人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷7
（共22题）
一、选择题（共10题）
1. 设 𝛼∈(0,π
π
1+sin𝛽2)，𝛽∈(0,2)，且 tan𝛼=cos𝛽，则 ( )
A． 3𝛼−𝛽=π
B． 2𝛼−𝛽=π
2 C． 3𝛼+𝛽=π
2
2
2. 函数 𝑦=tan𝑥+sin𝑥−∣tan𝑥−sin𝑥∣ 在区间 (π3π
2,
2
) 内的图象是 ( A．
B．
C．
1
D． 2𝛼+𝛽=π
2
)
D．
π
3. 将函数 𝑓(𝑥)=cos𝜔𝑥（其中 𝜔>0）的图象向右平移 3 个单位，若所得图象与原图象重合，则 𝑓(24) 不可能等于 ( )
4. 若函数 𝑓(𝑥)=sin(2𝑥−3) 与 𝑔(𝑥)=cos𝑥−sin𝑥 都在区间 (𝑎,𝑏)(0<𝑎<𝑏<π) 上单调递减，则 𝑏−𝑎 的最大值为 ( )
5. 将函数 𝑦=2cos(6−𝑥)cos(𝑥+3) 的图象向右平移 𝜑(𝜑>0) 个单位，所得图象对应的函数恰为偶函数，则 𝜑 的最小值为 ( )
6. 在 △𝐴𝐵𝐶 中，若 sin(𝐴−𝐵)=1+2cos(𝐵+𝐶)sin(𝐴+𝐶)，则 △𝐴𝐵𝐶 一定是 ( )
7. 已知 sin(𝜃+π)<0，cos(𝜃−π)>0，则 𝜃 所在象限是 ( )
8. 函数 𝑦=3sin(4𝑥+) 的最小正周期是 ( )
3
ππ
π
π
π
A． 0 B． 1 C．
√2 2
D．
√3 2
A． 6
π
B． 3
π
C． 2
π
D． 12
5π
A． 3
π
B． 4
π
C． 6
π
D． 12
π
A．等边三角形 C．钝角三角形
B．直角三角形
D．不含 60∘ 角的等腰三角形
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
A． 2π
B． 2
2
π
C． 3
π
D． π
9. 𝐴，𝐵，𝐶 是 △𝐴𝐵𝐶 的内角，其中 𝐵=
10. 已知角 𝛼=𝑘⋅180∘−2014∘，𝑘∈𝐙，则符合条件的最大负角为 ( )
二、填空题（共6题）
11. 已知函数 𝑓(𝑥)=2sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔>0,∣𝜑∣<) 的图象过点 𝐵(0,−√3)，且在 (,) 上单调，
2183
同时 𝑓(𝑥) 的图象向左平移 π 个单位长度后与原来的图象重合，当 𝑥1,𝑥2∈(−𝑥1≠𝑥2 时，𝑓(𝑥1)=𝑓(𝑥2)，则 𝑓(𝑥1+𝑥2)= ．
12. sinπ= ，cosπ= ，tanπ= ．
6
6
6
5
5
5
4π3
π
ππ
2π3
，则 sin𝐴+sin𝐶 的取值范围 ( )
C． (2,1)
√2A． (2,1)
√3B． (2,1]
√3D． (2,2)
√3A． −34∘ B． −220∘ C． −202∘ D． −158∘
,−
2π3
)，且
13. 已知函数 𝑦=2cos𝑥 与 𝑦=2sin(2𝑥+𝜑)（0≤𝜑＜π），它们的图象有一个横坐标为 3 的交点，
则 𝜑 的值是 ．
14. 给出下列命题：①函数 𝑦=cos(3𝑥+2) 是奇函数；②存在实数 𝛼，使得 sin𝛼+cos𝛼=2；③
若 𝛼，𝛽 是第一象限角且 𝛼<𝛽，则 tan𝛼 π π 5π4 2 π 3 π ) 的一条 对称轴方程；⑤函数 𝑦=sin(2𝑥+3) 的图象关于点 (12,0) 成中心对称图形．其中正确命题的序号为 ． 15. 某城市一年中 12 个月的平均气温 𝑦 与月份 𝑥 的关系可近似地用函数 𝑦=𝑎+𝐴cos[(𝑥− 6π 6)](𝑥=1,2,3,⋯,12) 来表示，已知6月份的月平均气温最高，为 28∘C，12月份的月平均气温最低，为 18∘C，则10月份的平均气温为 16. 已知 sin(5−𝛼)=3，则 cos(2𝛼+ 3 π 1 3π5 ∘ C． ) 等于 ． 三、解答题（共6题） 17. 已知 cos𝛼=，且 −<𝛼<0，求 3 2 1 π cos(−𝛼−π)⋅sin(2π+α) cos(−𝛼)⋅cos(π+α) 的值． 18. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出了计算弧田（由圆弧和其所 对的弦所围成）面积的经验公式，弧田面积=2(弦×矢+矢)．公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差．现有圆心角为 2π3 1 2 ，弦长等于 6 米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积 𝑆1 与实际 面积 𝑆2 的误差为多少平方米．（用 𝑆2−𝑆1 计算） 19. 根据下列条件求函数 𝑓(𝑥)=sin(𝑥+4)+2sin(𝑥−4)−4cos2𝑥+3cos(𝑥+ (1) 𝑥=4； (2) 𝑥= 20. 𝑓(𝜃)=sin𝜃+cos𝜃+1(0≤𝜃≤2) 的最大值和最小值． 21. 已知 𝛼∈(0,2)，cos𝛼=5． (1) 求 sin(6+𝛼) 的值； (2) 若 tan(𝛼+𝛽)=3，求 tan𝛽． 22. 已知函数 𝑓(𝑥)=(sin𝑥+cos𝑥)2+2cos2𝑥−2． (1) 求函数 𝑓(𝑥) 的最小正周期； (2) 当 𝑥∈[4, π3π 4ππ 3 4sin𝜃cos𝜃−1 π 3π4π π π 3π4 ) 的值： ． ] 时，求函数 𝑓(𝑥) 的最大值，最小值． 4 答案 一、选择题（共10题） 1. 【答案】B 【解析】因为 tan𝛼=所以 sin𝛼cos𝛼 1+sin𝛽cos𝛽 ， = 1+sin𝛽cos𝛽 ， 即 sin𝛼cos𝛽=cos𝛼+cos𝛼sin𝛽， 所以 sin𝛼cos𝛽−cos𝛼sin𝛽=cos𝛼， 即 sin(𝛼−𝛽)=sin(2−𝛼)， 又 𝛼，𝛽 均为锐角，且 𝑦=sin𝑥 在 (−2,2) 上单调递增， 所以 𝛼−𝛽=−𝛼， 2π ππ π 即 2𝛼−𝛽=2， 故选B． 【知识点】正弦函数的性质、两角和与差的正弦 2. 【答案】D 【解析】当 π2 π <𝑥<π 时，tan𝑥 时，tan𝑥>sin𝑥，此时 𝑦=2sin𝑥<0． 结合选项知D中的图象符合． 【知识点】正弦函数的图象、正弦函数的性质 3. 【答案】D 【解析】由题意知 3=因此 𝑓(𝑥)=cos6𝑘𝑥， 从而 𝑓(24)=cos 4. 【答案】B 5 π 𝑘ππ 2π𝜔 ⋅𝑘(𝑘∈𝐍∗)， 所以 𝜔=6𝑘(𝑘∈𝐍∗)， π √3． 2 ，可知 𝑓(24) 不可能等于 4 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质 【解析】函数 𝑓(𝑥)=sin(2𝑥−) 在 (0,) 上单调递增， 312在 (12, 5π11π π5π ) 上单调递减，在 (12,π) 上单调递减； 12 π 3π4 11π 函数 𝑔(𝑥)=cos𝑥−sin𝑥=√2cos(𝑥+4) 在 (0,在 (4,π) 上单调递增； 所以 𝑓(𝑥)，𝑔(𝑥) 都在区间 (所以 𝑏−𝑎 的最大值为 3π4 5π3π12 3π ) 上单调递减， , 4 ) 上单调递减， −12=3． 5ππ 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质 5. 【答案】D 【解析】由题意可得 𝑦=2cos(6−𝑥)cos(𝑥+3)=2sin(𝑥+3)cos(𝑥+3)=sin(2𝑥+向右平移 𝜑(𝜑>0) 个单位后可得 𝑦=sin[2(𝑥−𝜑)+因为平移后函数为偶函数，所以，−2𝜑+因为 𝜑>0，所以 𝜑 的最小值是 12． 【知识点】三角函数的图象变换、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质 6. 【答案】B 【解析】由题意知 sin(𝐴−𝐵)=1−2cos𝐴sin𝐵，即 sin𝐴cos𝐵−sin𝐵cos𝐴=1−2cos𝐴sin𝐵， 所以 sin𝐴cos𝐵+sin𝐵cos𝐴=sin(𝐴+𝐵)=1， 所以 𝐴+𝐵=𝐶=，无法判断 𝐴 与 𝐵 是否相等， 2π π 2π3 π2 2π π π π π 2π3 )， ]=sin(2𝑥−2𝜑+3 π12 2π3 ) 的图象， =+𝑘π，所以 𝜑=− 𝑘π2 ，𝑘∈𝐙， 所以 △𝐴𝐵𝐶 一定是直角三角形． 【知识点】两角和与差的正弦 7. 【答案】B 【解析】由 sin(𝜃+π)=−sin𝜃<0⇒sin𝜃>0， cos(𝜃−π)=−cos𝜃>0⇒cos𝜃<0， sin𝜃>0, 由 { cos𝜃<0, 可知 𝜃 是第二象限角． 【知识点】诱导公式 6 8. 【答案】B 【解析】因为 𝜔=4，𝑇=∣𝜔∣， 所以 𝑇=∣4∣=2． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质 9. 【答案】B 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质 10. 【答案】A 【解析】由题意知，符合条件的最大负角应为 𝑘⋅180∘−2014∘<0∘ 中 𝑘 取最大的整数值时所对应的 𝛼 角，解该不等式易得 𝑘<−34∘ 为最大负角． 【知识点】任意角的概念 二、填空题（共6题） 11. 【答案】 −√3 【解析】函数 𝑓(𝑥)=2sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔>0,∣𝜑∣<) 的图象，过点 𝐵(0,−√3)，则 2sin𝜑=−√3，2解得：sin𝜑=− π √3， 2 π 2014180 1790 2π π 2π =11，𝑘∈𝐙，故 𝑘=11 时，𝛼=11×180∘−2014∘= 由于：∣𝜑∣<2， 所以 𝜑=−3，则 𝑓(𝑥)=2sin(𝜔𝑥−3)， 同时 𝑓(𝑥) 的图象向左平移 π 个单位之后与原来的图象重合， 所以 𝑔(𝑥)=2sin[𝜔(𝑥+π)−]=2sin(𝜔𝑥−)，则 𝜔π=2kπ， 33函数在 𝑥∈(18,3) 上单调，则 3−18≤2=𝜔，解得 0<𝜔≤ π ππ π π 𝑇 π 185 π π π π ， π π 所以 𝜔=2，则 𝑓(𝑥)=2sin(2𝑥−)，函数的对称轴方程为：2𝑥−=𝑘π+(k∈𝐙)，𝑥= 332π+12 5 kπ2 ∈(−3π,−3π)， 1312 42 则当 𝑘=−3 时，𝑥=−π，由于 𝑥= 𝑥1+𝑥22 ，则 𝑓(𝑥1+𝑥2)=𝑓(− 136 π)=2sin(− 143 π)=−√3． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、三角函数的图象变换 7 12. 【答案】 2 ； − 13. 【答案】 6π 1 √3 2 ； − √3 3 【知识点】诱导公式 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质 14. 【答案】①④ 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质 15. 【答案】20.5 【解析】根据题意得 28=𝑎+𝐴，18=𝑎+𝐴cos[6(12−6)]=𝑎−𝐴， 解得 𝑎=23，𝐴=5， 所以 𝑦=23+5cos[(𝑥−6)]， 6π π 令 𝑥=10， 得 𝑦=23+5cos[6(10−6)]=23+5cos【知识点】三角函数模型的应用 16. 【答案】 −9 原式=−cos(5−2𝛼) 【解析】 =−[1−2sin2(5−𝛼)] 2 =−[1−9]=−. 97 π 2π 7 π 2π3 =20.5． 【知识点】二倍角公式 三、解答题（共6题） 17. 【答案】因为 −2<𝛼<0， 所以 sin𝛼=−√1−cos2𝛼=−√1−(3)=− 122√2． 3 π 8 原式=cos𝛼⋅(−cos𝛼) = = sin𝛼cos𝛼− 2√2313 −cos𝛼⋅sin𝛼 =−2√2.【知识点】同角三角函数的基本关系、诱导公式 18. 【答案】圆心角为 2π3 ，弦长等于 6 米． 设圆心到弦的距离为 𝑥 米，则扇形半径 𝑟=2𝑥 米， 由勾股定理得 𝑟2=32+(2)，解得 𝑟=2√3 米． 所以扇形面积等于 ⋅ 2 1 1 2π3 𝑟2 ⋅(2√3)=4π 平方米， π 2 𝑆2=4π−2×6×2√3×cos3=(4π−3√3) 平方米． 圆心到弦的距离等于 √3 米， 所以矢长为 √3 米， 按照题目中弧田面积经验公式计算得 𝑆1=2(弦×矢+矢)=2×(6×√3+3)=所以 4π−3√3− 6√3+32 1 2 1 6√3+3 2 平方米． =4π−6√3−2． 3 【知识点】弧度制 19. 【答案】 (1) −2． (2) 2． 【知识点】任意角的三角函数定义、同角三角函数的基本关系 20. 【答案】令 𝑡=sin𝜃+cos𝜃=√2sin(𝜃+4)， 所以当 0≤𝜃≤2 时，1≤𝑡≤√2， 由于 4sin𝜃cos𝜃=2(sin𝜃+cos𝜃)2−2=2𝑡2−2， 所以 𝑓(𝜃)= 2𝑡2−3𝑡+1π π = 2(𝑡+1)2−4(𝑡+1)−1 𝑡+11 =2(𝑡+1)− 1𝑡+1 −4， 由于 𝑔(𝑡)=2(𝑡+1)−𝑡+1 在 1≤𝑡≤√2 上是单调递增函数， 所以 𝑔(𝑡) 的最大值为 2(√2+1)− 1√2+1=√2+3， 9 所以 𝑔(𝑡) 的最大值为 4−2=2，于是 𝑓(𝜃) 的最大值为 √2−1，最小值为 −2． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质 21. 【答案】 (1) 因为 𝛼∈(0,)，cos𝛼=， 25所以 sin𝛼=5， sin(6+𝛼)=sin6cos𝛼+cos6sin𝛼 =2×5+= 3+4√3.10 4 1 3 √32 π π π 4 π 3 171 ×5 4 (2) 由（Ⅰ）可得 tan𝛼=3， 因为 tan(𝛼+𝛽)=3， 所以 tan𝛽 =tan[(𝛼+𝛽)−𝛼]= 3−13 43 1+3× 43 =. 【知识点】两角和与差的正切、两角和与差的正弦 22. 【答案】 (1) 𝑓(𝑥)=sin2𝑥+cos2𝑥=√2sin(2𝑥+4)，所以 𝑓(𝑥) 的最小正周期为 π． (2) 因为 𝑥∈[4,所以 3π4 π4π3π 4 π ]， 7π4 ≤2𝑥+≤， √2， 2π3π4 4 所以 −1≤sin(2𝑥+)≤ 4 π −√2≤𝑓(𝑥)≤1，当 𝑥∈[,] 时， 函数 𝑓(𝑥) 的最大值为 1，最小值为 −√2． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质 10 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容