）ex﹣1+（x2+ax﹣1）ex﹣1， x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点， 可得：﹣4+a+（3﹣2a）=0． 解得a=﹣1．
可得f′（x）=（2x﹣1）ex﹣1+（x2﹣x﹣1）ex﹣1， =（x2+x﹣2）ex﹣1，函数的极值点为：x=﹣2，x=1，
当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函数，
x=1时，函数取得极小值：f（1）=（12﹣1﹣1）e1﹣1=﹣1． 故选：A．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力．
15．已知函数f（x）=|lnx|，若在区间
内，曲线g（x）=f（x）﹣ax与x
轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】画出函数y=|lnx|的图象，然后，借助于图象，结合在区间三个零点，进行判断．
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上有
【解答】解：函数y=|lnx|的图象如图示： 当a≤0时，显然，不合乎题意， 当a＞0时，如图示，
当x∈（，1]时，存在一个零点， 当x＞1时，f（x）=lnx，
可得g（x）=lnx﹣ax，（x∈（1，3]） g′（x）=﹣a，
若g′（x）＜0，可得x＞，g（x）为减函数， 若g′（x）＞0，可得x＜，g（x）为增函数， 此时f（x）必须在[1，3]上有两个交点，
∴，
解得，≤a＜，
在区间（0，3]上有三个零点时， 实数a的取值范围是[故选：A．
【点评】本题重点考查函数的零点，考查数形结合思想，属于中档题，难度中等．
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，），
16．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，当x∈[0，1]时，
，若函数g（x）=f（x）﹣x﹣b恰有一个零点，则实数b的取值集
合是（ ） A．C．
B． D．
【分析】根据条件判断函数的周期性和对称性，求出函数在一个周期内的解析式，利用转化法进行求解即可．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数， ∴f（﹣x﹣1）=f（x﹣1）=﹣f（x+1）， 即f（x）=﹣f（x+2），
则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）的周期是4， ∵f（x﹣1）为偶函数，∴f（x﹣1）关于x=0对称， 则f（x）关于x=﹣1对称，同时也关于x=1对称， 若x∈[﹣1，0]，则﹣x∈[0，1]， 此时f（﹣x）=
=﹣f（x），则f（x）=﹣
，x∈[﹣1，0]，
若x∈[﹣2，﹣1]，x+2∈[0，1]， 则f（x）=﹣f（x+2）=﹣
，x∈[﹣2，﹣1]，
若x∈[1，2]，x﹣2∈[﹣1，0]， 则f（x）=﹣f（x﹣2）=作出函数f（x）的图象如图：
由数g（x）=f（x）﹣x﹣b=0得f（x）=x+b， 由图象知当x∈[﹣1，0]时，由﹣
=x+b，平方得x2+（2b+1）x+b2=0， =
，x∈[1，2]，
由判别式△=（2b+1）2﹣4b2=0得4b+1=0，得b=﹣，此时f（x）=x+b有两个交点，
当x∈[4，5]，x﹣4∈[0，1]，则f（x）=f（x﹣4）=由
=x+b，平方得x2+（2b﹣1）x+4+b2=0，
，此时f（x）=x+b，
由判别式△=（2b﹣1）2﹣16﹣4b2=0得4b=﹣15，得b=﹣有两个交点，
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则要使此时f（x）=x+b有一个交点，则在[0，4]内，b满足﹣即实数b的取值集合是4n﹣
＜b＜4n﹣，
，
＜b＜﹣，
即4（n﹣1）+＜b＜4（n﹣1）+令k=n﹣1， 则4k+＜b＜4k+故选：D
，
【点评】本题主要考查函数零点的应用，根据函数的性质求出函数的周期性和对称性，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
17．已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），若函数y=图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则A．0
B．m C．2m D．4m
与y=f（x）
（xi+yi）=（ ）
【分析】由条件可得f（x）+f（﹣x）=2，即有f（x）关于点（0，1）对称，又函数y=
，即y=1+的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即
有（﹣x1，2﹣y1）也为交点，计算即可得到所求和． 【解答】解：函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），
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即为f（x）+f（﹣x）=2，
可得f（x）关于点（0，1）对称， 函数y=
，即y=1+的图象关于点（0，1）对称，
即有（x1，y1）为交点，即有（﹣x1，2﹣y1）也为交点， （x2，y2）为交点，即有（﹣x2，2﹣y2）也为交点， … 则有
（xi+yi）=（x1+y1）+（x2+y2）+…+（xm+ym）
=[（x1+y1）+（﹣x1+2﹣y1）+（x2+y2）+（﹣x2+2﹣y2）+…+（xm+ym）+（﹣xm+2﹣ym）] =m． 故选B．
【点评】本题考查抽象函数的运用：求和，考查函数的对称性的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．
二．选择题（共1小题） 18．已知函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣
，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）
+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是 [﹣1，] ．
【分析】求出f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在R上递增；再由奇偶性的定义，可得f（x）为奇函数，原不等式即为2a2≤1﹣a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围． 【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣f′（x）=3x2﹣2+ex+
≥﹣2+2
的导数为： =0，
可得f（x）在R上递增；
又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣ex+x3﹣2x+ex﹣可得f（x）为奇函数，
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=0，
则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，
即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a）， 即有2a2≤1﹣a， 解得﹣1≤a≤， 故答案为：[﹣1，]．
【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．
三．选择题（共1小题） 19．设a，b∈R，函数
，g（x）=ex（e为自然对数的底数），
且函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在x=0处有公共的切线． （Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若g（x）＞f（x）在区间（﹣∞，0）内恒成立，求a的取值范围． 【分析】（Ⅰ）求出两个函数的导数，利用函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在x=0处有公共的切线．列出方程即可求解b．
（Ⅱ）求出导函数f'（x）=，通过﹣1≤a≤1时，当a2＞1时，分别判断导函数的符号，推出函数的单调区间．
（Ⅲ）令h（x）=g'（x）﹣f'（x）=ex﹣x2﹣2ax﹣1，可得h（0）0．求出h'（x）=ex﹣2x﹣2a，令u（x）=h'（x）=ex﹣2x﹣2a，求出导数u'（x）=ex﹣2．当x≤0时，u'（x）＜0，从而h'（x）单调递减，求出
．考虑
的情况，
的
情况，分别通过函数的单调性以及函数的最值，推出a的范围即可． 【解答】（Ⅰ）f'（x）=x2+2ax+b，g'（x）=ex， 由f'（0）=b=g'（0）=1，得b=1．…（2分） （Ⅱ）f'（x）=x2+2ax+1=（x+a）2+1﹣a2，
当a2≤1时，即﹣1≤a≤1时，f'（x）≥0，从而函数f（x）在定义域内单调递增， 当a2＞1时，若
，此时
，f'（x）＞0，则函数f（x）单调递增；
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若若
，f'（x）＜0，则函数f（x）单调递减；
时，f'（x）＞0，则函数f（x）单调递增．…（6分）
（Ⅲ）令h（x）=g'（x）﹣f'（x）=ex﹣x2﹣2ax﹣1，则h（0）=e0﹣1=0．h'（x）=ex﹣2x﹣2a，令u（x）=h'（x）=ex﹣2x﹣2a，则u'（x）=ex﹣2． 当x≤0时，u'（x）＜0，从而h'（x）单调递减， 令u（0）=h'（0）=1﹣2a=0，得先考虑
．
的情况，此时，h'（0）=u（0）≥0；
又当x∈（﹣∞，0）时，h'（x）单调递减，所以h'（x）＞0； 故当x∈（﹣∞，0）时，h（x）单调递增； 又因为h（0）=0，故当x＜0时，h（x）＜0，
从而函数g（x）﹣f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递减；
又因为g（0）﹣f（0）=0，所以g（x）＞f（x）在区间（﹣∞，0）恒成立． 接下来考虑
的情况，此时，h'（0）＜0，
令x=﹣a，则h'（﹣a）=e﹣a＞0．
由零点存在定理，存在x0∈（﹣a，0）使得h'（x0）=0，
当x∈（x0，0）时，由h'（x）单调递减可知h'（x）＜0，所以h（x）单调递减， 又因为h（0）=0，故当x∈（x0，0）时h（x）＞0． 从而函数g（x）﹣f（x）在区间（x0，0）单调递增；
又因为g（0）﹣f（0）=0，所以当x∈（x0，0），g（x）＜f（x）． 综上所述，若（gx）＞（fx）在区间（﹣∞，0）恒成立，则a的取值范围是（14分）
【点评】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想．
四．解答题（共3小题）
20．已知m＞0，n＞0，f（x）=|x+m|+|2x﹣n|．
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．…
（1）求f（x）的最小值；
（2）若f（x）的最小值为2，求m2+
的最小值．
【分析】（1）去掉绝对值符号，利用函数的单调性求解函数的最小值． （2）通过函数的最小值的表达式，利用基本不等式求解函数的最小值即可．
【解答】解：（1）∵，
∴f（x）在∴当
是减函数，在是增函数． ． …．（5分） ，∴
．∵m，n∈R+，
时，f（x）取最小值
（2）由（1）知，f（x）的最小值为
=2．
当且仅当∴m2+
，即m=1，n=2时，取等号， 的最小值为2． …（10分）
【点评】本题考查绝对值的化简求解，函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．
21．设函数f（x）=|x+1|+x﹣m的最小值是﹣3． （1）求m的值； （2）若
，是否存在正实数a，b满足
？并说明理由．
【分析】（1）化简函数为分段函数，利用函数的单调性求解函数的最小值，然后求解m即可． （2）利用即可得到结果． 【解答】解：（1）因为函数，
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，转化推出ab的范围，化简，推出ab的范围，
，x≥﹣1时，函数是增
所以ymin=﹣1﹣m=﹣3⇒m=2． （2）∵∵∴
，矛盾．
，∴
，
，
所以不存在正实数a，b满足条件．
【点评】本题考查分段函数的应用，函数的最值以及基本不等式的应用，考查计算能力．
22．已知函数f（x）对∀x1，x2∈R且x1＜x2有
（x﹣2017）的图象关于点（2017，0）成中心对称图形． （1）判断函数f（x）在R上的单调性、奇偶性，并说明理由； （2）解不等式
；
，y=﹣4x中的某一个，令
，
恒成立，函数f
（3）已知函数f（x）是y=lnx，
求函数F（x）=g（f（x））在（﹣∞，2]上的最小值．
【分析】（1）可得对∀x1，x2∈R且x1＜x2时，有f（x1）＞f（x2），即函数f（x）在R上的单调递减．
可得函数f（x）的图象关于点（0，0）成中心对称图形，即函数f（x）是奇函数． （2）由（1）得函数f（x）在R上的单调递减．且f（0）=0 ∴不等式
⇔
⇒
，即可求解
（3）由（1）得f（x）=﹣4x 函数F（x）=g（f（x））=2
﹣4x
+，
令2﹣4x=t，在（﹣∞，2]上t≥2﹣8
函数G（t）=t+，分a≤0，a≥2﹣16，0＜a≤2﹣16讨论 【解答】解：（1）∵对∀x1，x2∈R且x1＜x2有∴对∀x1，x2∈R且x1＜x2时，有f（x1）＞f（x2），
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恒成立，
∴函数f（x）在R上的单调递减．
∵函数f（x﹣2017）的图象关于点（2017，0）成中心对称图形， ∴函数f（x）的图象关于点（0，0）成中心对称图形， ∴函数f（x）是奇函数．
（2）由（1）得函数f（x）在R上的单调递减．且f（0）=0 ∴不等式
⇔
⇒
⇒（x﹣2）（x﹣1）（x+2）＞0 ⇒﹣2＜x＜＜1或＞＞2
∴不等式解集为：（﹣2，1）∪（2，+∞） （3）由（1）得f（x）=﹣4x 函数F（x）=g（f（x））=2﹣4x+令2﹣4x=t，在（﹣∞，2]上t≥2﹣8 函数G（t）=t+
当a≤0时，G（t）=t+在[2﹣8，0]递增，
∴函数F（x）=g（f（x））在（﹣∞，2]上的最小值为28+28a．
﹣
，
当a≥2﹣16时，G（t）=t+≥2﹣7，
∴函数F（x）=g（f（x））在（﹣∞，2]上的最小值为2﹣7． 当0＜a≤2﹣16时，G（t）=t+在（0，2﹣16]递减，
∴函数F（x）=g（f（x））在（﹣∞，2]上的最小值为2﹣16+216a．
【点评】本题考查导数的综合应用，考查函数的单调性，对称性及函数的奇偶性，考查点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．
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