时域、S域、Z域转换

自动控制中，基于时间考虑，控制系统包括时间连续和时间离散两种，对于连续时间控制系统，一般会考虑将其转换为s域进行分析处理；对于离散时间控制系统，则一般考虑将其转换到z域进行分析处理。在这几种空间域中，存在相互转换的关系。下面分别进行分析描述：

1 时域

时域是对控制系统最直观的描述，不管是连续还是离散控制系统，其结构都可以用时间来进行描述。

2 s域

s域又称为频域，其对控制系统的分析是纯数学分析，而时域则是对控制系统和控制过程的直观描述。一般将正弦波视为频域中唯一存在的波形（因为时域中的任何波形都可以用正弦波进行合成）注：任何两个频率不同的正弦波都是正交的。如果将两个正弦波相乘并在整个时间轴上求积分，则积

分值为零。这说明可以将不同的频率分量相互分离开。

3 z域

z域是对离散时间系统的描述，其来源于连续系统的拉氏变换，z变换时对采样函数拉氏变换的变形。对连续时间系统进行采样，并对采样信号进行处理的空间域就称为z域。

4 域间转换

4.1 时域到s域

对于时域到s域的转换可以跟踪积分、微分关系进行转换。如，对于系统

d2idiCf(t)A2BCidtF(s)As2Bsdtdts。对，可根据积分、微分的对应，直接将其转换为

于系统的积分，一般都是考虑将积分转换为微分进行处理的。

结合拉普拉斯变换

F(s)f(t)estdt0，可以对时域到S域进行转换，另外，令sj，

则可以对S域进行频域分析。

4.2 时域到z域

对于时域到z域的转换可以根据各次时间量的时间次序进行转换。如，对于系统

Y(z)CDz1G(z)X(z)1Az1Bz2。 y(t)Ay(t1)By(t2)Cx(t)Dx(t1)，则可以将其转换为

结合z域的含义，定义

E(z)e(nT)znn0，然后结合等比级数求和的方法进行整合。

4.3 s域与z域

z域可来自于时域，也可来自于s域。

设连续函数e(t)是可拉氏变换的，且在t0时，存在e(t)0，则拉氏变换式可以写为

E(s)e(t)estdt。

e对于采样信号(t)，存在

e(t)e(nT)(tnT)n0。对此采样信号进行拉氏变换，则可得：

E(s)e(nT)(tnT)estdt。 n0结合(tnT)f(t)dtf(nT)，可以知道：

E(s)e(nT)ensTn0

n1E(z)E(s)|e(nT)z1slnzsTsTslnzn0zeeT其展开各相中均含有，令，即T，则可得：。

附录：

1 z域、s域分析

11z1，

123令e(t)1(t)，则存在E(z)1zzzzn，对E(z)进行求和，则得

E(z)则当

z11，此无穷级数收敛。

因为

z1esTeT1,Re(s)，所以在级数收敛时，存在条件0。

2 z变化表