浙江省绍兴市嵊州市2018学年第一学期期末高中教学质量调测高三数学
试题（解析版）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1. 已知全集 ，集合 ，则
A.
【答案】A
B. C. 0， D.
【解析】解： 0，1，2， ， 1，2， ， 则 ， 故选：A．
求出集合的等价条件，结合补集的定义进行求解即可．
本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，以及利用补集的定义是解决本题的关键．
2. 双曲线方程为
，则渐近线方程为
A.
【答案】A
B. C.
D.
【解析】解： 双曲线方程为 故选：A．
，则渐近线方程为 ，即 ，
把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程，化简即可得到所求．
本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程．
3. 《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗 问：
五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子，数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子 ”根据上述问题的己知条件，分得橘子最多的人所得的橘子个数为
A. 15
【答案】C
B. 16 C. 18 D. 21
【解析】解：设第一个人分到的橘子个数为 ， 由题意得： 解得 ．
，
则 ． 得到橘子最多的人所得的橘子个数是18． 故选：C．
设第一个人分到的橘子个数为 ，由等差数列前n项和公式能求出得到橘子最少的人所得的橘子个数，再由等差数列的通项公式即可求出答案．
本题考查等差数列的应用，考查等差数列前n项和公式、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
4. 函数
的大致图象为
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：函数 ，则函数 是偶函数，图象关于y轴对称，排除B，D， ，排除A， 故选：C．
判断函数的奇偶性和对称性，利用 进行排除即可
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数图象的对称性以及特殊值的符号结合排除法是解决本题的关键．
5. 已知平面 ， ，直线m，n， ， ，则“ ”是“ ”的
A. 充分不必要条件
C. 充分必要条件
【答案】B
B. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
【解析】解：平面 ， ，直线m，n， ， ， 若“ ”则 或 ，故不满足充分条件， 若“ ”则可以推出 ，故满足必要条件， 故“ ”是“ ”的必要不充分条件， 故选：B．
根据空间几何关系和充分必要条件的定义即可判断 本题考查空间的中的位置关系和充分必要条件，属于基础题
6. 在 中， ，且 ，则
A. B. C. 或
D. 或
【答案】A
【解析】解：在 中，由 ，得 ， ， ，则 ．
又 ， ，则 ，
．
，即 ．
故选：A．
由已知条件利用正弦定理、两角和差的正弦公式求得 的值，可得角B的大小． 本题三角形的解法，考查正弦定理、两角和差的正弦公式，属于基础题．
7. 如图，在 中， ，
， ， ， 是边BC的四等分点，记 ， ，
，则
A.
【答案】D
B. C.
D.
【解析】解：
， t同理可得：
故选：D．
为基向量，将 选取 ， ， ， 表示为 ， 后计算出 ， ， 后再比较大小可得． 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．
8. 设 ，互相独立的两个随机变量 ， 的分布列如表：
P P 0 1 p 1
则当P在 内增大时
A. 减小， 减小 C. 增大， 减小
【答案】D
B. 减小， 增大 D. 增大， 增大
【解析】解：随机变量 的分布列如下表所示：
P
0
1 所以，
，
，
由于二次函数
的图象开口向下，对称轴为直线 ，
因此，当p在 内增大时， 增大， 增大． 故选：D．
先列出随机变量 的分布列，计算出该随机变量的数学期望和方差，利用一次函数与二次函数的单调性可得出答案．
本题考查随机变量的期望与方差，考查分布列与函数的单调性，属于中等题．
9. 在直角梯形ABCD中， ， ，M，E分别为AD，CD的中点，N为
B上的点， ，且 ， ， ，现将四边形ABNM沿直线MN翻折，则在翻折过程中，
A. 直线AB与直线NE所成的角不可能为 B. 直线AB与直线NE所成的角不可能为 C. 直线AB与平面MNCD所成的角不可能为 D. 直线AB与平面MNCD所成的角不可能为
【答案】D
【解析】解：在直角梯形ABCD中， ， ，M，E分别为AD，CD的中点，N为B上的点，
，且 ， ， ，现将四边形ABNM沿直线MN翻折， 当没有翻折时， ， 是直线AB与直线NE所成的角，
此时， ， ， ，
，
当平面MNCD与AFNM重合时，NE与NG重合， 是直线AB与直线NE所成的角 或所成角的补角 ， 此时 ， ，
，
直线AB与直线NE所成的角的余弦值为 ， ，
，
， ，
当平面MNCD与平面ABNM共面时，直线AB与平面MNCD所成的角取最小值为 ，
当平面MNCD与平面ABNM垂直时，直线AB与平面MNCD所成的角为 ，取最大值为 ， 在A中，直线AB与直线NE所成的角可能为 ，故A错误； 在B中，直线AB与直线NE所成的角可能为 ，故B错误；
在C中，当平面MNCD与平面ABNM共面时，直线AB与平面MNCD所成的角取最小值为 ， 当平面MNCD与平面ABNM垂直时，直线AB与平面MNCD所成的角取最大值为 ， 故直线AB与平面MNCD所成的角可能为 ，故C错误；
在D中，当平面MNCD与平面ABNM共面时，直线AB与平面MNCD所成的角取最小值为 ， 当平面MNCD与平面ABNM垂直时，直线AB与平面MNCD所成的角取最大值为 ， 故直线AB与平面MNCD所成的角不可能为 ，故D正确． 故选：D．
当平面MNCD与平面ABNM共面时，直线AB与平面MNCD所成的角取最小值为 ，当平面MNCD与平面ABNM垂直时，直线AB与平面MNCD所成的角取最大值为 ．
本题考查命题真假的判断，考查异面直线所成角、线面角等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
10. 设数列 的前n项和为 ，已知 ，
， ，若 ，则正整数k的值为
A. 2016
【答案】C
B. 2017 C. 2018 D. 2019
【解析】解： ， 两边取倒数可得： 化为：
， ，
，
，
，
可得：数列 是等比数列，首项为1，公比为 ．
， ．
，
令 ，
，
而
， ．
， ，则正整数k的值为2018． 故选：C． ，
， ，两边取倒数可得：
，变形为：
，利用等比数
列的通项公式可得： 通过放缩利用等比数列的求和公式可得 ．
本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、放缩法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）
11. 已知复数 i是虚数单位 是方程 的解，则 ______， ______． 【答案】1
【解析】解： 复数 、 是虚数单位 是方程 的根， ， 化为 ， ， ， 解得 ， ， 故答案为：1； ．
复数 、 是虚数单位 是方程 的根，代入可得 ，利用复数的运算法则及其复数相等可得a，b．
本题考查了复数的运算法则及其复数的简单性质的应用，考查了推理能力与计算能力．
则 的最小值为______，y满足不等式组 ，12. 若实数x，
最大值为______． 【答案】0 8
【解析】解：作出约束条件表示的可行域如图： 将目标函数 变形得 ．
由图可知当直线 过点A时截距最小，即z最小．
． 解方程组 得 解得
的最小值为 最大值为： ． 故答案为：0；8．
作出可行域，寻找目标函数 的最优解．
本题考查了简单的线性规划，结合图形寻找最优解是关键，属于中档题．
13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是______，最长棱的长度为
______．
【答案】 【解析】解：根据几何体的三视图， 转换为几何体如图所示：
利用切割法，把几何体切成由一个直四棱柱和两个三棱柱和两个三棱锥组成． 几何体的体积为： 最大的棱长为： ． 故答案为： ， ．
首先把几何体的三视图转换为几何体，进一步利用切割法把不规则的几何体转换为由四棱柱和三棱柱及三棱锥构成的几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果．
本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
14. 若二项式 的展开式的第三项是常数项，则此常数项为______．
，
【答案】24
【解析】解： 二项式 的展开式的第三项，即 ，即 为常数项， ，即 ， 常数项为 ，
故答案为：24．
x的指数为0，利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令 时，列出方程，求出n的值可得此常数项． 解决二项展开式的特定项问题，一般利用的工具是二项展开式的通项公式，这样可以解决所有的待定项的问题．
15. 将编号为1，2，3，4，5的5个小球全部放入A，B，C3个盒子内，若每个盒子不空，且放在同一盒子内的
小
球编号互不相连，则不同的放法种数共有______ 用数字作答 【答案】42
【解析】解：编号为1，2，3，4，5的5个小球，根据小球的个数可以分为 1， 和 2， 两组， 当为 1， 时，放在同一盒子内的小球编号互不相连，故3个小球只能为编号1，3，5的在一个盒子只，故只有一种分组的方法，再分配到3个盒子，故有 种，
当为 2， 时，放在同一盒子内的小球编号互不相连，此时有 和 ， 和 ， 和 ， 和 ， 和 ， 和 共有6种分组的方法，再分配到3个盒子，故有 种， 故不同的放法种数共有 种， 故答案为：42
编号为1，2，3，4，5的5个小球，根据小球的个数可以分为 1， 和 2， 两组，再分配到3个盒子里即可求出．
本题考查了分组分配问题，关键是分组，属于中档题．
16. 已知 是椭园
上的一点，直线 与直线 为圆M：
的两条切线，若 则 ______． 【答案】 【解析】解： 直线 与直线 为圆M： 的两条切线， 由 ，可得 ， 是方程 的两个不相等的实数根，
，
点 在椭圆C上，
，
，解得 ．
故答案为： ．
写出直线OP、OQ的方程，由直线与圆M相切，利用点到直线的距离公式可得：
，知 ， 是方程
的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可得 ，然后求解r即可．
本题考查椭圆的简单性质，考查直线与圆、椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．
时，不等式 的解集是______；若关于x的方程17. 已知函数 ，当
恰有三个实根，则实数a的取值范围为______．
【答案】 或
【解析】解：当 时，
，
当 时，由 得 ，
当 ，不等式等价为 ，即 此时不等式不成立， 当 时，不等式等价为 ，得 ，
当 时，由由 得 ，得 ，得 ，此时无解，
综上不等式 的解集 ，
当 时， 的最小值为 ，在 上的最大值为 ， 当 时，函数 是开口向下的抛物线对称轴为 ，顶点为 ， 当 时， 最多有两个零点， 当 时， 最多有两个零点， 则要使 恰有三个实根，
则当 时，有两个零点， 时有一个零点， 或当 时，有一个零点， 时有两个零点，
得 有两个零点，则 ， 若当 时， ，
即 ，
此时当 时只能有一个零点，
若对称轴a满足 ，此时当 时，必有一个零点， 则只需要当 时， ，即 ， 得
，此时 ，
若对称轴a满足 ，此时 在 上为增函数，
要使 此时只有一个零点，则 即 ，得
，此时 ，
若当 时，有一个零点，此时 ， 即 时，
此时当 时，函数的对称轴 ，
要使 时有两个零点，则 即 ，得
舍或
，此时
，
综上实数a的取值范围是
或 ，
故答案为： ， 或 ．
结合绝对值函数以及一元二次函数的图象和性质，利用数形结合进行求解即可．
本题主要考查函数与方程的应用，以及函数零点个数的应用，结合绝对值函数和一元二次函数的图象和性质，利用数形结合以及分类讨论的思想是解决本题的关键 综合性较强，有一定的难度．
三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）
18. 已知角 的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆 圆心在坐标原点 相交于
点 ，射线OA绕点O逆时针方向旋转 到OB交单位圆于点 Ⅰ 当 时，求 ；
Ⅱ 若 ，求 的最小值．
【答案】解： Ⅰ 由三角函数定义知， ， ， ，
． Ⅱ ，
， ，
， 的最小值为1．
【解析】 Ⅰ 根据三角函数的定义求出 ，即可利用二倍角的余弦函数公式求解．
Ⅱ 根据两角和的正弦函数公式可求 ，根据 的范围，利用正弦函数的性质可求最小值．
本题考查三角函数的定义，正弦函数的图象和性质，考查转化思想和数形结合思想的应用，属于基础题．
19. 如图，己知四棱锥 中，底面ABCD是矩形 为棱AB的中点， ， ， ，
．
Ⅰ 证明：平面 平面ABCD； Ⅱ 求二面角 的余弦值．
Ⅰ 四棱锥 中，【答案】证明：底面ABCD是矩形 为棱AB的中点，
， ， ， ．
， ， ， ， 平面PDE，
平面ABCD， 平面 平面ABCD．
解： Ⅱ 以E为原点，EC为x轴，ED为y轴，过E作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
0， ， 0， ， ， 0， ，
， 0， ， ，
，
y， ， 设平面PCD的法向量
，取 ，得 则 ，
y， ， 设平面PCE的法向量
则 ，取 ，得 ，
设二面角 的平面角为 ， 则
．
二面角 的余弦值为 ．
【解析】 Ⅰ 推导出 ， ，从而 平面PDE，由此能证明平面 平面ABCD．
Ⅱ 以E为原点，EC为x轴，ED为y轴，过E作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 的余弦值．
本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
，20. 已知等比数列 的前n项的和为 ，满足 ，数列 的首项为1，且
． Ⅰ 求数列 的通项公式； Ⅱ 设
，证明： ．
【答案】解： Ⅰ 等比数列 的前n项的和为 ，满足 ， ， 设首项为 ，公比为q，
则：
，
解得： ， ， 所以： ．
证明： Ⅱ 数列 的首项为1，且 ． 当 时， ， 得： ， 整理得：
，
则： ，
，
，
，
所以： ， 所以： ， 故：
，
则： ，
．
【解析】 Ⅰ 利用等比数列的通项公式和前n项和的应用求出数列的通项公式． Ⅱ 利用 Ⅰ 的结论，进一步利用放缩法和叠乘法求出结论．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠乘法在数列的通项公式的求法及应用，放缩法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
21. 已知抛物线 ， ， ，其中 ，过点M作抛物线的切线，
切点为 不同于原点 ，过点AP作直线交抛物线于点B，过点M，P作直线交抛物线于点C，D．
Ⅰ 证明：直线MA，MP的斜率之积为定值； Ⅱ 若 的面积为 ，求实数a的值．
【答案】解： Ⅰ 证明：设过点 的直线方程为 ，由题意知k存在且 ， 由 ，消去y整理得 ， ， 解得 ； 又 ， ， 即直线MA，MP的斜率之积为定值； Ⅱ 由 Ⅰ 知点A的横坐标为 纵坐标为 ， ， 直线AP的方程为 ，
由 ，消去x整理得 ，
解得 或 ，
令 ，求得 ， 点 ； 又直线MP的方程为 ，即 ； 由 ，消去y整理得 ，
，
， ；
，
又点B到直线MP的距离为 的面积为
， ，
，解得 ，即实数a的值为2．
【解析】 Ⅰ 设过点M的直线方程为 ，与抛物线方程联立，利用 求出k的值；再求直线MP的斜率 ，计算 的值即可；
Ⅱ 求出点A的坐标，写出直线AP的方程，与抛物线联立求出点B的坐标，写出直线MP的方程，与抛物线联立求出弦长 ，再求点B到直线MP的距离，写出 的面积，从而求出实数a的值．
本题考查了直线方程与抛物线方程的应用问题，也考查了点到直线的距离与弦长公式应用问题，是难题．
22. 已知 ，函数 ．
Ⅰ 当 时，证明：函数 在区间 上有且仅有一个零点； Ⅱ 当
时，若函数 的两个极值点为 ，
，证明： ．
【答案】证明： 时，
．
可得函数 在 处取得极大值，而在 处取得极小值， 而 时， ， ， ． 函数 在区间 上有且仅有一个零点．
，
时，
令 ，当
．
方程 有两个不等实数根，解得
，
， ．
．
可得函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值． 且 ．
令
．
， ．
，
函数 在 上单调递增，
．
因此结论 成立． 【解析】 时， 得出结论．
可得函数 在 处取得极大值，而在 处取得极小值，进而
，令 ，当
时，
方程 有两个不等
实数根，解得 ， ， 可得函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值 可
得 通过换元利用当时研究函数的单调性极值即可得出．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、换元法，考查了推理能力与计算能力，
属于难题．
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