(完整word)椭圆十二大题型精华总结(学生版),推荐文档

一、 (一)

椭圆的定义和方程问题 定义

PAPB2a(a0,常数);1. 命题甲:动点P到两点A,B的距离之和命题乙:

P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

2. 已知F1、F2是两个定点，且F1F24,若动点P满足PF1PF24则动点P的轨迹是（ ）

A.椭圆B.圆C.直线D.线段

FPQFF3. 已知1、2是椭圆的两个焦点, P是椭圆上的一个动点,如果延长1到,

Q使得PQPF2,那么动点的轨迹是( ) A.椭圆B.圆C.直线D.点

x2y21上一点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，O是椭圆4. 椭圆259的中心，则ON的值是 。

x2y21的左焦点，P在椭圆上运动，定点A（1，1）5. 选做：F1是椭圆，求95|PA||PF1|的最小值。

(二) 标准方程求参数范围

x2y21表示圆，椭圆，双曲线。 1. 试讨论k的取值范围，使方程

5kk3

222. “mn0”是“方程mxny1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )

A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

3. 若方程x2siny2cos1表示焦点在y轴上的椭圆，所在的象限（ ） A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 4. 方程x13y2所表示的曲线是 。

5. 已知方程x2ky22表示焦点在X轴上的椭圆,则实数k的范围是 。

1

(三) 待定系数法求椭圆的标准方程 1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：

（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；

（2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）；

（3）已知椭圆中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过P1(6,1),P2(3,2),求椭圆方程；

2. 求下列椭圆的标准方程

2c8,e（1）；

36e3； （2）过（3，0）点，离心率为

（3）椭圆的对称轴为坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，

焦点到椭圆的最近距离是3。

（4）椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程为

45（5）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为

325和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点。

3

x2y23．过椭圆221(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右

ab焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率为 __。

2

(四)

椭圆系—共焦点，同离心率 x2y2x2y211(0k9)1．

25k9k259椭圆与的关系为（ ）

A．相同的焦点 B.有相同的准线 C.有相等的长、短轴 D.有相等的焦距

x2y21有相同焦点，且经过点3，2、求与椭圆2的椭圆标准方程。 94

(五) 焦点三角形4a

x2y21. 已知F1、F2为椭圆1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两

259点。若F2AF2B12，则AB 。

x2y22. 已知F1、F2为椭圆1的两个焦点，过F2且斜率不为0的直线交椭

259圆于A、B两点，则ABF1的周长是 。

x23. 已知ABC的顶点B、C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，

3且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长为 。 (六) 焦点三角形的面积

x21. 已知点P是椭圆y21上的一点，F1、F2为焦点，PF，求点1•PF204P到x轴的距离。

x2y22. 设M是椭圆1上的一点，F1、F2为焦点，F1MF2，求

62516F1MF2的面积。

PF1•PF21x2y21上的一点，F1、F2为焦点，若3. 已知点P是椭圆，PF1•PF22259则PF1F2的面积为 。

x2y24. 已知AB为经过椭圆221(ab0)的中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦

ab点，则△AFB的面积的最大值为 。

3

焦点三角形|𝐏𝐅𝟏|∙|𝐏𝐅𝟐| x2y21. 设椭圆1的两焦点分别为F1和F2，P为椭圆上一点，求PF1•PF294的最大值，并求此时P点的坐标。

x2y22. 椭圆1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若PF14，则

92PF2 ，F1PF2 。 (七)

x2y23. 椭圆1的焦点为F1、F2，P为其上一动点，当F1PF2为钝角时，

94点P的横坐标的取值范围为 。 (八) 与椭圆相关的轨迹方程 定义法：

1. 点M(x,y)满足x2(y3)2x2(y3)210，求点M的轨迹方程。

2. 已知动圆P过定点A(3,0)，并且在定圆B:(x3)2y264的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程。

3. 已知圆C1:(x3)2y24,圆C2:(x3)2y2100，动圆P与C1外切，与

C2内切，求动圆圆心P的轨迹方程。

4. 已知A(1,0)，B是圆F:(x1)2y24（F为圆心）上一动点,线段AB22的垂直平分线交BF于P,则动点P的轨迹方程为 .

5. 已知A(0,-1),B(0,1),△ABC的周长为6，则△ABC 的顶点C的轨迹方程是 。 直接法

6. 若ABC的两个顶点坐标分别是B(0,6)和C(0,6)，另两边AB、AC的斜率

4的乘积是，顶点A的轨迹方程为 。

9相关点法

7. 已知圆x2y29，从这个圆上任意一点P向x轴引垂线段PP'，垂足为

P'，点M在PP'上，并且PM2MP'，求点M的轨迹。

8. 已知圆x2y21，从这个圆上任意一点P向X轴引垂线段PP’，则线段PP’的中点M的轨迹方程是 。

4

二、 直线和椭圆的位置关系 (一)判断位置关系

1． 当m为何值时,直线l:yxm和椭圆9x216y2144 (1)相交；(2)相切；(3)相离。

2． 若直线ykx2与椭圆2x23y26有两个公共点，则实数k的取值范围为 。 (二)弦长问题

x2y21. 设椭圆C:221(ab0)的左右两个焦点分别为F1、F2，过右焦点

abF2且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为M(2,1)。

x2y21 （1） 求椭圆的方程；42（2） 设椭圆C的一个顶点为B（0，-b），直线BF2交椭圆C于另一点N，求

F1BN的面积。

(三)点差法

x2y2定理：在椭圆221（a＞b＞0）中，若直线l与椭圆相交于M、N两点，点

aby0b2P(x0,y0)是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，则kMN2.

x0a1. 已知一直线与椭圆 4x29y236相交于A、B两点,弦AB的中点坐标为

(1,1)，求直线AB的方程.

5

x2y22. 直线l经过点A(1，2)，交椭圆1于两点P1、P2，

3616（1）若A是线段P1P2的中点，求l的方程； （2）求P1P2的中点的轨迹．

(四) 定值、定点问题

1、

yP1AOP2xx2y21相交于A、B两点,已知点 已知动直线yk(x1)与椭圆C:553uuuruuur7M(,0)， 求证：MAMB为定值.

3 2、

. 已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，短轴长为23．

(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 若直线l：

ykxmk0与椭圆交于不同的两

点M、N（M、N不是椭圆的左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标． 3、

在直角坐标系xOy中，点M到F1(3,0)、F2(3,0)的距离之和是4，点

M的轨迹C与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线l：ykxb与轨uuuruuur迹C交于不同的两点P和Q．(1) 求轨迹C的方程；(2) 当APAQ0时，求k与b的关系，并证明直线l过定点．

6

三、最值问题

x21. 已知P为椭圆（m∈R），求PM的最小值。 y21上任意一点，M（m，0）

4

x22.在椭圆y21求一点P，是它到直线l：x+2y+10=0的距离最小，并求最大

4最小值。

x2y23. 设AB是过椭圆1中心的弦，F1是椭圆的上焦点，

925（1）若△ABF1面积为45，求直线AB的方程；（2）求△ABF1面积的最大值。

4. 设椭圆中心在坐标原点，A(2，，0)B(0，1)是它的两个顶点，直线ykx(k0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．

uuuruuur（1）若ED6DF，求k的值；（2）求四边形AEBF面积的最大值．

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四、垂直关系

1.椭圆C的两个焦点分别为F1(1，0)、F2(1，0)，短轴的两个端点分别为B1、B2。 (1) 若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；

(2) 若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P、 Q两点，且

uuuruuur，求直线l的方程。 F1PFQ1

2. 如图，设椭圆

x2y21的上顶点为2B，右焦点为F，直线l与椭圆交于M、N两点，问是否存在直线l使得F为△BMN的垂心。若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。

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