一、选择题（每小题4分，共40分．在每小題给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（4分）在﹣3，﹣1，0，2这四个数中，最小的数是（ ） A．﹣3
B．﹣1
C．0
D．2
【分析】画出数轴，在数轴上标出各点，再根据数轴的特点进行解答即可． 【解答】解：这四个数在数轴上的位置如图所示：
由数轴的特点可知，这四个数中最小的数是﹣3． 故选：A．
【点评】本题考查的是有理数的大小比较，利用数形结合比较出有理数的大小是解答此题的关键．
2．（4分）计算a3•（﹣a）的结果是（ ） A．a2
B．﹣a2
C．a4
D．﹣a4
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案． 【解答】解：a3•（﹣a）＝﹣a3•a＝﹣a4． 故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
3．（4分）2021年5月15日，“天问一号”着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原，此时距离地球约320000000千米．数320000000用科学记数法表示为（ ） A．32×107
B．3.2×108
C．3.2×109
D．0.32×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【解答】解：320000000＝3.2×108， 故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
第 1 页 共 23 页
4．（4分）如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据主视图是从正面看得到的视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，底层是一个比较长的矩形，上层中间是一个比较窄的矩形． 故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是正视图，注意圆柱的主视图是矩形．
5．（4分）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差S2（单位：环2）如下表所示：
S2
甲 9 1.6
乙 8 0.8
丙 9 3
丁 9 0.8
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ） A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【分析】根据平均环数比较成绩的好坏，根据方差比较数据的稳定程度． 【解答】解：甲、丙、丁射击成绩的平均环数较大， ∵丁的方差＜甲的方差＜丙的方差， ∴丁比较稳定，
∴成绩较好状态稳定的运动员是丁， 故选：D．
【点评】本题考查的是方差和算术平均数，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．
第 2 页 共 23 页
6．（4分）要使分式A．x≠0
有意义，x的取值应满足（ ） B．x≠﹣2
C．x≥﹣2
D．x＞﹣2
【分析】直接利用分式有意义则分母不等于零，即可得出答案． 【解答】解：要使分式解得：x≠﹣2． 故选：B．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握分式有意义的条件是解题关键． 7．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，BD＝分别为AB，BC的中点，则EF的长为（ ）
．若E，F
有意义，则x+2≠0，
A．
B．
C．1
D．
【分析】由直角三角形的性质求出AD＝BD＝三角形的中位线定理可求出答案． 【解答】解:∵AD⊥BC, ∴∠ADB＝∠ADC＝90°, ∵∠B＝45°,BD＝∴AD＝BD＝∵∠C＝60°, ∴DC＝∴AC＝DC＝2,
∵E，F分别为AB，BC的中点， ∴EF＝AC＝1． 故选：C．
＝
＝1,
,
,
,由锐角三角函数的定义求出DC＝1,由
【点评】本题考查了直角三角形的性质,三角形中位线定理,锐角三角函数,熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
第 3 页 共 23 页
8．（4分）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ ） A．
B．
C． D．
【分析】设清酒x斗，醑酒y斗，根据“拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：设清酒x斗，醑酒y斗， 依题意得：故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．（4分）如图，正比例函数y1＝k1x（k1＜0）的图象与反比例函数y2＝
（k2＜0）的图
．
象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2或x＞2 C．x＜﹣2或0＜x＜2
B．﹣2＜x＜0或x＞2
D．﹣2＜x＜0或0＜x＜2
【分析】先根据点A与B关于原点对称，得出A横坐标，再找出正比例函数落在反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围即可．
【解答】解：由反比例函数与一次函数相交于点A、B，可得点A坐标与点B坐标关于原点对称．
故点A的横坐标为﹣2．
当y1＞y2时，即正比例函数图象在反比例图象上方，
第 4 页 共 23 页
观察图象可得，当x＜﹣2或0＜x＜2时满足题意． 故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，找出A点横坐标是解题关键．属于基础题型．
10．（4分）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形ABCD，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张矩形纸片EFGH的面积为S3，FH与GE相交于点O．当△AEO，△BFO，△CGO，△DHO的面积相等时，下列结论一定成立的是（ ）
A．S1＝S2
B．S1＝S3
C．AB＝AD
D．EH＝GH
【分析】如图，连接DG,AH,过点O作OJ⊥DE于J．证明S△DGH＝S△AEH,S△DGC＝S△ADH,可得结论．
【解答】解：如图，连接DG,AH,过点O作OJ⊥DE于J．
∵四边形EFGH是矩形， ∴OH＝OF,EF＝GH,∠HEF＝90°, ∵OJ⊥DE,
∴∠OJH＝∠HEF＝90°, ∴OJ∥EF, ∵HO＝OF, ∴HJ＝JE, ∴EF＝GH＝2OJ,
∵S△DHO＝•DH•OJ,S△DHG＝•DE•GH, ∴S△DGH＝2S△DHO,
第 5 页 共 23 页
同法可证S△AEH＝2S△AEO, ∵S△DHO＝S△AEO, ∴S△DGH＝S△AEH,
∵S△DGC＝•CG•DH,S△ADH＝•DH•AE,CG＝AE, ∴S△DGC＝S△ADH, ∴S△DHC＝S△ADE, ∴S1＝S2, 故选：A．
【点评】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是证明S△DGH＝S△AEH,S△DGC＝S△ADH． 二、填空题（每小题5分，共30分） 11．（5分）﹣5的绝对值是 5 ．
【分析】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
【解答】解：根据负数的绝对值是它的相反数，得|﹣5|＝5． 【点评】解题的关键是掌握绝对值的性质． 12．（5分）分解因式：x2﹣3x＝ x（x﹣3） ． 【分析】原式提取x即可得到结果． 【解答】解：原式＝x（x﹣3）， 故答案为：x（x﹣3）
【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
13．（5分）一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黑球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为
．
【分析】先求出球的总个数，再根据概率公式即可得出摸出一个球是红球的概率． 【解答】解：∵一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黑球， ∴共有8个球，
∴从袋中任意摸出一个球是红球的概率为．
第 6 页 共 23 页
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 14．（5分）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为6cm，则图中
的长为 2π cm．（结果保留π）
【分析】连接OC，OD，OP，可利用HL证明Rt△OCP≌Rt△ODP，从而可得出∠COD的度数，最后利用弧长公式求解答案即可． 【解答】解：如图所示，连接OC，OD，OP， ∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D， 故∠OCP＝∠ODP＝90°， 又OC＝OD，OP＝OP， 则Rt△OCP≌Rt△ODP（HL）． ∵∠CPD＝120°， ∴∠OPC＝∠OPD＝60°， ∴∠COP＝∠DOP＝30°， ∴∠COD＝60°． ∴
的长为
＝
＝2π．
故答案为：2π．
【点评】本题考查了切线的性质、全等三角形的判定、弧长的计算，求出∠COD的度数是解题的关键．
15．（5分）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意臥点A（x，y），我们把点B（，
第 7 页 共 23 页
）称为点A的“倒数点”．如图，矩形OCDE的顶点C为（3，0），顶点E在y轴上，函数y＝（x＞0）的图象与DE交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，则△OBC的面积为
或 ．
【分析】设点A的坐标为（m，），由“倒数点”的定义，得点B坐标为（，），分析出点B在某个反比例函数上，分两种情况：①点B在ED上，由ED∥x轴，得＝，解出m＝±2，（﹣2舍去），得点B纵坐标为1，此时，S△OBC＝×3×1＝；②点B在DC上，得点B横坐标为3，即＝3，求出点B纵坐标为：＝，此时，S△OBC＝×3×＝．
【解答】解：设点A的坐标为（m，）， ∵点B是点A的“倒数点”， ∴点B坐标为（，）， ∵点B的横纵坐标满足
＝，
∴点B在某个反比例函数上， ∴点B不可能在OE，OC上， 分两种情况： ①点B在ED上， 由ED∥x轴，
∴点B、点A的纵坐标相等，即＝， ∴m＝±2，（﹣2舍去）， ∴点B纵坐标为1，
第 8 页 共 23 页
此时，S△OBC＝×3×1＝； ②点B在DC上，
∴点B横坐标为3，即＝3， ∴点B纵坐标为：＝， 此时，S△OBC＝×3×＝； 故答案为：或．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，新定义的阅读理解能力，三角形面积的求法．解题关键是理解“倒数点”的定义．
16．（5分）如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，△BEC与△FEC关于直线EC对称，点B的对称点F在边AD上，G为CD中点，连结BG分别与CE，CF交于M，N两点．若BM＝BE，MG＝1，则BN的长为 2 ，sin∠AFE的值为
﹣1 ．
【分析】连接BF，FM，由翻折及BM＝ME可得四边形BEFM为菱形，再由菱形对角线的性质可得BN＝BA．先证明△AEF≌△NMF得AE＝NM，再证明△FMN∽△CGN可得
＝
,进而求解．
【解答】解：∵BM＝BE， ∴∠BEM＝∠BME， ∵AB∥CD， ∴∠BEM＝∠GCM， 又∵∠BME＝∠GMC， ∴∠GCM＝∠GMC， ∴MG＝GC＝1， ∵G为CD中点， ∴CD＝AB＝2．
第 9 页 共 23 页
连接BF,FM，
由翻折可得∠FEM＝∠BEM，BE＝EF, ∴BM＝EF， ∵∠BEM＝∠BME， ∴∠FEM＝∠BME， ∴EF∥BM，
∴四边形BEFM为平行四边形， ∵BM＝BE，
∴四边形BEFM为菱形，
∵∠EBC＝∠EFC＝90°，EF∥BG， ∴∠BNF＝90°， ∵BF平分∠ABN， ∴FA＝FN，
∴Rt△ABF≌Rt△NBF(HL)， ∴BN＝AB＝2．
∵FE＝FM,FA＝FN，∠A＝∠BNF＝90°， ∴Rt△AEF≌Rt△NMF(HL)， ∴AE＝NM， 设AE＝NM＝x，
则BE＝FM＝2﹣x，NG＝MG﹣NM＝1﹣x， ∵FM∥GC， ∴△FMN∽△CGN， ∴即
＝＝
, ,
第 10 页 共 23 页
解得x＝2+(舍)或x＝2﹣
，
＝
，
∴EF＝BE＝2﹣x＝∴sin∠AFE＝故答案为：2；
＝
﹣1．
﹣1．
【点评】本题考查矩形的翻折问题，解题关键是连接辅助线通过全等三角形及相似三角形的判定及性质求解．
三、解答题（本大题有8小题，共80分） 17．（8分）（1）计算：（1+a）（1﹣a）+（a+3）2． （2）解不等式组：
．
【分析】(1)直接利用乘法公式化简，再合并同类项得出答案； （2）分别解不等式，进而得出不等式组的解集． 【解答】解：（1）原式＝1﹣a2+a2+6a+9 ＝6a+10； (2)
解①得：x＜4, 解②得：x≥3,
∴原不等式组的解集是：3≤x＜4．
【点评】此题主要考查了乘法公式以及解一元一次不等式组，正确掌握乘法公式是解题关键．
18．（8分）如图是由边长为1的小正方形构成的6×4的网格，点A，B均在格点上． （1）在图1中画出以AB为边且周长为无理数的▱ABCD，且点C和点D均在格点上（画出一个即可）．
（2）在图2中画出以AB为对角线的正方形AEBF，且点E和点F均在格点上．
,
【分析】（1）根据平行四边形的定义以及题目条件画出图形即可．
第 11 页 共 23 页
（2）根据正方形的定义画出图形即可．
【解答】解：(1)如图1中，四边形ABCD即为所求（答案不唯一）． （2）如图2中，四边形AEBF即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，无理数，勾股定理，平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
19．（8分）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2． （1）求a的值．
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
【分析】（1）根据抛物线解析式得到抛物线与x轴的交点横坐标，结合抛物线的轴对称性质求得a的值即可．
（2）将a的值代入，结合抛物线解析式求平移后图象所对应的二次函数的表达式． 【解答】解：（1）由二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（a，0）． ∵对称轴为直线x＝2， ∴
＝2．
解得a＝3；
（2）由（1）知，a＝3，则该抛物线解析式是：y＝x²﹣4x+3． ∴抛物线向下平移3个单位后经过原点．
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式是y＝x²﹣4x．
第 12 页 共 23 页
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上的点的坐标，根据对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点，是解决本题的关键．
20．（10分）图1表示的是某书店今年1~5月的各月营业总额的情况，图2表示的是该书店“党史”类书籍的各月营业额占书店当月营业总额的百分比情况．若该书店1~5月的营业总额一共是182万元，观察图1、图2，解答下列问题：
（1）求该书店4月份的营业总额，并补全条形统计图． （2）求5月份“党史”类书籍的营业额．
（3）请你判断这5个月中哪个月“党史”类书籍的营业额最高，并说明理由．
【分析】（1）用1~5月的营业总额减去其他月份的总额，求出4月份的营业额，从而补全统计图；
（2）用5月份的营业额乘以“党史”类书籍所占的百分比即可；
（3）先判断出1﹣3月份的营业总额以及“党史”类书籍的营业额占当月营业额的百分比都低于4、5月份，再求出4月份的“党史”类书籍的营业额，与5月份进行比较，即可得出答案．
【解答】解：（1）该书店4月份的营业总额是：182﹣（30+40+25+42）＝45（万元）， 补全统计图如下：
第 13 页 共 23 页
（2）42×25%＝10.5（万元），
答：5月份“党史”类书籍的营业额是10.5万元；
（3）4月份“党史”类书籍的营业额是45×20%＝9（万元），
∵10.5＞9，且1﹣3月份的营业总额以及“党史”类书籍的营业额占当月营业额的百分比都低于4、5月份，
∴5月份“党史”类书籍的营业额最高．
【点评】本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，如粮食产量，折线统计图表示的是事物的变化情况，如增长率．
21．（8分）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点D'的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40cm，B为AD′中点．当∠BAC＝140°时，伞完全张开． （1）求AB的长．
（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离． （参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
第 14 页 共 23 页
【分析】（1）根据中点定义即可求出AB的长；
（2）过点B作BE⊥AD于点E,根据等腰三角形的性质可得AD＝2AE,然后利用锐角三角函数可得AE的长，所以AD＝2AE＝13.6cm，进而可得伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离． 【解答】解：（1）∵B为AD′中点， ∴AB＝AD′, ∵AD′＝40cm， ∴AB＝20cm；
（2）如图，过点B作BE⊥AD于点E,
∵AB＝BD, ∴AD＝2AE,
∵AP平分∠BAC,∠BAC＝140°, ∴∠BAE＝
BAC＝70°,
在Rt△ABE中，AB＝20cm
∴AE＝AB•cos70°≈20×0.34＝6.8(cm), ∴AD＝2AE＝13.6(cm), ∵AD′＝40cm， ∴40﹣13.6＝26.4(cm)．
∴伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为26.4cm．
第 15 页 共 23 页
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握解直角三角形的方法． 22．（12分）某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表：
每月基本费用（元） 每月免费使用流量（兆） 超出后每兆收费（元）
A方案 20 1024 n
B方案 56 m n
C方案 266 无限
A，B，C三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系如图所示．
（1）请直接写出m，n的值．
（2）在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式．
（3）在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算？
【分析】（1）根据题意，结合题意可得m＝3072，n＝（56﹣20）÷（1144﹣1024）＝0.3； （2）利用待定系数法解答即可；
（3）利用B方案每月免费使用流量3072兆加上达到C方案所超出的兆数即可． 【解答】解：（1）根据题意，m＝3072， n＝（56﹣20）÷（1144﹣1024）＝0.3；
（2）设在A方案中，每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
把（1024，20），（1144，56）代入，得：
，解得
，
第 16 页 共 23 页
∴y关于x的函数关系式为y＝0.3x﹣287.2（x≥1024）； （3）3072+（266﹣56）÷0.3＝3772（兆），
由图象得，当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 23．（12分）【证明体验】
（1）如图1，AD为△ABC的角平分线，∠ADC＝60°，点E在AB上，AE＝AC．求证：DE平分∠ADB． 【思考探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，F为AB上一点，连结FC交AD于点G．若FB＝FC，DG＝2，CD＝3，求BD的长． 【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA＝2∠DCA，点E在AC上，∠EDC＝∠ABC．若BC＝5，CD＝2
，AD＝2AE，求AC的长．
【分析】（1）由△EAD≌△CAD得∠ADE＝∠ADC＝60°，因而∠BDE＝60°，所以DE平分∠ADB；
（2）先证明△BDE∽△CDG，其中CD＝ED，再由相似三角形的对应边成比例求出BD的长；
（3）根据角平分线的特点，在AB上截取AF＝AD，连结CF，构造全等三角形和相似三角形，由相似三角形的性质求出AC的长． 【解答】（1）证明：如图1，∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠CAD， ∵AE＝AC，AD＝AD， ∴△EAD≌△CAD（SAS），
第 17 页 共 23 页
∴∠ADE＝∠ADC＝60°，
∵∠BDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠BDE＝∠ADE， ∴DE平分∠ADB． （2）如图2，∵FB＝FC， ∴∠EBD＝∠GCD； ∵∠BDE＝∠CDG＝60°， ∴△BDE∽△CDG， ∴
；
∵△EAD≌△CAD， ∴DE＝CD＝3， ∵DG＝2， ∴BD＝
＝
＝.
（3）如图3，在AB上取一点F，使AF＝AD，连结CF． ∵AC平分∠BAD， ∴∠FAC＝∠DAC， ∵AC＝AC，
∴△AFC≌△ADC（SAS），
∴CF＝CD，∠FCA＝∠DCA，∠AFC＝∠ADC， ∵∠FCA+∠BCF＝∠BCA＝2∠DCA， ∴∠DCA＝∠BCF， 即∠DCE＝∠BCF，
∵∠EDC＝∠ABC，即∠EDC＝∠FBC， ∴△DCE∽△BCF， ∴
，∠DEC＝∠BFC，
， ＝4；
∵BC＝5，CF＝CD＝2∴CE＝
＝
∵∠AED+∠DEC＝180°，∠AFC+∠BFC＝180°，
第 18 页 共 23 页
∴∠AED＝∠AFC＝∠ADC， ∵∠EAD＝∠DAC（公共角）， ∴△EAD∽△DAC， ∴
＝，
∴AC＝2AD，AD＝2AE， ∴AC＝4AE＝CE＝×4＝
．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，解第（3）题时，应注意探究题中的隐含条件，通过适当添加辅助线构造全等三角形和相似三角形；此题难度较大，属于考试压轴题． 24．（14分）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，
上存在点E，满足
＝
，
连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G． （1）若∠DBC＝α，请用含α的代数式表示∠AGB．
第 19 页 共 23 页
（2）如图2，连结CE，CE＝BG．求证：EF＝DG． （3）如图3，在（2）的条件下，连结CG，AD＝2． ①若tan∠ADB＝
，求△FGD的周长．
②求CG的最小值．
【分析】（1）利用直径所对的圆周角为90°和在同一圆中，等弧所对的圆周角相等，即可得结果．
（2）证线段相等只需证线段所在的两个三角形全等即可．利用全等三角形的判定可得△CFE≌△BDG（ASA）可得结论， （3）①连接DE，＝
＝
＝
，由弧相等得出弧所对的弦相等，在Rt△ABG中，sin∠AGB
，
，得EF＝1，在Rt△DEG中，∠EGD＝60°，可得EG＝，DE＝
在Rt△FED中，由勾股定理得DF＝，即可求得周长的值．②如图，过点C作CH⊥BF
于H，可得△BAD≌△CHF（AAS），得FH＝AD，由相似三角形的判定可得△BHC∽△CHF，设GH＝x，由相似的性质得CH2＝2（2﹣x），在Rt△GHC中，由勾股定理知CG2＝GH2+CH2）＝（x﹣1）2+3，即可得最小值． 【解答】解：（1）∵BD为⊙O的直径， ∴∠BAD＝90°， ∵
＝
，
∴∠ABG＝∠DBC＝α， ∴∠AGB＝90°﹣α； （2）∵BD为⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°，
第 20 页 共 23 页
∴∠BEC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴∠BEC＝∠AGB，
∵∠CEF＝180°﹣∠BEC，∠BGD＝180°﹣∠AGB， ∴∠CEF＝∠BGD，
又∵CE＝BG，∠ECF＝∠GBD， ∴△CFE≌△BDG（ASA）， ∴EF＝DG；
（3）①如图，连接DE，
∵BD为⊙O的直径， ∴∠A＝∠BED＝90°， 在Rt△ABD中，tan∠ADB＝∴AB＝∵∴即
＝+＝
，AD＝， ＝，
+
， ，
AD＝2，
∴AD＝CE， ∵CE＝BG， ∴BG＝AD＝2，
∵在Rt△ABG中，sin∠AGB＝∴∠AGB＝60°，AG＝BG＝1， ∴EF＝DG＝AD﹣AG＝1，
＝
，
第 21 页 共 23 页
∵在Rt△DEG中，∠EGD＝60°， ∴EG＝DG＝，DE＝在Rt△FED中，DF＝∴FG+DG+EF＝∴△FGD的周长为
， ； DG＝
＝
， ，
②如图，过点C作CH⊥BF于H，
∵△BDG≌△CFE，
∴BD＝CF，∠CFH＝∠BDA， ∵∠BAD＝∠CHF＝90°， ∴△BAD≌△CHF（AAS）， ∴FH＝AD， ∵AD＝BG， ∴FH＝BG， ∵∠BCF＝90°， ∴∠BCH+∠HCF＝90°， ∵∠BCH+∠HBC＝90°， ∴∠HCF＝∠HBC， ∵∠BHC＝∠CHF＝90°， ∴△BHC∽△CHF， ∴
＝
，
设GH＝x， ∴BH＝2﹣x，
第 22 页 共 23 页
∴CH2＝2（2﹣x），
在Rt△GHC中，CG2＝GH2+CH2， ∴CG2＝x2+2（2﹣x）＝（x﹣1）2+3， 当x＝1时，CG2的最小值为3， ∴CG的最小值为
．
【点评】本题考查圆的综合应用，解本题的关键要熟练掌握圆的性质．全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等基本知识点．
第 23 页 共 23 页
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容