专题------瓜豆原理之圆型(15)

运动轨迹为圆或弧

引例1 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点． 考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

A QOP

引例2 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP． 考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

Q AOP

引例3 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？

Q P AO

【模型总结】

为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”． 此类问题的必要条件：两个定量

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）． QQM

P

P ααAαOO A

【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM；

（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比： AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．

按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”． 【思考1】：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边△APQ． 考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

Q OAP1

【思考2】如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角△APQ． 考虑：当点P在圆O上运动时，如何作出Q点轨迹？

Q AOP

【练习】

1.如图，点P（3,4），圆P半径为2，A（2.8,0），B（5.6,0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．

2.如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=22，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为________．

3.如图，正方形ABCD中，AB25，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．求线段OF长的最小值． 4.△ABC中，AB=4，AC=2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为_____________． Ay DPA ACB M MPE FCO BOCCB AxB第2题图 第3题图 ODE 第4题图 第1题图

5.在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D是以点A为圆心，4为半径的圆上的一点，连接BD，点M为BD的中点，若点D在圆A上运动一周，则点M的运动路径长为 ，线段CM的最大值是________。

B/CBAMD

专题------瓜豆原理之圆型(2)

记住以下要点：

（1）如果主动点在某一封闭图形上运动，则从动点运动所形成的封闭图形与主动点运动的封闭图形相似，其相似比=从动点到定点的距离：主动点到定点的距离。

（2）若主动点的运动路径是圆形，则从动点运动的路径也是圆形。从动点运动的弧的度数（或圆心角的度数）=主动点运动的弧的度数（或圆心角的度数）；从动圆的半径：主动圆的半径=从动点到定点的距离：主动点到定点的距离=相似比

（3）通常常将圆型最值转化为圆外一点到圆上一点的最值

典型例题+练习：

例1 如图，圆O的半径为2，点O到顶点A的距离为5，点B在圆O上，点P是线段AB的中点，若B在圆O上运动一

周。

（1）试说明点P的运动路径是一个圆

B（2）△ABC始终是一个等三角形，直接写出PC的取值范围。

P2

OA例3 如图，点P(3，4)，圆P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC

的最小值是_____________________.（可仿照例1完成） yPAD

A

MP

M C FBOABx COCB 例3 例4 例6

例5

例4 如图，在等腰直角△ABC中，AC=BC=，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P从半圆上的

点A运动至点B时，点M的运动路径长为______________.

例5 如图，正方形ABCD中，AB=，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D

逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF。则线段0F的最小值为_______

例6 如图，B是圆O的半径OA延长线上的一点，OA=AB=2，C是半圆O上的一个动点，以BC为斜边在BC的上方作等腰

直角△BCD，连接OD，则线段OD的最大长度是_________________

例7 如图，△ABC中，AB=4，AC=2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为

________________.

A

BC

O

E D费马点：三角形内到三角形三个顶点的距离之和最小的点

//

基本原理分析：如图，点D是△ABC内一点，连接AD、BD、CD，我们将△CDB绕点C逆时针旋转60°得△CD B,则△D

///////DC和△B BC都是等边三角形。则AD+BD+CD=AD+D D+ BD(如图（1）)，显然当A、D、D、 B在同一直线上时（如

/

图（2））AD+BD+CD有最小值=A B

/BBB/ B D/D/

DD

ACAC

例1 如图，直角△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=2，点P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值。

APB

C3