考研数学一（高等数学）模拟试卷49 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，且g(x)＜f(x)＜m，则由曲线y=g(x)，y=f(x)及直线X一口，X一6所围成的平面区域绕直线y=m旋转一周所得旋转体体积为( )．
A．π∫ab[2m—f(x)+g(x)][f(x)一g(x)]dx B．π∫ab[2m一f(x)一g(x)][f(x)一g(x)]dx C．π∫ab[m一f(x)+g(x)][f(x)一g(x)]dx D．π∫ab[m一f(x)一g(x)][f(x)一g(x)]dx
正确答案：B
解析：由元素法的思想，对[x，x+dx][a，b]， dv={π[m—g(x)]2一π[m—f(x)]2}dx=π[2m一f(x)一g(x)][f(x)一g(x)]dx， 则V=∫abdv=π∫ab[2m一f(x)一g(x)][f(x)一g(x)]dx，选(B)． 知识模块：高等数学
2． 矩形闸门宽口米，高h米，垂直放在水中，上边与水面相齐，闸门压力为( )．
A．ρg∫0hah dh B．ρg∫0aah dh C．ρg∫0hah dh D．2ρg∫0hah dh
正确答案：A
解析：取[x，x+dx][0，h]，dF=ρg×x×a×dx=ρgaxdx， 则F=ρg∫0haxdx=ρgahdh，选(A)． 知识模块：高等数学
3． 在曲线y=(x一1)2上的点(2，1)处作曲线的法线，由该法线、x轴及该曲线所围成的区域为D(y＞0)，则区域D绕x轴旋转一周所成的几何体的体积为( )．
A． B． C． D．
正确答案：D
解析：过曲线y=(x一1)2上点(2，1)的法线方程为y=一x+2，该法线与x
轴的交点为(4，0)，则由该法线、x轴及该曲线所围成的区域D绕x轴旋转一周所得的几何体的体积为V=π∫12(x一1)4dx+，选(D)． 知识模块：高等数学
填空题
4． ∫0+∞e7dx=___________。
正确答案：3
解析： 知识模块：高等数学
5． ∫1+∞=___________．
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
6． ∫e+∞=___________．
正确答案：1
解析： 知识模块：高等数学
7． 曲线y=x4(x≥0)与x轴围成的区域面积为___________．
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
8． 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，证明：存在ξ∈(a，b)，使得 f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx．
正确答案：令φ(x)=∫axf(t)dt∫bxg(t)dt，显然φ(x)在[a，b]上可导，又φ(a)=φ(b)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=f(x)∫bxg(t)dt+g(x)∫axf(t)dt，所以f(ξ)∫bξg(x)dx+g(ξ)∫aξf(x)dx=0，即f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx． 涉及知识点：高等数学
9． 设f(t)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)sinxdx=0．证明：存在ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)=0．
正确答案：令F(x)=∫0xf(t)sintdt，因为F(0)=F(π)=0，所以存在x1∈(0，π)，使得F’(x1)=0，即f(x1)sinx1=0，又因为sinx1≠0，所以f(x1)=0． 设x1是f(x)在(0，π)内唯一的零点，则当x∈(0，π)且x≠x1时，有sin(x—x1)f(x)恒正或恒负，于是∫0πsin(x—x1)f(x)dx≠0． 而∫0πsin(x—x1)f(x)dx=cosx∫0πf(x)sinxdx—sinxl ∫0πf(x)cosxdx=0，矛盾，所以f(x)在 (0，π)内至少有两个零点．不妨设f(x1)=f(x2)=0，x1，x2∈(0，7c)且x1＜x2，由罗尔中值定理，
存在ξ∈(x1，x2)(0，π)，使得f’(ξ)=0． 涉及知识点：高等数学
10． 设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=0，且｜f’(x)｜≤2．证明：｜∫02f(x)dx｜≤2．
正确答案：由微分中值定理得f(x)～f(0)=f’(ξ1)x，其中0＜ξ1＜x，f(x)一f(2)=f’(ξ2)(x一2)，其中x＜ξ2＜2，于是从而|∫02f(x)dx|≤∫02|f(x)|dx=∫01|f(x)|dx+∫12|f(x)|dx ≤∫012xdx+∫122(2一x)dx=2． 涉及知识点：高等数学
11． 设f(x)在区间[a，b]上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得 ∫abf(x)dx=(b—a)ff”(ξ)．
正确答案：令F(x)=∫axf(t)dt，则F(x)在[a，b]上三阶连续可导，取x0=，由泰勒公式得 涉及知识点：高等数学
12． 设y=f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数． (1)证明存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积； (2)设f(x)在(0，1)内可导，且f’(x)＞—，证明(1)中的c是唯一的．
正确答案：(1)S1(c)=cf(c)，S2(c)=∫c1f(t)dt=一∫1cf(t)dt，即证明S1(c)=S2(c)，或cf(c)+∫1cf(t)dt=0．令φ(x)=x∫1xf(t)dt，φ(0)=φ(1)=0，根据罗尔定理，存在f∈(0，1)，使得φ’(c)=0，即cf(f)+∫1cf(t)dt=0，所以S1(c)=S2(c)，命题得证． (2)令h(x)=xf(x)一∫x1f(t)dt，因为h’(x)=f(x)+xf’(x)＞0，所以h(x)在[0，1]上为单调函数，所以(1)中的c是唯一的． 涉及知识点：高等数学
13． 求曲线y=cosx(一)与x轴围成的区域绕x轴、y轴形成的几何体体积．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
14． 设L：y=sinx(0≤x≤)．由x=0，L及y=sint围成面积S1(t)；由y=sint、L及x=． (1)t取何值时，S(t)=S1(t)+S2(t)取最小值? (2)t取何值时，S(t)=S1(t)+S2(t)取最大值?
正确答案：S1(t)=tsint—∫0tsinxdx=tsint+cost—1，(2)当t=0时，S(t)最大，且最大值为S(0)=1． 涉及知识点：高等数学
15． 设f(x)=∫—1x(1一｜t｜)dt(x＞—1)，求曲线y=f(x)与x轴所围成的平面区域的面积．
正确答案：当一1＜x≤0时，f(x)=∫—1x(1一|t|)dt=∫—1x(t+1)dt 涉及知识点：高等数学
16． 设C1，C2是任意两条过原点的曲线，曲线C介于C1，C2之间，如果过C上任意一点P引平行于x轴和y轴的直线，得两块阴影所示区域A，B有相等的面积，设C的方程是y=x2，C1的方程是y=x，求曲线C2的方程．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
17． 设曲线y=a+x—x2，其中a＜0．当x＞0时，该曲线在x轴下方与y轴、x轴所围成图形的面积和在x轴上方与x轴所围成图形的面积相等，求a．
正确答案：设曲线y=a+x—x与x3轴正半轴的交点横坐标为α，β(α＜β)，由条件得 一∫0α(a+x—x)dx=∫αβ(a+x—x3)dx，移项得 ∫0α(a+x一x3)dx+∫αβ(a+x—x3)dx=∫0β(a+x—x3)dx=0→β(4a+2β一β3)=0， 因为β＞0，所以4a+2β一β3=0． 又因为(β，0)为曲线y=a+x—x3与x轴的交点，所以有α+β一β3=0，从而有β=一3a→a一3a+27a3=0→a=一． 涉及知识点：高等数学
18． 求曲线y=x2—2x、y=0、x=1、x=3所围成区域的面积S，并求该区域绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
19． 设平面图形D由x2+y2≤2x与y≥x围成，求图形D绕直线x=2旋转一周所成的旋转体的体积．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
20． 设L：y=e—x(x≥0)． (1)求由y=e—x、x轴、y轴及x=a(a＞0)所围成平面区域绕z轴旋转一周而得的旋转体的体积V(a)． (2)设V(c)=，求c．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
21． 求由曲线y=4一x2与x轴围成的部分绕直线x=3旋转一周所成的几何体的体积．
正确答案：取[x，x+x][—2，2]，则dV=2π(3—x)(4一x2)dx， V=dV=2π∫—22 (3一x)(4一x3)dx=6π∫—22 (4一x3)dx =12π∫—22 (4一x3)dx=12π×=64π 涉及知识点：高等数学
22． 曲线y=x2(x≥0)上某点处作切线，使该曲线、切线与x轴所围成的面积为，求切点坐标、切线方程，并求此图形绕x轴旋转一周所成立体的体积．
正确答案：设切点坐标为(a，a2)(a＞0)，则切线方程为 y一a2=2a(x一a)，即y=2ax一a2， 涉及知识点：高等数学
23． 求摆线L：(a＞0)的第一拱绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
24． 设曲线(0＜a＜4)与x轴、y轴所围成的图形绕x轴旋转所得立体体积为V1(a)，绕y轴旋转所得立体体积为V2(a)，问a为何值时，V1(a)+V2(a)最大，并求最大值．
正确答案：曲线与x轴和y轴的交点坐标分别为(a，0)，(0，b)，其中b=4一a．曲线可化为 涉及知识点：高等数学
25． 设一抛物线y=ax2+bx+C过点(0，0)与(1，2)，且a＜0，确定a，b，c，使得抛物线与x轴所围图形的面积最小．
正确答案：因为曲线过原点，所以c=0，又曲线过点(1，2)，所以a+b=2，b=2—a． 因为a＜0，所以b＞0，抛物线与x轴的两个交点为0，一，所以令S’(a)=0，得a=一4，从而b=6，所以当a=一4，b=6，c=0时，抛物线与x轴所围成的面积最小． 涉及知识点：高等数学
26． 设直线y=kx与曲线y=所围平面图形为D1，它们与直线x=1围成平面图形为D2．(1)求k，使得D1与D2分别绕x轴旋转—周成旋转体体积V1与V2之和最小，并求最小值；(2)求求此时的D1+D2．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
27． 求摆线(0≤t≤2π)的长度。
正确答案： 涉及知识点：高等数学
28． 设曲线y=，过原点作切线，求此曲线、切线及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的表面积．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
29． 一半径为R的球沉入水中，球面顶部正好与水面相切，球的密度为1，求将球从水中取出所做的功．
正确答案：以球顶部与水面相切的点为坐标原点，x轴铅直向下，取[x，x+dx][0，2R]，由 于球的密度与水的密度相同，所以水面以下不做功， dw=(2R—x)×π[R2一(R—x)2]×1×gdx=πx(2R—x)2gdx， W=∫02Rdw=． 涉及知识点：高等数学
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