2015年全国高考数学试卷理科含答案

理科数学

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1)设复数Z满足

1Z＝i,则Z＝ 1－Z000（A）1 (B） （C） （D）2 （2）sin20cos10cos160sin10 （A）－03311 （B) (C)－ (D) 22222n（3）设命题P:nN,n2,则P为

nN,n2 (B）nN,n2 （A）（C)nN,n2 （D)nN,n＝2

（4）投篮测试中,每人投3次,至少2次命中才能通过测试,已知某同学每次投篮命中的概率为0.6,且各次投篮是否命中相互独立,则该同学通过测试的概率为

（A）0。648 （B）0。432 （C）0.36 （D）0。312

2n2n2n2nx2y21上的一点,F1,F2是双曲线C的两个焦点,若(5)已知M(x0,y0)是双曲线C:2MF1MF20,则的取值范围是

（A）(333323232222,) (,) (,) (,) (D）（B）（C）33663333（6)《九章算术》是我国古代极为丰富的数学名著，书

中有如下问题：“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺，问:积及米几何？”,其意为：“在屋内角处堆放米(如图,米堆是一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺,问米堆的的体积和米堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为1。62立方尺，圆周率约为3，估算出米堆的米约为

（A）14斛 （B）22斛 （C)36斛 （D）66斛 （7)设D为ABC所在平面内一点，BC3CD，则

1414ABAC （B）ADAB－AC 33334141 （C)ADABAC （D）ADAB－AC

3333（A)AD(8）函数f(x)cos(x)的部分图像如图所示，则f(x)的单调减区间为

13,k）,kZ 4413（B）（2k,2k）,kZ

4413（C)（k,k）,kZ

4413 (D）（2k,2k）,kZ

44(A）（k(9）执行右边的程序框图,如果输入的t=0。01,则输出的n= （A)5 (B）6 （C）7 （D)8

525（x2xy）（10)的展开式中，xy的系数为 （A)10

（B）20 （C）30(D）60

（11）圆柱被一平面截去一部分后与半球(半径为r） 组成一个几何休，该几何体的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为16+20π，则r=

（A)1 （B)2 (C）4 (D）8

(12）设函数f(x)=e（2x-1)—ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0,使得f(x0）0，则a的取值范围是（ ）

（A）［— —，1)（B) ［-，）（C)

x

［，）(D) ［，1）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13)若函数f(x)xln(xax2)为偶函数，则a。

x2y21的三个顶点，（14)一个圆经过椭圆且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方164程为.

x10y（15）若x,y满足约束条件xy0，则的最大值为。

xxy40(16)在平面四边形ABCD中，A＝B＝C＝75，BC＝2，则AB的取值范围是。 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2（17）（本小题满分12分）是数列an的前n项和,已知an0，an2an4Sn3

0（Ⅰ)求数列an的通项公式； （Ⅱ)设bn

（18)(本小题满分12分)如图，四边形ABCD是菱形，

1,求数列{bn}的前n项和. anan1ABC＝1200 ，E，F是平面ABCD同一侧的两点，

BE平面ABCD，

DF平面ABCD,BE＝2DF，AEEC

（Ⅰ）证明：平面AEC平面AFC； (Ⅱ）求直线AE与直线CF所成有的余弦值。

（19）（本小题满分12分）某公司为确定下一年的投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元）对年销售量y(单位:t)和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和对年销售量yi(i1,2,,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的

值,

(xi18ix) 2(wi18iw)2(xx)(yii18iy)(wi18iw)(yiy) 46。6 563 6。8 289。8 1.6 1469 108.8 18wwi 表中wixi，8i1（Ⅰ）根据散点图，判断yabx与ycdx哪一个宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归类型(给出判断即可，不必说明理由)；

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y与x的回归方程;

（Ⅲ）已知这种产品年利润z与x,y之间的关系为z=0.2y—x，根据（Ⅱ）的结果回答问题 （i)年宣传费x＝49时,年销售量及年利润的预报值为多少？ （ii)年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据（u1v1），(u2v2）…….. （unvn），其回归线v＝u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

(uu)(vv)iii1n(uu)ii1n,vu

2x2（20)（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy中，曲线C：y与直线

4l:ykxa（a0）交于M，N两点。

(Ⅰ）当k0时,分别求C在M点和N点处的切线方程；

（Ⅱ)y轴上是否存在点P，使得当变动时,总有OPM＝OPN？说明理由。

(21）(本小题满分12分)已知函数f(x)xax(Ⅰ）当为何值时，轴为曲线yf(x)的切线；

（Ⅱ）用minm,n表示m,n中的最小值，设函数h(x)minf(x),g(x)(x0)讨论函数

31,g(x)lnx. 4h(x)零点的个数。

请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.

(22）（本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，AB是圆为的直径,AC是圆O的切线，BC交圆O与点E，

(Ⅰ）若D为AC的中点,证明：DE是圆O的切线； (Ⅱ)若OA3CE,求ACB的大小。

（23)(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，直线C1x2 ，圆C2:(x1)(y2)1 ，以坐标原点为极点，轴的正半轴为级轴建立极坐标系

（Ⅰ)求C1,C2的极坐标方程；

（Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为,设C2与C3的交点为M，N,求＝（R）224C2MN的面积。

(24）(本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数f(x)x12xa,a0。 （Ⅰ)当a1时,求不等式f(x)1的解集；

（Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围。

答案

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1+z（1） 设复数z满足=i，则｜z|=

1z（A)1 （B） （C） （D）2

【答案】A

（2）sin20°cos10°-con160°sin10°= （A）【答案】D

3311 (B） (C） (D） 22221【解析】原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=,故选D。

2（3）设命题P:nN，〉,则P为

（A）nN,〉 (B） nN，≤ （C)nN，≤ （D） nN,=

【答案】C

【解析】：nN,n22n，故选C.

(4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为

（A）0。648 （B）0.432（C）0.36（D）0。312 【答案】A

【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为C320.620.40.63=0.648，

故选A。

（5）已知M（x0，y0）是双曲线C：

x2y21 上的一点，F1、F2是C上的两个2焦点，若MF1MF2＜0，则y0的取值范围是

（A）（-

3333，）（B）(-，） 3366(C）（22222323，） （D）（,)

3333【答案】A

(6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问：积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1。62立方尺，圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有

A。14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 【答案】B

【解析】学科网

116设圆锥底面半径为r，则23r8=r，所以米堆的体积为

341116320320，故堆放的米约为÷1。62≈22，故选B. 3()25=99433（7）设D为ABC所在平面内一点=3,则

（A)=+ (B）=

(C)=+ （D）=

【答案】A

1114【解析】由题知ADACCDACBCAC(ACAB)=ABAC,

3333故选A.

（8)函数f(x)=（A）（

的部分图像如图所示，则f(x）的单调递减区间为

),k （b)（

)，k

（C）（）,k（D)（)，k

【答案】D

（9）执行右面的程序框图,如果输入的t=0。01，则输出的n= (A)5 （B）6 （C）7 （D）8

【答案】C

（10）

的展开式中,

y²的系数为

（A)10 （B）20 （C）30（D）60

【答案】A

【解析】在(x2xy)5的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因

式取y，故xy的系数为C5C3C2=30，故选 A。

（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20，则r=

52212（A）1(B)2(C)4(D）8

【答案】B

【解析】学科网

由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为r=2，故选B.

14r2r2rr22r2r=5r24r2=16 + 20，解得212.设函数f(x)=ex(2x1)axa,其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)0，则的取值范围是（ ）

A。[-，1) B。 ［-，) C. ［,） D。 ［,1） 【答案】D

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22）题～第（24）题未选考题,考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共3小题,每小题5分

（13）若函数f（x)=xln（x+ax2）为偶函数，则a= 【答案】1

【解析】由题知yln(xax2)是奇函数，所以ln(xax2)ln(xax2) =ln(ax2x2)lna0，解得=1. (14）一个圆经过椭圆方程为。

的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准

325【答案】(x)2y2

243【解析】设圆心为（,0)，则半径为4|a|,则(4|a|)2|a|222，解得a，

2325故圆的方程为(x)2y2.

24（15）若x,y满足约束条件【答案】3

则

y的最大值为。 xy【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点

xy与原点连线的斜率，由图可知，点A（1，3）与原点连线的斜率最大，故的最

x大值为3。