泰勒公式及其应用(毕业论文)

毕业论文

题 目 泰勒公式及其应用

学生姓名 学号

所在院(系) 数 学 系 专业班级 数学与应用数学专业2006级4班 指导教师

完成地点 陕西理工学院

2010年 5月 30日

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泰勒公式及其应用

Xxx

（陕西理工学院数学系数学与应用数学专业2006级4班,陕西 汉中 723000）

指导教师：李金龙

[摘 要] 文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式,针对泰勒公式的应用讨论了九个问题，

即应用泰勒公式求极限，证明不等式，判断级数的敛散性，证明根的唯一存在性,判断函数的极值,求初等函数的幂级数展开式,进行近似计算,求高阶导数在某些点的数值,求行列式的值.

[关键词] 泰勒公式；极限；不等式；敛散性；根的唯一存在性；极值;展开式;近似计算;行列式.

１ 引言

泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明.

２ 预备知识

定义2.1[1] 若函数f在x0存在n阶导数,则有

f'(x0)f''(x0)f(x)f(x0)(xx0)(xx0)21!2!

f(n)(x0)(xx0)no((xx0)n) （1）

n!n这里o((xx0))为佩亚诺型余项,称(1)f在点x0的泰勒公式.

f'(0)f''(0)2f(n)(0)n当x0=0时,（1）式变成f(x)f(0)xxxo(xn),称此式

1!2!n!为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.

.

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定义2.2[2] 若函数 f在x0某邻域内为存在直至 n1阶的连续导数,则

f''(x0)f(n)(x0)2f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)...(xx0)nRn(x) , （2）这里

2!n!'f(n1)()(xx0)n1,其中在x与x0之间,称（2）为f在x0的泰勒Rn(x)为拉格朗日余项Rn(x)(n1)!公式.

f''(0)2f(n)(0)nx...xRn(x) 当x0=0时,（2）式变成f(x)f(0)f(0)x2!n!'称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.

常见函数的展开式：

x2xnexe1xxn1.

2!n!(n1)!x2n1x3x5nxsinxx(1)o(x2n2). 3!5!(2n1)!x2x4x6cosx12!4!6!x2n(1)o(x2n).

(2n)!nn1x2x3nxln(1x)x(1)o(xn1). 23n111xx2xno(xn) 1x(1x)m1mxm(m1)2x. 2!定理2.1[3](介值定理) 设函数 f在闭区间 [a,b]上连续,且 f(a)f(b),若0为介于

f(a)与f(b)之间的任何实数,则至少存在一点x0(a,b),使得

f(x0)0.

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3 泰勒公式的应用

3.1 利用泰勒公式求极限

为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.

x22例3.1 求极限limcosxex0x4.

x0分析：此为型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cosx和e2分别用泰勒展开式

02代替,则可简化此比式.

xx2x44o(x),e2解 由cosx12!4!2x22()x22o(x4)得 122cosxex22(1112)x4o(x4)x4O(x4), 4!22!12于是

x22limcosxex0x414xO(x4)1lim124. x0x123.2 利用泰勒公式证明不等式

当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代

替,往往使证明方便简捷.

例3.2 当x0时,证明sinxx13x. 6证明 取f(x)sinxx13x,x00,则 6f(0)0,f'(0)0,f''(0)0,f'''(x)1cosx,f'''(0)0.

带入泰勒公式,其中n=3,得 .

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f(x)000故

1cosx3x，其中01. 3!当x0时,sinxx3.3 利用泰勒公式判断级数的敛散性

13x. 6当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.

例3.3 讨论级数

(n11n1ln)的敛散性.

nn分析：直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正向级数比较困难,因而也就无法恰当选择判敛方法,注意到ln1n111相呼应,ln(1),若将其泰勒展开为的幂的形式,开二次方后恰与nnnn会使判敛容易进行.

解 因为

ln所以

n111111ln(1)234nnn2n3n4n1, nln11, n1n所以

un1n1ln0

nn故该级数是正向级数. 又因为

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lnn11111111111123o(3)23(3)3, nn2n3nnnn4nnn2n22n2所以

un1n11111ln(3)3.

nnnn2n22n2因为

n112n32收敛,所以由正向级数比较判别法知原级数收敛.

3.4 利用泰勒公式证明根的唯一存在性

例3.4 设f(x)在[a,)上二阶可导,且f(a)0,f(a)0,对x(a,),f0, 证

明： f(x)0在(a,)内存在唯一实根.

'''分析：这里f(x)是抽象函数,直接讨论f(x)0的根有困难,由题设f(x)在[a,)上二阶可导且f(a)0,f(a)0,可考虑将f(x)在a点展开一阶泰勒公式,然后设法应用戒指定理证明.

'证明 因为f(x)0,所以f(x)单调减少,又f(a)0,因此x>a时,f(x)f(a)0,故f(x)在(a,)上严格单调减少.在a点展开一阶泰勒公式有

''''''f'()f(x)f(a)f(a)(xa)(xa)2(ax)

2'由题设f(a)0,f()0,于是有lim,从而必存在ba,使得f(b)0,又因为f(a)0,

x''在[a,b]上应用连续函数的介值定理,存在x0(a,b),使f(x0)0,由f(x)的严格单调性知x0唯一,因此方程f(x)0在(a,)内存在唯一实根.

3.5 利用泰勒公式判断函数的极值

.

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例3.5[4] (极值的第二充分条件)设f在x0的某邻域U(x0;)内一阶可导,在xx0处二阶

'''可导,且f(x0)0,f(x0)0.

''(i)若f(x0)0,则f在x0取得极大值.

''(ii) 若f(x0)0,则f在x0取得极小值.

证明 由条件，可得f在x0处的二阶泰勒公式

f'(x0)f''(x0)f(x)f(x0)(xx0)(xx0)2o((xx0)2).

1!2!'由于f(x0)0,因此

f''(x0)f(x)f(x0)[o(1)](xx0)2.(*)

2''''又因f(x0)0,故存在正数,当xU(x0;)时,

1''1f(x0)与f''(x0)o(1)同号.所以,22'''当f(x0)0时,(*)式取负值,从而对任意xU(x0;)有

f(x)f(x0)0,

''即f在x0取得极大值.同样对f(x0)0,可得f在x0取得极小值.

3.6 利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式

利用基本初等函数的幂级数展开式,通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式.

例3.6 求

1的幂级数展开式.

1xx2解 利用泰勒公式

(1x)(1x3x6x9)1xx3x4x6x7x9x10)

11x2333334363739310(xxxxxxx231xx1x22222223222(n1)n[sinx]33n03.7 利用泰勒公式进行近似计算 .

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利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用f(x)麦克劳林展开得到函数的近似计算式为

f''(0)2f(x)f(0)f(0)xx2!'fn(0)nx,

n!其误差是余项Rn(x).

例3.7 计算Ln1.2的值,使误差不超过0.0001

解 先写出f(x)=Ln(1+x)带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式：

x2x3Ln(1x)x23(1)nxn1其中Rn(x)（在0与x之间）. n1(n1)(1)令x0.2,要使

(1)n1xnRn(x), n(0.2)n1n1|Rn(x)|(0.2)0.0001(00.2) n1(n1)(1)则取n5即可. 因此

ln1.20.20.020.002670.000400.000060.1823其误差|R5|0.0001

当要求的算式不能得出它的准确值时,即只能求出其近似值,这时泰勒公式是解决这种问题的最好方法.

例3.8 求解 因为

10exdx的近似值,精确到105.

2210exdx中的被积函数是不可积的（即不能用初级函数表达）,现用泰勒公式的方法求

e01x2dx的近似值.

x2x2在e的展开式中以x代替 x得e逐项积分,得

x41x2!2x2n(1)n!n

2n1xx4n0edx01dx0xdx02!dx(1)0n！dx111111(1)n32!5n！2n1111111113104221613299360756001x21121

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上式右端为一个收敛的交错级数,由其余项Rn(x)的估计式知

|R7|所以10.00001575600

111111x2edx10.7468360310422161329936013.8 利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值

如果f(x)泰勒公式已知,其通项中的加项(xx0)的系数正是阶导数数值,而不必再依次求导.

例3.9 求函数f(x)xex在x=1处的高阶导数f解 设x=u+1,则

2n1(n)f(x0),从而可反过来求高n!(100)(1)(2).

f(x)g(u)(u1)2e(u1)(u1)2eue,f(n)(1)g(n)(0),

eu在u=0的泰勒公式为

u98u99u100e1uo(u100),

98!99!100!u从而

u98u99u100g(u)e(u2u1)(1uo(u100)),

98!99!100!2而g(u)中的泰勒展开式中含u100g100(0)100u,从g(u)的展开式知u100的项为的项应为

100!e(121100)u,因此 98!99!100!g100(0)121e(),g100(0)e10101, 100!98!99!100!f100(1)g100(0)10101e.

3.9 利用泰勒公式求行列式的值

若一个行列式可看做x的函数（一般是x的n次多项式）,记作f(x),按泰勒公式在某处x0展开,用这一方法可求得一些行列式的值. 例 3.10 求n阶行列式

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xz D=zyxyyyyzxy （1） zzzx解 记fn(x)D,按泰勒公式在z处展开：

fn(z)fn''(z)fn(n)(xz)2fn(x)f(z)(xz)(xz)(xz)n, （2）

1!2!n!易知

'zy0 D0zy0000000000yyyyzyk阶z(zy)k1 （3）

00zyzyk1由（3）得,fk(z)z(zy),k1,2,,n时都成立.

根据行列式求导的规则,有

fn'(x)nfn1(x),fn'1(x)(n1)fn2(x),,f2'(x)2f1(x),f1'(x)1(因为f1(x)x).

于是fn(x)在xz处的各阶导数为

fn'(z)fn'(z)|xznfn1(z)nz(zy)n2,

fn''(z)fn''(z)|xznfn'1(z)n(n1)z(zy)n3,

… … … …

fnn1(z)fnn1|xzn(n1)2f1(z)n(n1)2z

fn(n)(z)n(n1)21

把以上各导数代入（2）式中,有

nn(n1)z(zy)n2(xz)z(zy)n3(xz)21!2!

n(n12)n(n1)21z(xz)n1(xz)n(n1)!n!fn(x)z(zy)n1n1若zy,有fn(x)(xy)[x(n1)y],

.

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z(xy)ny(xz)n若zy,有fn(x).

zy4 总结

本文主要介绍了泰勒公式以及它的九个应用,使我们对泰勒公式有了更深一层的理解,怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识.,只要在解题训练中注意分析,研究题设条件及其形式特点,并把握上述处理规则,就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧.

参考文献

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[7]张立民Visual Foxpro5.x中文版应用技术手册【M】大连：大连理工大学出版社,1997 [8]中文版Visual Foxpro3.0编程指南【M】西安：西安交通大学出版社,1997 [9]Visual Basic程序设计【M】中央广播电视大学出版社,2001

Some Equivalent Definitions

and Applications of Convex Function

Wang Cuina

（Grade06,Class4, Major in Mathematics and Applied Mathematics, Department of Mathematics,

Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000, Shaanxi)

Tutor:Li Jinlong

[Abstract]This paper briefly introduces the Taylor formula and the expansion of several common functions, for

the Taylor formula discussed nine issues that limit application of Taylor's formula of seeking to prove that inequality, determine convergence and divergence of series, that the root The only existence, determine the function of the extreme value, find the primary function of the power series expansion, to approximate calculation, find the higher derivative value at some point, find the value of determinant.

[Key words]Taylor formula; limit; inequality; Convergence; root of the only existence; extreme; expansion;

approximate calculation; determinant.

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