2019-2020学年江苏省苏州市九年级(上)期末数学试卷(二)

2019-2020学年江苏省苏州市九年级（上）期末数学试卷（二）

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列四组图形中，相似图形为( )

A． B．

C． D．

2．（3分）为了了解阳光居民小区“全民健身”活动的开展情况，某志愿者随机调查了该小区50名成年居民一周的体育锻炼时间，并将数据进行整理后绘制成如图所示的统计图，则这50人一周体育锻炼时间的众数是( )

A．6小时

B．20人

C．10小时

D．3人

3．（3分）已知a是方程2x24x20190的一个解，则a22a( ) A．2019

B．4038

C．

2019 2D．

2019 44．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB4，AD3，若以点A为圆心，以4为半径作A，则下列各点在A外的是( )

A．点A

B．点B

C．点C

D．点D

3，则BC边的长为( ) 25．（3分）在ABC中，AB63，AC6，cosBA．9

B．12

C．12或6 D．12或9

6．（3分）O是一个正n边形的外接圆，若O的半径与这个正n边形的边长相等，则n的

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值为( ) A．3

B．4

C．6

D．8

7．（3分）如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为，水平飞行m千米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为，那么此时飞机离地面的高度为( )

A．C．

m千米

cotcotm千米

tantanB．D．

m千米

cotcotm千米

tantan

8．（3分）已知二次函数yx24x3，下列说法中正确的是( ) A．该函数图象的开口向下 B．该函数图象的顶点坐标是(2,7) C．当x0时，y随x的增大而增大

D．该函数图象与x轴有两个不同的交点，且分布在坐标原点两侧 9．（3分）如图①，AB2，点C在线段AB上，且满足

ACBC如图②，以图①中的AC，ABACBC长为边建构矩形ACBF，以CB长为边建构正方形CBDE，则矩形AEDF的面积为(

)

A．1465 B．458

C．10522

D．10520

10．（3分）已知函数y2x与yx2c(c为常数，1剟x2)的图象有且仅有一个公共点，则常数c的值为( )

c3 A．0c„3或c1 B．l„c0或c3 C．1剟第2页（共27页）

D．1c„3且c0

二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）

11．（3分）有一组数据：1，0，1，3，2，它们的平均数是 ． 12．（3分）二次函数y2(x1)23的顶点坐标是 ．

13．（3分）已知两个相似三角形对应角平分线的比为4:5，周长和为18cm，那么这两个三角形的周长分别是 ．

14．（3分）已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15cm2，则这个圆锥的底面圆半径为

cm．

15．（3分）已知O的外切四边形ABCD和内接四边形EFGH都是正方形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在大正方形区域内的概率为p1，针尖落在阴影部分内的概率为p2，则

p2 ． p1

16．（3分）如图，AB是O的直径，E是OB的中点，过E点作弦CDAB，G是弧AC上任意一点，连结AG、GD，则G ．

17．（3分）如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长均为1，则atnBAC的值为 ．

18．（3分）如图，点E是矩形ABCD的一边AD的中点，连接AF；若AB4，BFCE于F，

AD6，则sinAFE ．

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三．解答题（共10小题，满分76分）

19．（5分）计算：2cos604sin60tan306cos245． 20．（5分）解方程：(2x1)236x．

21．（6分）若二次函数yx2bxc图象经过A(1,0)，B(3,4)两点，求b、c的值． 22．（7分）车辆经过润扬大桥收费站时，4个收费通道A、B、C、D中，可随机选择其中一个通过．

（1）一辆车经过此收费站时，选择A通道通过的概率是 ．

（2）用树状图或列表法求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．

23．（7分）六十九中学为了解中考体育科目训练情况，从全校九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）求本次抽样测试的学生人数是多少？ （2）通过计算把图2条形统计图补充完整；

（3）我校九年级有学生700名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数约有多少人？

24．（7分）如图，在正方形网格纸中，ABC的三个顶点都在格点上．以点O为位似中心，

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把ABC按相似比2:1放大，得到对应的△ABC．

（1）请在第一象限内画出△ABC；设D(a,b)为线段AC上一点，则点D经过上述变换后得到的对应点D的坐标为 （用含a、b的式子表示）； （2）△ABC的面积为 ．

25．（8分）如图，一艘船由A港沿北偏东65方向航行302km至B港，然后再沿北偏西40方向航行至C港，C港在A港北偏东20方向， 求（1）C的度数．

（2）A，C两港之间的距离为多少km．

26．（9分）如图，在RtABC中，ACB90，以AC为直径的O交AB于点D，过点D作O的切线交BC于点E，连接OE． （1）求证：DBE是等腰三角形； （2）求证：COE∽CAB．

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27．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax24与x轴的负半轴交于点A、与y轴交于点B，且AB25． （1）求a的值；

（2）如果点P是抛物线上一点，联结AP交y轴正半轴于点C，

AC1，求P的坐标． PC228．（12分）如图，在矩形OABC中，点A，B的坐标分别为A(4,0)，B(4,3)，动点N，P分别从点B，A同时出发，点N以1单位/秒的速度向终点C运动，点P以5/4单位/秒的速度向终点C运动，连结NP，设运动时间为t秒(0t4) （1）直接写出OA，AB，AC的长度； （2）求证：CPN∽CAB；

（3）在两点的运动过程中，若点M同时以1单位/秒的速度从点O向终点A运动，求MPN的面积S与运动的时间t的函数关系式（三角形的面积不能为0)，并直接写出当S运动时间t的值．

3时，2

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2019-2020学年江苏省苏州市九年级（上）期末数学试卷（二）

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列四组图形中，相似图形为( )

A． B．

C． D．

【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【解答】解：A．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；

B．形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，此选项符合题意；

C．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；

D．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；

故选：B．

【点评】本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．

2．（3分）为了了解阳光居民小区“全民健身”活动的开展情况，某志愿者随机调查了该小区50名成年居民一周的体育锻炼时间，并将数据进行整理后绘制成如图所示的统计图，则这50人一周体育锻炼时间的众数是( )

A．6小时

B．20人

C．10小时

D．3人

【分析】在这50人中，参加6个小时体育锻炼的人数最多，则众数为6小时． 【解答】解：由条形统计图知锻炼时间为6小时的人数最多，有20人，

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所以这50人一周体育锻炼时间的众数是6小时， 故选：A．

【点评】本题考查众数的意义，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．

3．（3分）已知a是方程2x24x20190的一个解，则a22a( ) A．2019

B．4038

C．

2019 2D．

2019 42019，2【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到2a24a20190，变形得到a22a然后利用整体代入的方法进行计算．

【解答】解：a是方程2x24x20190的一个根， 2a24a20190， a22a2019， 2故选：C．

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

4．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB4，AD3，若以点A为圆心，以4为半径作A，则下列各点在A外的是( )

A．点A

B．点B

C．点C

D．点D

【分析】根据勾股定理求出AC的长，进而得出点B，C，D与A的位置关系． 【解答】解：连接AC，

在矩形ABCD中，AB4，AD3， BCAD3，B90，

ACAB2BC25，

AB44，AC54，AD34，

点B在

A上，点C在A外，点D在A内．

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故选：C．

【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握点与圆的位置关系：设O的半径为r，点P到圆心的距离OPd，则有：①如果点P在圆外，那么dr；②如果点P在圆上，那么dr；③如果点P在圆内，那么dr．反之也成立．

5．（3分）在ABC中，AB63，AC6，cosBA．9

B．12

3，则BC边的长为( ) 2C．12或6 D．12或9

【分析】作ADBC于D，如图，利用特殊角的三角函数值得到B30，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AD33，BD9，则利用勾股定理可计算出CD3，然后讨论：当AD在ABC的内部时，BCBDCD，当AD在ABC的内部时，BCBDCD． 【解答】解：作ADBC于D，如图， cosB3， 2B30，

在RtABD中，AD1AB33， 2BD3AD3339，

在RtADC中，CD62(33)23，

当AD在ABC的内部时，BCBDCD9312， 当AD在ABC的内部时，BCBDCD936， 综上所述，BC的长为12或6． 故选：C．

【点评】本题考查了解直角三角形：灵活运用锐角三角形的定义和勾股定理解直角三角形． 6．（3分）O是一个正n边形的外接圆，若O的半径与这个正n边形的边长相等，则n的

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值为( ) A．3

B．4

C．6

D．8

【分析】因为O的半径与这个正n边形的边长相等，推出这个多边形的中心角60，构建方程即可解决问题； 【解答】解：

O的半径与这个正n边形的边长相等，

这个多边形的中心角60， 

36060， nn6，

故选：C．

【点评】本题考查正多边形与圆，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

7．（3分）如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为，水平飞行m千米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为，那么此时飞机离地面的高度为( )

A．C．

m千米

cotcotm千米

tantanB．D．

m千米

cotcotm千米

tantan

【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可表示出此时飞机离地面的高度．

【解答】解：作PCAB交AB于点C，如右图所示， ACPCPC，BC，

tantanmACBC，

mPCPC， tantanm11tantanm，

cotcotPC故选：A．

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【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答，注意tancot1．

8．（3分）已知二次函数yx24x3，下列说法中正确的是( ) A．该函数图象的开口向下 B．该函数图象的顶点坐标是(2,7) C．当x0时，y随x的增大而增大

D．该函数图象与x轴有两个不同的交点，且分布在坐标原点两侧 【分析】根据二次函数的性质解题．

【解答】解：A、由于yx24x3中的a10，所以该抛物线的开口方向是向上，故本选项不符合题意．

B、由yx24x3(x2)27知，该函数图象的顶点坐标是(2,7)，故本选项不符合题

意．

C、由yx24x3(x2)27知，该抛物线的对称轴是x2且抛物线开口方向向上，

所以当x2时，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意．

D、由yx24x3知，△(4)241(3)280，则该抛物线与x轴有两个不同的

交点；设a、b是该抛物线与x轴交点横坐标，则ab30，所以两个不同的交点分布在坐标原点两侧，故本选项符合题意． 故选：D．

【点评】考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，需要利用二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与x轴交点的求法，配方法的应用等解答，难度不大． 9．（3分）如图①，AB2，点C在线段AB上，且满足

ACBC如图②，以图①中的AC，ABACBC长为边建构矩形ACBF，以CB长为边建构正方形CBDE，则矩形AEDF的面积为(

)

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A．1465 B．458

C．10522

D．10520

【分析】利用黄金比进行计算即可． 【解答】解：由ACBCACBC得， ABAC5151AB251， 223535AB235， 22因为CBDE为正方形，所以ECBC，

AEACCEACBC(51)(35)254，

矩形AEDF的面积：AEDE(254)(35)10522． 故选：C．

【点评】本题考查了黄金分割的意义，熟练利用黄金比计算是解题的关键．

10．（3分）已知函数y2x与yx2c(c为常数，1剟x2)的图象有且仅有一个公共点，则常数c的值为( )

A．0c„3或c1 B．l„c0或c3 C．1剟c3

D．1c„3且c0

【分析】利用直线y2x与yx2c(c为常数，1剟x2)的图象有且仅有一个公共点，由根的判别式求出c的值，即可求得直线的解析式． 【解答】解：把y2x代入yx2c， 整理得x22xc0，

根据题意△(2)24c0，解得c1， 把x1代入y2x与yx2c得，c3， 把x2代入y2x与yx2c得，c0，

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当0c„3或c1时，函数y2x与yx2c(c为常数，1剟x2)的图象有且仅有一个

公共点， 故选：A．

【点评】本题主要考查了一次函数和二次函数图象上点坐标特征． 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）

11．（3分）有一组数据：1，0，1，3，2，它们的平均数是 1 ． 【分析】根据平均数的定义求解．

1【解答】解：平均数为：(10132)1．

5故答案是：1．

【点评】考查了算术平均数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．

12．（3分）二次函数y2(x1)23的顶点坐标是 (1,3) ． 【分析】根据二次函数的顶点坐标确定方法，直接得出答案即可． 【解答】解：二次函数y2(x1)23，

二次函数y2(x1)23的顶点坐标是：(1,3)．

故答案为：(1,3)．

【点评】此题主要考查了二次函数顶点坐标确定方法，根据顶点式得出顶点坐标是考查重点，同学们应熟练掌握．

13．（3分）已知两个相似三角形对应角平分线的比为4:5，周长和为18cm，那么这两个三角形的周长分别是 8cm、10cm ．

【分析】根据相似三角形的对应角平分线的比等于相似比、三角形的周长比等于相似比列式计算即可．

【解答】解：设其中一个三角形的周长为xcm，则另一个三角形的周长为(18x)cm， 两个相似三角形对应角平分线的比为4:5，

两个相似三角形的相似比为4:5， 两个相似三角形的周长比为4:5， 

x4， 18x5第13页（共27页）

解得，x8，

则18x10，

故答案为：8cm、10cm．

【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角平分线的比等于相似比、三角形的周长比等于相似比是解题的关键．

14．（3分）已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15cm2，则这个圆锥的底面圆半径为 3

cm．

【分析】根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径即可． 【解答】解：圆锥的母线长是5cm，侧面积是15cm2，

圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l2s306， r5锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长， rl63cm， 22故答案为：3．

【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确地进行圆锥与扇形的转化．

15．（3分）已知O的外切四边形ABCD和内接四边形EFGH都是正方形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在大正方形区域内的概率为p1，针尖落在阴影部分内的概率为p2，则

p22 ．  p14

【分析】直接利用正方形和圆的面积求法结合正方形的性质得出P 1，P2的值即可得出答案．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a， 则O的半径为

a，正方形EFGH的对角线为a， 22a21正方形ABCD的面积a，O的面积，正方形EFGH的面积a2，

42针尖落在大正方形区域内的概率为p11，

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a21a222针尖落在阴影部分内的概率为p24， 2a4p22， p14故答案为：

24．

【点评】此题主要考查了几何概率，正确得出各部分面积是解题关键．

16．（3分）如图，AB是O的直径，E是OB的中点，过E点作弦CDAB，G是弧AC上任意一点，连结AG、GD，则G 60 ．

【分析】连接OD，BD，根据含30的直角三角形的性质和圆周角定理解答即可． 【解答】解：连接OD，BD，

CDAB，E是OB的中点， OED90，2OEOD， BOD60， OBOD，

OBD是等边三角形， B60， G60，

故答案为：60．

【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据含30的直角三角形的性质和圆周角定理解答． 17．（3分）如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长均为1，则atnBAC的值为 1 ．

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【分析】连接BC，由勾股定理求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到ABC为等腰直角三角形，即可得出所求． 【解答】解：连接BC，

由网格可得ABBC22125，AC321210， AB2BC2AC2， ABC为等腰直角三角形， BAC45，

则tanBAC1， 故答案为：1．

【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

18．（3分）如图，点E是矩形ABCD的一边AD的中点，连接AF；若AB4，BFCE于F，

AD6，则sinAFE

3 ． 5

【分析】延长CE交BA的延长线于点G，由题意可证AGEDCE，可得AGCD4，根据直角三角形的性质可得AFEAGF，由勾股定理可求CG10，即可求sinAFE的值．

【解答】解：延长CE交BA的延长线于点G，

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四边形ABCD是矩形，

AB//CD，ABCD4，ADBC6， GGCD，且AEDEA，AEGDEC

AGEDCE(AAS) AGCD4，

AGAB，且BFGF， AFAGAB4

AFEAGF，

BGAGAB8，BC6

GCBG2BC210 sinAFEsinAGF3故答案为：

5BC3 GC5【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，锐角三角函数等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键． 三．解答题（共10小题，满分76分）

19．（5分）计算：2cos604sin60tan306cos245． 【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案． 1332【解答】解：原式246()2

2232123

0．

【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 20．（5分）解方程：(2x1)236x．

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【分析】先变形得到(2x1)23(2x1)0，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：(2x1)23(2x1)，

(2x1)23(2x1)0， (2x1)[(2x1)3]0， 2x10或2x20

所以x11，x21． 2【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

21．（6分）若二次函数yx2bxc图象经过A(1,0)，B(3,4)两点，求b、c的值． 【分析】把A、B两点坐标代入yx2bxc得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可．

1bc0b3【解答】解：把A(1,0)，B(3,4)代入yx2bxc得，解得，

93bc4c4所以抛物线解析式为yx23x4．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式：二次函数图象上的点的坐标满足其解析式．

22．（7分）车辆经过润扬大桥收费站时，4个收费通道A、B、C、D中，可随机选择其中一个通过．

（1）一辆车经过此收费站时，选择A通道通过的概率是

1 ． 4（2）用树状图或列表法求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率． 【分析】（1）根据概率公式即可得到结论； （2）画出树状图即可得到结论．

【解答】解：（1）选择A通道通过的概率故答案为：

1； 41， 4（2）设两辆车为甲，乙，

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如图，两辆车经过此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择不同通道通过的有12种结果，

选择不同通道通过的概率123． 164【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，正确的画出树状图是解题的关键． 23．（7分）六十九中学为了解中考体育科目训练情况，从全校九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）求本次抽样测试的学生人数是多少？ （2）通过计算把图2条形统计图补充完整；

（3）我校九年级有学生700名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数约有多少人？

【分析】（1）根据B级的人数除以B级所占的百分比，可得答案； （2）根据抽测人数乘以C及所占的比例，可得答案；

（3）利用样本估计总体的方法知，全校总人数乘以D级所占的比例，可得答案． 【解答】解：（1）本次抽样测试的学生人数是1230%40（人)； （2）C级的人数为4035%14人，

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；

（3）7008140（人) 40答：不及格140人．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

24．（7分）如图，在正方形网格纸中，ABC的三个顶点都在格点上．以点O为位似中心，把ABC按相似比2:1放大，得到对应的△ABC．

（1）请在第一象限内画出△ABC；设D(a,b)为线段AC上一点，则点D经过上述变换后得到的对应点D的坐标为 (2a,2b) （用含a、b的式子表示）； （2）△ABC的面积为 ．

【分析】（1）根据题意作出图形，求得D的坐标即可； （2）根据矩形的面积和三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）如图所示，△ABC即为所求； D(a,b)为线段AC上一点，

点D经过上述变换后得到的对应点D的坐标为(2a,2b)，

故答案为：(2a,2b)；

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111（2）△ABC的面积8444284212，

222故答案为：12．

【点评】此题考查了作图位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．

25．（8分）如图，一艘船由A港沿北偏东65方向航行302km至B港，然后再沿北偏西40方向航行至C港，C港在A港北偏东20方向， 求（1）C的度数．

（2）A，C两港之间的距离为多少km．

【分析】（1）由由题意即可得出答案；

（2）由题意得，CAB652045，ACB402060，AB30BEAC于E，解直角三角形即可得到答案．

2，过B作

【解答】解：（1）由题意得：ACB204060；

（2）由题意得，CAB652045，ACB402060，AB302， 过B作BEAC于E，如图所示： AEBCEB90，

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在RtABE中，ABE45，

ABE是等腰直角三角形，

AB302，

AEBE2AB30， 2BE， CE在RtCBE中，ACB60，tanACBCEBE30103，

tan603ACAECE30103，

A，C两港之间的距离为(30103)km．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握解直角三角形，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

26．（9分）如图，在RtABC中，ACB90，以AC为直径的O交AB于点D，过点D作O的切线交BC于点E，连接OE． （1）求证：DBE是等腰三角形； （2）求证：COE∽CAB．

【分析】（1）连接OD，由DE是O的切线，得出ODE90，ADOBDE90，由ACB90，得出CABCBA90，证出CABADO，得出BDECBA，即可得出结论；

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（2）证出CB是O的切线，得出DEEC，推出ECEB，再由OAOC，得出OE//AB，即可得出结论．

【解答】证明：（1）连接OD，如图所示：

DE是O的切线，

ODE90， ADOBDE90， ACB90， CABCBA90， OAOD， CABADO， BDECBA，

EBED，

DBE是等腰三角形；

（2）ACB90，AC是O的直径， CB是O的切线，

DE是O的切线，

DEEC，

EBED，

ECEB， OAOC， OE//AB， COE∽CAB．

【点评】本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．

27．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax24与x轴的负半轴交于点A、与y轴

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交于点B，且AB25． （1）求a的值；

（2）如果点P是抛物线上一点，联结AP交y轴正半轴于点C，

AC1，求P的坐标． PC2【分析】（1）抛物线yax24与x轴的负半轴交于点A、与y轴交于点B，则点B(0,4)，AB25，则OA2，故点A(2,0)，即可求解；

（2）设点C(0,b)，

AC1，则OA:yP1:3，则yP3b，联立直线AC与抛物线的表达式PC2111并整理得：x2bx(4b)0，则2xPb，解得：xP2b，即可求解．

222【解答】解：（1）抛物线yax24与x轴的负半轴交于点A、与y轴交于点B， 则点B(0,4)，AB25，则OA2，故点A(2,0)， 将点A的坐标代入抛物线表达式得：04a4， 解得：a1，

故抛物线的表达式为：yx24；

（2）设点C(0,b)，

AC1，则OA:yP1:3，则yP3b， PC2则直线AC的表达式为：ykxb，

1将点A的坐标代入上式得：02kb，解得：kb，

21直线AC的表达式为：ybxb，

21联立直线AC与抛物线的表达式并整理得：x2bx(4b)0，

21则2xPb，

21解得：xP2b，

2将点P的坐标代入抛物线表达式并解得：b0或4（舍去0)， 故点P(4,12)．

【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等．

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28．（12分）如图，在矩形OABC中，点A，B的坐标分别为A(4,0)，B(4,3)，动点N，P分别从点B，A同时出发，点N以1单位/秒的速度向终点C运动，点P以5/4单位/秒的速度向终点C运动，连结NP，设运动时间为t秒(0t4) （1）直接写出OA，AB，AC的长度； （2）求证：CPN∽CAB；

（3）在两点的运动过程中，若点M同时以1单位/秒的速度从点O向终点A运动，求MPN的面积S与运动的时间t的函数关系式（三角形的面积不能为0)，并直接写出当S运动时间t的值．

3时，2

【分析】（1）由矩形的性质和已知条件得出OABC4，ABOC3，AOC90，由勾股定理求出ACOC2OA25；

5BNAP（2）由题意得BNt，APt，证出，得出PN//AB，即可得出CPN∽CAB； 4BCAC（3）①当0t2时，延长NP交OA于D，由相似三角形的性质得

PDADAP，求出OCAOAC33PDt，ADt，得出PN3t，DM42t，由三角形面积公式即可得出答案；

44②2t4时，延长NP交OA于D，由相似三角形的性质得出

PDADAP，即OCAOAC5tPDAD433，求出PDt，ADt，得出PN3t，DM2t4，由三角形面积34544公式即可得出答案；再把S3分别代入两个关系式，解方程即可． 2【解答】（1）证明：四边形OABC是矩形，A(4,0)，B(4,3)， OABC4，ABOC3，AOC90，

ACOC2OA232425； 5（2）解：由题意得：BNt，APt，

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5tAP4tBNt， ，AC54BC4

BNAP， BCACPN//AB， CPN∽CAB；

（3）解：分两种情况：

①当0t2时，延长NP交OA于D，如图1所示： 由（2）得：PD//AB， APD∽ACO，

5tPDAD4PDADAP，即， 345OCAOAC3解得：PDt，ADt，

43PN3t，DM4tt42t，

4MPN的面积S11339PNDM(3t)(42t)t2t6， 2244239即St2t6(0t2)；

42②当2t4时，延长NP交OA于D，如图2所示： 由（2）得：PD//AB， APD∽ACO，

5tPDAD4PDADAP，即， 345OCAOAC3解得：PDt，ADt，

43PN3t，DMt4t2t4，

4MPN的面积S11339PNDM(3t)(2t4)t2t6， 2244239即St2t6(2t4)；

42当S3393，0t2时，则t2t6， 2422整理得：t26t60，

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解得：t33，或t33（不合题意舍去）， t33；

当S3393，2t4时，则t2t6， 2422整理得：t26t100， △36400，

此方程无解；

综上所述，当S

3

时，运动时间t的值为(33)秒． 2

【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定、矩形的性质、坐标与图形性质、三角形面积公式、解方程以及分类讨论等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．

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