关于常系数的线性微分方程组的若干问题

1997年11月四川师范大学学报(自然科学版)Vol.20,No.6

第20卷　第6期JournalofSichuanNormalUniversity(NaturalScience)Nov.1997关于常系数的线性微分方程组的若干问题

邓　继　林

(西昌师范高等专科学校　四川西昌615022)

　　摘要　对一般形式的常系数的线性微分方程组.给出了用D矩阵的初等变换法.判定其相容性.当方程组有解时,求出其通解的一般方法.

关键词　微分方程组,D矩阵的特征多项式,特征根中图法分类号　O175.1

1　常系数的线性微分方程组的一般形式及其相关的概念

假设本文中所涉及的一切函数.都是定义在实数集R上.取值在R内(或上)的足够阶可微分的函数.

定义1　恰含有n个末知函数,m个方程的常系数线性微分方程组的一般形式是

A(D)X(t)=b(t)

简称为方程组.式中

a11(D)

A(D)=

a21(D)am1(D)

a12(D)a22(D)am2(D)

………

a1n(D)a2n(D)

(2)(1)

…amn(D)

是m×n的D矩阵.其元素aij(D)都是微分算于D(即d)的实系数的多项式,称为方程组(1)

dt

的算子系数矩阵,简称为系数矩阵.

X(t)是未知函数x1(t),x2(t),…,xn(t)的列向量,b(t)是已知函数b1(t),…,bm(t)的列向量.

当b(t)≠0时,方程组(1)称为是非齐次的;当b(t)=0时,方程组(1)即成为

A(D)X(t)=0,

(3)

称为是恰含有n个未知函数,m个方程的常系数的齐次线性微分方程组.这也是常系数齐次线性微分方程组的一般形式.

对于方程组(1)来说,方程组(3)称为是它对应的(常系数的)齐次线性微分方程组.定义2　若有已知函数的n维列向量ξ(t)满足方程组(1),即有恒等式组

　　收稿日期　1997-04-08　　邓继林　男　50岁　讲师

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四川师范大学学报(自然科学版)20卷

A(D)a(t)=b(t),　 t∈R成立,则称此列向量ξ(t)为方程组(1)的一个无予定初始条件的特解,简称为方程组(1)的一个解.

2　对角型系数矩阵的方程组

m×n的D矩阵

a1(D)　　

~A(D)=

ar(D)　　　　0　

0称为是对角型的D矩阵.它的主对角线上的前r个元素a1(D),…,ar(D)都是微分算子D的非0的多项式,其余各元素全是D的零多项式.

前述的方程组(1),以及它对应的齐次线性方程组(3),当其系数矩阵是形如(4)式的对角型D矩阵时,分别称之为对角型的非齐次线性微分方程组,及对角型的齐次线性微分方程组,并依次分别以编号(1′)、(3′)记之.

定理1　对角型非齐次线性微分方程组(1′)有解的充分且必要的条件是r=m,或当r且当以上的条件成立时,该方程组的通解可表为

h1

X(t)=

hrhr+

hn

式中的前r个分量h1,…,hr,分别依次是如下常系数线性微分方程(单个的仅含有1个未知函数的常系数线性微分方程)

a1(D)x1(t)=b1(t),

ar(D)xr(t)=br(t),

的通解表达式.而后n-r个分量hr+1,…,hn是互相独立的任意函数.

若D的多项式的积a1(D)…ar(D)的次数等于K.则以上通解表达式(5)中,恰含有K个互相独立的任意常数.这是很显然的.

可见对角型系数矩阵的方程组的相容性判定极为简单,而求通解的问题.则完全归结为通常的单个方程的情形.

定理2　方程组(1)有解的充分且必要的条件是,方程组(6)

1(4)

,(5)

第6期邓继林:关于常系数的线性微分方程组的若干问题

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P(D)A(D)Q(D)Y(t)=P(D)b(t)

有解.且当此方程组有解时方程组(1)的通解可表为

X(t)=Q(D)h,

(9)(10)

式中P(D)、Q(D)分别是m、n阶可逆的D矩阵,Y(t)是未知函数y1(t),y2(t),…,yn(t)的列向

量,h是方程组(9)的通解表达式.证明　必要性　由已知P(D)、Q(D)分别是m、n阶可逆的D矩阵,因此它们分别存在逆矩阵P-1(D)、Q-1(D).且依次分别是m、n阶的D矩阵.[1]若方程组(1)有解x0(t),于是显然η(t)=Q-1(D)x0(t)也是函数的n维列向量,且由解向量x0(t)(且有x0(t)=Q(D)η(t))唯一确定.又

P(D)A(D)Q(D)η(t)=P(D)A(D)Q(D) Q(D)x0(t)

=P(D) A(D)x0(t)=P(D)b(t),

这表明η(t)是方程组(9)的一解.

充分性　假设n维的函数列向量y0(t)是方程组(9)的一解,于是μ(t)=Q(D)y0(t)也是函数的n维列向量,且有

A(D)μ(t)=A(D) Q(D)y0(t)

=P

-1

-1

(D) P(D)A(D)Q(D)y0(t)

=P-1(D) P(D)b(t)=b(t).

以上表明μ(t)是方程组(1)的一解.

又从以上的充分性的证明可知,式(10)按定理要求所表出的任一n维的函数列向量,都是方程组(1)的解向量.

而从必要性的证明可知,方程组(1)的任意一解均可由表达式(10)唯一表出.综上所述表达式(10)确是方程组(1)的通解.

由以上的有关定理可得如下结果:

1)常系数非齐次线性微分方程组(方程组(1))的相容性判定的一般方法

①用D矩阵的初等变换法　分别求得一个m、n的可逆的D矩阵P(D)、Q(D),使P(D)A(D)Q(D)=~A(D)成为对角型的D矩阵.

②作方程组式中Y(t)的意义同上述,

~A(D)Y(t)=~b(t),~b(t)=P(D)b(t).

(13)

　　③用定理1对方程组(13)的相容性作出判定　判定结果也是适合方程组(1)的.

2)相容的常系数线性微分方程组及求通解的一般方法

紧接前述的判定程序

④求出对角型的线性微分方程组(13)的通解表达式h.⑤方程组(1)的通解即可表为

X(t)=Q(D)h.

(14)　　50

四川师范大学学报(自然科学版)20卷

　参考文献

1　许以超.代数学引论.上海:上海科学技术出版社,1983.520

ONSOMEPROBLIEMSOFTHESYSTEM

OFLINEERDIFFERENTIALEQUATIONS

WITHCONSTANTCOEFFICIENTS

Deng　Jilin

(DepartmentofMathematics,XichangTeacher′sCollege,Xichang615022,Sichuan)

Abstract　Inthispaper,byusingelementarytransformationofD-matrix,thecompatiblecriterionforgeneralsystemofdifferentialequationswithconstantcoefficientsisgiven.Whenthesystemissolvable,themethodfindingitsgeneralsolutionisalsogiven.

Keywords　Systemofdifferentialequations,D-matrix,CharactorrootClassificationcodeofChineseliteratures　O175.11991MSC　34A30

(责任编辑　黄满云)