初中数学 抛物线
经典试题集锦
【编著】 黄勇权
【第一组题型】
1、已知二次函数y=x²+bx+c过点A（2,0），C（0, -8） （1）求此二次函数的解析式，
（2）在抛物线上存在一点p使△ABP的面积为15，请直接写出p点的坐标。
2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x²+mx+n经过点A（5，0B（2，-6）．
（1）求抛物线的表达式及对称轴
（2）设点B关于原点的对称点为C，写出过A、C两点直线的表达式。
），
3、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点C为（2，4），并在x轴上截得的长度为6。
（1）写出抛物线与x轴交点A、B的坐标 （2）求该抛物线的表达式
（3）写出抛物线与y轴交点P的坐标
4、直线的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，若以A为顶点,，且开口向下作抛物线，交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C，
（1）若△ABC的面积为20，求此时抛物线的解析式 （2）若△BDO的面积为8，求此时抛物线的解析式
【答案】
1、已知二次函数y=x²+bx+c过点A（2,0），C（0, -8） （1）求此二次函数的解析式，
（2）在抛物线上存在一点p使△ABP的面积为15，请直接写出p点
的坐标。
解：
【第一问】
因为函数y=x²+bx+c过点A（2,0），C（0, -8） 分别将x=2，y=0代入y=x²+bx+c， 得 0=4+2b+c-----① 将x=0，y=-8代入y=x²+bx+c，得-8=c-------------② 将②代入①，解得：b=2--------------------------------------③ 此时，将② ③代入y=x²+bx+c， 所以：二次函数的解析式 y=x²+ 2x -8 【第二问】
1
△ABP的面积= │AB│*│yp│----------------------④
2因为A、B两点在x轴上，令x²+ 2x -8=0
（x-2）（x+4）=0 解得：x1=2，x2= -4
所以：│AB│=│X1- X2│=│2-（- 4）│=6------⑤ 又△ABP的面积=15-------------------------------------⑥ 1
由 ④ ⑤ ⑥，得 ： *6*│yp│=15
2
│yp│=5
故有：yp= ±5
即：p点的纵坐标为5或-5.
把y=5代入 y=x²+ 2x -8，即：5=x²+ 2x -8 x²+ 2x -13=0
解得：x= -1± 14
那么，此时p点坐标（-1+ 14，5），（-1- 14，5）-------⑦ 把y=-5代入 y=x²+ 2x -8，即：-5=x²+ 2x -8 x²+ 2x -3=0 （x-1）（x+3）=0
解得：x= 1或x= -3
那么，此时p点坐标（1，-5），（-3，-5）------------------⑧ 由⑦ ⑧得，使△ABP的面积为15，p点坐标是： （-1+ 14，5），（-1- 14，5），（1，-5），（-3，-5）
2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x²+mx+n经过点A（5，0B（2，-6）．
（1）求抛物线的表达式及对称轴
（2）设点B关于原点的对称点为C，写出过A、C两点直线的表达式。
），
解：
【第一问】
因为抛物线y=2x²+mx+n经过点A（5，0
），B（2，-6）．
将x=5，y=0 代入y=2x²+mx+n，得： 0=50+5m+n-------------------① 将x=2，y= -6代入y=2x²+mx+n，得：-6=8+2m+n--------------------② 此时，由① 、②， 得：m= -12， n=10 所以，抛物线的表达式：y=2x²-12x+10 再将抛物线表达式进行变形： y=2x²-12x+10 y=2（x²-6x+9）-8 y=2（x-3）² -8
所以，抛物线的对称轴是x=3 【第二问】
因为B点坐标为（2，-6），
C是B关于原点的对称点，所以，C点的坐标（-2，6） 设过A、C两点的直线方程为：y=kx+b 因为过A（5，0
），C（-2，6），
将x=5，y=0 代入y=kx+b，得：0= 5k +b---------③ 将x=-2，y=6代入y=kx+b，得：6= -2k+b-------④ 由③ ④解得：k= - 6307 ， b= 7
所以，过A、C两点的直线表达式为：y= - 67 x+ 30
7
3、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点C为（2，x轴上截得的长度为6。
（1）写出抛物线与x轴交点A、B的坐标 （2）求该抛物线的表达式
4），并在（3）写出抛物线与y轴交点P的坐标
解：
【第一问】
因为抛物线的顶点C为（2，4）， 所以，对称轴是：x=2
又因为抛物线在x轴上截得的长度为6， 那么，对称轴x=2将6平分，
也就是说，A、B两点关于x=2对称，且他们到x=2的距离是3 所以，A的横坐标：2-3 = -1
B的横坐标：2+3 = 5
故，抛物线与x轴交点A、B的坐标是（-1,0），（5,0） 【第二问】
因为抛物线的顶点C为（2，4）， 那么，抛物线的表达式直接可设为：
y=a（x-2）²+4 【特别提示，这个非常重要，大大简化了计算】 再将A（-1,0）代入y=a（x-2）²+4， 得 ，0=a（-1-2）²+4 4解得：a= -
9
4
所以，抛物线的表达式为，y= - （x-2）²+4
9【第二问】
44
令x=0，代入y= - （x-2）²+4 ，得y= - （0-2）²+4
9920
y= 9
20
所以，抛物线与y轴交点P的坐标（0， ）
9
4、直线的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，若以A为顶点,，且开口向下作抛物线，交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C，
（1）若△ABC的面积为20，求此时抛物线的解析式 （2）若△BDO的面积为8，求此时抛物线的解析式
解：
【第一问】
直线的解析式为y=2x+4
令x=0，代入y=2x+4， 得，y=4，所以B点坐标（0, 4） 令y=0，代入y=2x+4， 得，x=-2，所以A点坐标（-2,0） 设C点的纵坐标为yc（yc是负数）， 那么线段BC的长度│BC│= 4 -yc
11
△ABC的面积= *│xA│*│BC│= *│-2│* (4 -yc )=20
22
4 -yc =20
解得：yc = -16
所以，C点坐标（0，-16）---------------------------------① 以A（-2,0）为顶点,
可设抛物线表达式：y= a（x+2）² +0
y= a（x+2）² ，它过点C（0，-16）， 将x=0,y= -16代入 y= a（x+2）²，解得：a= -4 所以，抛物线表达式y= -4（x+2）² 【第二问】
设D点的横坐标为xD（xD是负数），
△BDO的面积= 12 *│x1
D│*│BO│= 2 *│xD│*4=8
│xD│=4 xD是负数,所以，xD= -4，又D点在直线y=2x+4上， 将xD= -4 代入y=2x+4，解得yD= -4
D点坐标（-4, -4）-------------------------------------------② 以A（-2,0）为顶点,
可设抛物线表达式：y= a（x+2）² 它过点D（-4，-4） 将x= -4,y= -4代入 y= a（x+2）²，解得：a= -1 所以，抛物线表达式y= -（x+2）²
【第二组题型】
5、若关于x的方程x²+2mx+m²+3m﹣2=0有两个实数根x1、x1（x2+x1）+x2²的最小值为（ ）
x2，则
6、平面直角坐标系中两定点A（-5，0,），B（3，0），抛物线y=ax²+bx-30（a≠0）过A、B，顶点为C，点P（m，n）为抛物线上的一点。 （1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标。 （2）当四边形APBC为梯形，求P的坐标。
3
7、已知抛物线y= 4x²+bx+c 与x轴相交于点A和B（2，0），与y轴相交于C（0，-6）
（1）求出抛物线的解析式和A点的坐标。
（2）D为抛物线的顶点，设P点（t，0），且t＞2，如果△BDP与△CDP的面积相等，求P点的坐标。
8、在xoy直角坐标系中，点C（2，-3）关于x轴对称的点为A，关于原点对称的点为B，抛物线y=ax²+bx+c过A、B两点，且点D（3，19）在抛物线上。
【答案】
5、若关于x的方程x²+2mx+m²+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x2²的最小值为（ ）
解：
方程x²+2mx+m²+3m﹣2=0有两个实数根
则判别式△=（2m）²- 4*（m²+3m﹣2）≥0 2
即：m≤------------------------------------------------①
3根据韦达定理，x1+x2 = -2m-------------------------②
x1x2 =m²+3m﹣2-----------------③
又x1（x2+x1）+x2²= x1x2 +x1² +x2²
=（x2+x1）²- x1x2 【将② ③代入】 =（-2m）²-（m²+3m﹣2） =3m²- 3m+2
1515
=3（m- ）²+ 则顶点（， ）
2424其图像为
2
由①知，当m≤时，已经把顶点包含在内，
315
故，当m=时，有最小值是
24
6、平面直角坐标系中两定点A（-5，0,），B（3，0），抛物线y=ax²+bx-30（a≠0）过A、B，顶点为C，点P（m，n）为抛物线上的一点。 （1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标。 （2）当四边形APBC为梯形，求P的坐标。
解：
【第一问】
15
（， ） 24
因为点A（-5，0,），B（3，0）均为x轴上的两点，且抛物线过这两点，故抛物线的解析式可写为：y=a（x+5）（x-3） y=a（x²+2x-15）
y=ax²+2ax-15a-----------①
又已知， 抛物线y=ax²+bx-30------------② 根据恒等原理，①式 与②式对应的系数相等。 那么它们的常数项相等，即：-15a = -30 解得：a=2
将a=2 代入①式，解得抛物线解析式为： y=2x²+4x-30 再对 y=2x²+4x-30变形 即： y=2（x²+2x）-30 y=2（x+1）² -32 所以，顶点C坐标（-1,-32） 答：抛物线解析式为： y=2x²+4x-30，
顶点C坐标（-1,-32） 【第二问】
四边形APBC为梯形，有两种情况，一是BP∥AC，一是AP∥CB （1）当BP∥AC，
因为A（-5，0），C（-1，-32）
0-（-32）
直线AC的斜率k1= = -8 ----------------③
-5-（-1）因为B（3，0），P（m，n）
0- nn直线PB说完斜率k2= = ----------------④
3- mm -3因为BP∥AC 所以③=④ n
即-8 =
m -3
化简：n = 24 -8m-----------------------------------------⑤ 因为P（m，n）在抛物线上，
所以，把x=m，y=n代入y=2x²+4x-30中
得：n=2m²+4m-30---------------------------------------⑥ 因为⑤=⑥，消去n， 得：24 -8m=2m²+4m-30 化简：m²+6m-27=0 （m+9）（m-3）=0 解得：m= -9，m=3
将m= -9代入⑤中，解得，n=96，则P坐标（-9，96）
将m=3代入⑤中，解得，n=0，则P坐标（3，0）与B（3,0）重合，舍去
故：当BP∥AC时，P坐标为（-9，96）
（2）AP∥CB
同理：
直线BC的斜率k3=8 n
直线AP的斜率k4= m+5
n
由K3=k4，得8= 即：n=8m+40----------⑦
m+5因为P（m，n）在抛物线上，
所以，把x=m，y=n代入y=2x²+4x-30中 得：n=2m²+4m-30--------------------------------------⑧ 由⑦=⑧解得，m=7，m=-5 将m=7，m=-5代入⑦， 解得n=106，n=0
即P坐标（7，106），或p（-5，0）与A（-5，0）重合，舍去 故：当AP∥CB时，P坐标为（7，106）
3
7、已知抛物线y= 4x²+bx+c 与x轴相交于点A和B（2，0），与y轴相交于C（0，-6）
（1）求出抛物线的解析式和A点的坐标。
（2）D为抛物线的顶点，设P点（t，0），且t＞2，如果△BDP与△
CDP的面积相等，求P点的坐标。
解：
【第一问】
因为抛物线与y轴相交于C（0，-6）
3
将x=0，y= -6代入y= x²+bx+c，解得：c = -6
43
那么，抛物线解析式为：y= x²+bx -6
4抛物线与与x轴相交于A（2，0），
33将x=2，y=0，代入y= x²+bx -6，解得：b=
4233
故，抛物线解析式为：y= x²+ x -6
4233
将y= x²+ x -6变形
423
y= （x²+2x -8）
43
y= （x-2）（x+4）
4令y=0，解得x=2，或x= -4
则与x轴相交的坐标为（2，0），（-4，0） 已知B（2，0），所以A坐标（-4，0）
【第二问】
33
将y= x²+ x -6变形
423
y= （x²+ 2x）-6
4
33y= （x²+ 2x+1）-6 -
44327y= （x+1）² -
44
27所以，顶点D坐标为（-1，- ）
4
27
D点纵坐标是- ，线段BP长度为：P点横坐标-B横坐标 = t -2
41
△BDP面积= *│yD│*│BP│
2
127
= *│- │*│t -2│(因为t＞2）
2427
= （t -2）------------------①
8
设对称轴与x轴相交于x轴于E，过顶点C作CF平行于x轴交DE于F.
1
梯形EFCP面积= *│EP+CF│*│EF│
2
1
= *│（xP-xD）+（xC - xD）│*│yC│ 2
1
= *│[ t-（-1）]+[ 0- （-1）]│*│-6│ 21
= *（t+2）*6 2
=3（t+ 2）------------------②
1
三角形CDF面积= *│CF│*│DF│
2
1
= *│xC - xD│*│yD-yC│ 21
= *│xC - xD│*│yD-yC│ 2
127
= *│0- （-1）│*│- -（-6）│
243
= ---------------------③ 8
四边形DEPC面积=梯形EFCP面积+三角形CDF面积
51
= ② +③ = 3t + ----------④
8
1
三角形DEP面积= *│DE│*│PE│
2
1
= *│yD│*│xP-xD│ 2127
= *│- │*│t -（-1）│ 2427
= （t +1） ----------------⑤ 8
三角形CPD面积=四边形DEPC面积 - 三角形DEP面积 24- 3t
=④ - ⑤ = -----------⑥
8又因为：△BDP与△CDP的面积相等
即：①= ⑥
2724- 3t（t -2）= 8813解得：t =
5
13
答：如果△BDP与△CDP的面积相等，求P点的坐标（ ，0）。
5
8、在xoy直角坐标系中，点C（2，-3）关于x轴对称的点为A，关于原点对称的点为B，抛物线y=ax²+bx+c过A、B两点，且点D（3，19）在抛物线上。
（1）求出抛物线的解析式，
（2）P（m，n）点在直线y=2x+1上，若n＜3，且∠PAB=45°，求出P点坐标。
解：
【第一问】
因为点C（2，-3）关于x轴对称的点为A，所以A（2，3）
C（2，-3）关于原点对称的点为B， 所以B（-2，3） 将x=2，y=3代入y=ax²+bx+c，得9=4a+2b+c----------① 将x=-2，y=3代入y=ax²+bx+c，得9=4a-2b+c-------- ② 由①- ②得：-4b =0，即：b=0
那么，①式简化为：9=4a+c---------------------------------③ 因为b=0，故，抛物线的解析式为：y=ax²+c D（3，19）在抛物线上，
将x=3，y=19代入y=ax²+c 得，19=9a+c-----------④ 由④-③，解得：a=2 将a=2代入③，解得：c=1 所以，抛物线解析式：y=2x²+1 【第二问】
A、B的纵坐标为3
P（m，n），n＜3，说明P在AB的下方。
因为∠PAB=45°，所以直线AP的斜率= tan45°则设直线AP的方程：y= x +b
已知A（2，3），将x=2，y=3，代入y= x +b 解得：b=1
故：直线AP的方程：y= x +1----------------⑤ 又P为直线y=2x+1与y= x +1的交点， y= x +1 x=0 y=2x+1 解得： y= 1 所以：P坐标（0，1）
= 1
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容