单相机标定原理

标定参照物上每一个特征点相对于世界坐标系的位置在制作时应该精确测定，记为

(xwi,ywi,zwi)（i=1,2,…,n）,世界坐标系可选为参照物的物体坐标系，其二维图像经过一

系列的数字图像处理方法进行分析与处理，得到二维对应点的图像坐标，记为 5)(ui,vi)(i1,2,3,4,，将式（）改写：

uim11m12mzcivi21m221m31m32m13m23m33xwim14ym24wi ( )

zwim341其中(xwi,ywi,zwi)为空间第i个点的坐标，(ui,vi,1)为第i个点的像素坐标，mij为投影矩阵

M的第i行j列元素。将zci消除后，可得如下两个线性方程：

xwim11ywim12zwim13m14uixwim31uiywim32uizwim33uim34 ( ) xwim21ywim22zwim23m24vixwim31viywim32vizwim33vim34 ( )

上面两式表明，如果标定范本上有n个已知点，并已知它们的世界坐标

(xwi,ywi,zwi)(i1,2,...,n)与像素坐标(ui,vi)(i1,2,...,n)，则有2n个关于Q矩阵元素的

线性方程。由式 （） 可见，Q矩阵乘以任意不为零的常数并不影响(xw,yw,zw)和(u,v)的关系，因此，在式 （） 中可以指定m341，从而得到关于Q矩阵其它元素的2n个线性方程，下面用矩阵形式写出这些方程：

xw10yw10zw10100xw10yw10zw1......01......01u1xw1v1xw1......unxwnvnxwnu1yw1v1yw1xwn0ywn0zwn0100ywn0zwnunywnvnywn0xwnu1zw1v1zw1unzwnvnzwnm11m12m13m14m21m22m23m24m31m32m33u1m34v1m34.....................unm34vnm34

将式（）简记为： KmU ( )

其中K为上式左边2n11矩阵，m为未知的11维向量，U为上式右边的2n维向量，K，

U为已知向量。由此可知，由空间6个以上已知点与它们的图像点坐标，可求出Q矩阵。

如果仅用6个已知点求解，解的误差会很大，不妨使用数十个已知点，使方程的个数大大超过未知数的个数，采用最小二乘法求解，降低了误差造成的影响。由式（）用最小二乘法求出上述线性方程组的解为：

m(KTK)1KTU （）

m向量与m341构成了所求解的Q矩阵。

双目立体视觉相机标定

在立体视觉系统中一般需要用两个相机，因此与单相机定标的差别是需要通过定标，测量双相机之间的相对位置。

用两个相机同时观察周围环境，在定标中可以用单相机定标方法分别得到两个相机各自的内外参数，如果外参数分别用(R1,t1)与(R2,t2)表示，则R1,t1表示C1相机与世界坐标系之间的相对位置，R2,t2表示C2相机与世界坐标系之间的相对位置。对于任意一点P，如果它在世界坐标系，C1坐标系与C2坐标系下的坐标分别为xw,xc1,xc2，则：

xc1R1xwt1 （）

xc2R2xwt2 （）

将上式中消去xw后得到：

11 xc1R1R2Xc2t1R2t2 （）

因此，两个相机之间的几何关系可用以下R和t表示：

1 RR1R2 () 1 tt1R2t2 （）

以上关系式表示，如果对相机分别标定，得到R1,t1与R2,t2，则双相机的相对位置就可由式（）（）计算。