基本初等函数图像及性质大全(初中 高中)

（一）一次函数 一次 函数 k，b 符号 图象 性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 （二）二次函数

（1）二次函数解析式的三种形式

①一般式：f(x)axbxc(a0) ②顶点式：f(x)a(xh)k(a0) ③两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)

（2）求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标时，宜用一般式．

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便． （3）二次函数图象的性质 图像 定义域 对称轴 顶点坐标 值域 b递减 ,2ab递增 ,2a22 b递增 ,2ab,递减 2a单调区间 ①.二次函数f(x)axbxc(a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x2b,顶点坐标2ab4acb2是(,)

2a4a②当a0时，抛物线开口向上，函数在(,bbb]上递减，在[,)上递增，当x2a2a2abb4acb2时，fmin(x)；当a0时，抛物线开口向下，函数在(,在[]上递增，,)4a2a2ab4acb2上递减，当x时，fmax(x)．

4a2a二、幂函数

（1）幂函数的定义

一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数． （2）幂函数的图象

过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)． 三、指数函数

（1）根式的概念：如果xa,aR,xR,n1，且nN，那么x叫做a的n次方根． （2）分数指数幂的概念

①正数的正分数指数幂的意义是：a等于0．

②正数的负分数指数幂的意义是：a分数指数幂没有意义． （3）运算性质

①aaarrsrsmnnnam(a0,m,nN,且n1)．0的正分数指数幂

mn 1m1()nn()m(a0,m,nN,且n1)．0的负aa(a0,r,sR) ②(ar)sars(a0,r,sR)

③(ab)ab(a0,b0,rR) （4）指数函数 函数名称 定义 图象 xrr指数函数 函数ya(a0且a1)叫做指数函数 yyaxyaxyy1(0,1)y1(0,1)OxOx 定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 图象过定点(0,1)，即当x0时，y1． 非奇非偶 在R上是增函数 在R上是减函数 函数值的 变化情况 a变化对图象的影响 四、对数函数 在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低． xaN(a0,且a1)，（1）对数的定义： ①若则x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，

其中a叫做底数，N叫做真数． ②负数和零没有对数．

x③对数式与指数式的互化： xlogaNaN(a0,a1,N0)． b（2）几个重要的对数恒等式： loga10，logaa1，logaab．

（3）常用对数与自然对数

常用对数：lgN，即log10N；自然对数：lnN，即logeN（其中e2.71828…）． （4）对数的运算性质 如果a0,a1,M0,N0，那么

①加法：logaMlogaNloga(MN) ②减法：logaMlogaNlogalogNn③数乘：nlogaMlogaM(nR) ④aaN

M N⑤logabMnlogbNn(b0,且b1) ⑥换底公式：logaNlogaM(b0,nR)logab b对数函数 函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数 （5）对数函数

函数名称 定义 图象 yx1 ylogaxyx1 ylogax(1,0)O(1,0)xOx定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 图象过定点(1,0)，即当x1时，y0． 非奇非偶 在 定义域 上是增函数 在 定义域 上是减函数 函数值的 变化情况 a变化对 图象的影响 五、反函数

（1）反函数的概念

在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高． 设函数yf(x)的定义域为A，值域为C，从式子yf(x)中解出x，得式子x(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x(y)表示x是y的函数，函数x(y)叫做函数yf(x)的反函数，记作xf习惯上改写成yf11(y)，

(x)．

（2）反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域； ②从原函数式yf(x)中反解出xf③将xf11(y)；

(y)改写成yf1(x)，并注明反函数的定义域．

（3）反函数的性质

1yf(x)的图象关于直线yx对称． yf(x)①原函数与反函数

②函数yf(x)的定义域、值域分别是其反函数yf'1(x)的值域、定义域．

1③若P(a,b)在原函数yf(x)的图象上，则P(b,a)在反函数yf④一般地，函数yf(x)要有反函数则它必须为单调函数． 六、三角函数的图像和性质

(x)的图象上．

（一）正弦与余函数的图像与性质 函数 图像 定域义 值域 最值 单调性 奇偶性 周期性 对称性 R 奇函数 是周期函数，2为最小正周期 对称中心(k,0)， R 偶函数 是周期函数，2为最小正周期 对称中心(2k,0)， 2. 正切与余切函数的图像与性质 函数 图像 定域义 值域 单调性 奇偶性 周期性 对称性 R 奇函数 是周期函数，为最小正周期 对称中心( R 奇函数 是周期函数，为最小正周期 对称中心(k,0) 2k,0) 2七、反三角函数的图像与性质

1. 反正弦与反余函数的图像与性质 反正弦函数yarcsinx 函数 是图像 定域义 值域 单调性 奇偶性 周期性 对称性 奇函数 无 对称中心(0,0) ysinx，x,22的反函数 反余弦函数yarccosx 是ycosx，x0,的反函数 非奇非偶 无 对称中心(0,2) 2. 反正切与反余切函数的图像与性质 函数 反正切函数yarctanx 反余切函数yarccotx 是ytanx，x(,)的反函数 22是ycotx，x0,的反函数 图像 定域义 值域 单调性 奇偶性 周期性 对称性

奇函数 无 对称中心（0，0） 非奇非偶 无 对称中心（0，π/2）