逆向思维在数学解题中的应用

（成都市武侯高级中学 610043） 张信联

思维就是人的理性认识的过程，根据思维过程的指向性，可将思维分为：常规思维（正向思维）和逆向思维，中学数学课本中的逆向思维，中学数学课本中的逆运算、否命题、反证法、分析法、充要条件等都涉及到思维的逆向性，在数学解题中，通常是从已知到结论的思维方式，然而有些数学总是按照这种思维方式则比较困难，而且常常伴随有较大的运算量，有时甚至无法解决，在这种情况下，只要我们多注意定理、公式、规律性例题的逆用，正难则反，往往可以使 问题简化，经常性地注意这方面的训练可以培养学生思维的敏捷性。

1． 定义的逆用

在数学解题中“定义法”是一种比较常见的方法，但定义的逆用容易被人们忽视，只要我们重视定义的逆用，进行逆向思维，就能使有些问题解答简捷。

例1 设f(x)42xx1,求

1分析：常见的方法是：先求反函数f(x)，然后再求f11(0)的值，但只要我们逆

1用反函数定义，令f(x)=0，解出x的值即为f(0)的值，f(0)=1。

例2 如图已知yAsin(x)(A0,0)在一个周期内的图象，求其解析式。

分析：由已知易得周期T=π，ω=2，此题的难点是定φ，而且极易出错，只要我们逆用“五点法”的定义，则问题极易解决，其中点(3,0)为“五点法”中的第三点，其相为π。即：

23，所以3，最后定A=3，所以y3sin(2x)。

32． 式的逆用

在有些数学问题中，除了熟练掌握公式的顺用外，还应学会公式的变形逆用，这样可以使问题的运算量减少。

例1 化简cosAcos(3322A)cos3(A) 333分析：此题如果用和差角公式后再立方，则运算量太大，但我们只要联系与三次方有关的三倍角公式：cosA4cos3A3cosA，变形逆用三倍角公式。

1(cos3A3cosA)这样就可以使原式降次，然后用和差化积公43式，就能很快得出结果cos3A。

4所以，cosA3aaa2n1nn(aa)n2例2 已知：f(x)2 a1aa1aa(1a2a4a2n2)nnna2a4a2n2 anaan1nn1n，所以原不等式成立。

a3． 逆向分析法

分析法的实质是“执果索因”，要证明结论成立，只需找使结论成立的充分条件即可。这种方法在证明题中用得较多，这也是逆向思维在数学解题中的具体运用。

例1 （1994年高考题）设f (x)=tanx，x(0,)，当x1,x2(0,)时，且x122≠x2，证明：[f(x1)f(x2)]f(分析：要证明原不等式成立，即证

12x1x2) 2xx21(tanx1tanx2)tan1只需证 221sin(x1x2)sin(x1x2)2即证 12cosx1cosx2cos(x1x2)2xx2cos1xx212(sin10)

xx2cosx1cos22cos12即cos2x1x2cosx1cosx2 2x1x2cosx1cosx20） 2（x1x2,x1x2cos即cos(x1-x2)<1由已知易得：cos(x1-x2)<1成立，故原不等式成立。

例2 已知正数a、b、c成等差数列，求证：a2-bc，b2-ac，c2-ab也成等差数列。

分析：要证原结论成立，只需证 2（b2-ac）= a2-bc+c2 - ab 即2b2+(a+c)b=(a+c)2

而2b=a+c 所以上式成立，所以原结论成立。

4． 反证法

反证法就是把假设结论的反面成立，由此导出与题设、定义、公理相矛盾的结论，从而推翻假设，肯定结论的证明方法，这种应用逆向思维的方法，可使很多问题处理起来相当简捷。

例1 有f(x)=x2+ax+b 求证：|f(1)|、|f(2)、|f(3)|中至少有一个不小于

1。 2分析：此题直接证比较困难，但只要用反证法则较为简便。

111、|f(2)|、|f(3)|

22211所以|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|+1+=2 （1）

22设|f(1)|但|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥|f(1)|－2|f(2)|+|f(3)|

=|（1+a+b）－2（4+2a+b）+（9+3a+b）|=2 （2）

（1） 与（2）矛盾，所以假设不成立，故原结论成立。

例2 如图，已知a、b为异面直线，A、B∈a，C、D∈b，

求证：AC和BC是异面直线。

分析：如果按异面直线的定义直接证明比较困难，但如果从反面证明则比较简单，如果AB与CD 共面，则得出a、b共面，与a、b是异面直线矛盾，因此，AB、CD为异面直线。

5 逆向排除法

在有些数学问题中，正面复杂，反面简单，只要逆向分析，进行排除，就能使问题得到简捷的解答，同时这也是解有些选择题的有效捷径解法。

例 若二次函数f(x)4x2(p2)x2pp1在区间[-1，1]内至少有一个点C，使f（C）>0，求实数p的取值范围。

分析：此题从反面分析，采取补集法则比较简单。 如果在[-1，1]内没有点满足f（C）>0

221p或 p1f(1)032p3a或 p 则2f(1)0p3或 p32取补集为3p3，即为满足条件的p的取值范围。 2综上所述：在数学解题中，根据问题的特点，在应常规数学思维的同时，注意逆向思维的应用，往往能使很多问题运算简化，对培养学生的数学思维，特别是培养学生思维的敏捷性，提高学生的数学能力具有重要的意义。