江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题

数 学 2018.05

注意事项：

1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．

2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． ．．．参考公式：

1

锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．

3

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的

指定位置上）

1. 已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x| x2－x－2＜0}，则A∩B＝________▲． 1

2. 若复数z＝1－i，则z＋ 的虚部是________▲．

z

3. 某公司生产甲、乙、丙三种不同型号的轿车，产量分别为1400辆、5600辆、2000辆．为检验 产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取45辆进行检验，则应从丙种型号的 产品中抽取________▲件．

x－1≤0，

4. 设变量x，y满足约束条件x＋y＋1≥0，则目标函数z＝－2x＋y的最大值是 ▲ ．

x－y＋3≥0，

5. 小明随机播放A，B，C，D，E 五首歌曲中的两首，则A，B 两首歌曲至少有一首被播放的概率

是________▲．

6. 如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是________▲．

A1DB1C1ABC

（第7题） （第6题）

7. 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D－A1BC 的体积是 ▲ ．

x2y2

8. 已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝2x，它的一个焦点与抛物线y2＝20x

ab 的焦点相同，则双曲线的方程是________▲．

9. 若直线y＝2x＋b是曲线y＝ex－2的切线，则实数b＝________▲． 10. “a＝1”是“函数f(x)＝

x＋1

＋sinx－a2为奇函数”的________▲条件．（填“充分不必要”，“必 x

要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）

11. 在数列{an}中，若a4＝1，a12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a2018＝________▲． 12. 已知直线x－y＋b＝0与圆x2＋y2＝9交于不同的两点A，B．若O是坐标原点，且

2→→→|OA＋OB|≥|AB|，则实数b的取值范围是________▲．

2

→→→→→→13. 在△ABC中，已知AB·AC＋2BA·BC＝3CA·CB，则cosC的最小值是________▲．

x2－x＋5，x＞0，

414. 已知函数f(x)＝x－3x＋1，g(x)＝若方程g[f(x)]－a＝0（a＞0）有6个实 2－x－6x－8，x≤0，

3

2

数根（互不相同），则实数a的取值范围是________▲．

二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把

答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)

已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量 m＝(－1，3)，n＝(cosA，sinA)，且m·n＝1．

→→→→

（1）求A的值；

1＋sin2B

（2）若2＝－3，求tanC的值．

cosB－sin2B

16．(本小题满分14分)

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上（异于点P，C）， 平面ABE与棱PD交于点F． （1）求证：AB//EF；

（2）若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD．

（第16题）

17．(本小题满分14分)

如图，A，B，C三个警亭有直道相通，已知A在B的正北方向6千米处，C在B的正东方向 63千米处．

（1）警员甲从C出发，沿CA行至点P处，此时∠CBP＝45°，求PB的距离； （2）警员甲从C出发沿CA前往A，警员乙从A出发沿AB前

往B，两人同时出发，甲的速度为3千米/小时，乙的速度 为6千米/小时．两人通过专用对讲机保持联系，乙到达B 后原地等待，直到甲到达A时任务结束．若对讲机的有效 通话距离不超过9千米，试问两人通过对讲机能保持联系 的总时长？

BCAP北（第17题）

18．(本小题满分16分)

x2y2

如图，已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆C经过点(0，3)，

ab

1

离心率为，直线l过点F2与椭圆C交于A、B两点．

2 （1）求椭圆C的方程；

（2）若点N为△F1AF2的内心（三角形三条内角平分线的交点），求△F1NF2与△F1AF2面积的 比值；

（3）设点A，F2，B在直线x＝4上的射影依次为 点D，G， E．连结AE，BD，试问当直线l 的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于 定点T？若是，请求出定点T的坐标；若不是， 请说明理由．

19．(本小题满分16分)

已知函数f(x)＝lnx－ax＋a，a∈R．

（1）若a＝1，求函数f(x)的极值； （2）若函数f(x)有两个零点，求a的范围；

（3）对于曲线y＝f(x)上的两个不同的点P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))，记直线PQ的斜率为k， x1＋x2

若y＝f(x)的导函数为f ′(x)，证明：f ′()＜k．

2

20．(本小题满分16分)

已知等差数列{an}和等比数列{bn}均不是常数列，若a1＝b1＝1，且a1，2a2，4a4成等比数列， 4b2，2b3，b4成等差数列． （1）求{an}和{bn}的通项公式；

（2）设m，n是正整数，若存在正整数i，j，k（i＜j＜k），使得ambj，amanbi，anbk成等差数列， 求m＋n的最小值；

an1 （3）令cn＝，记{cn}的前n项和为Tn，{}的前n项和为An．若数列{pn}满足p1＝c1，且对n≥2，

bnan n∈N*，都有pn＝

Tn－1

＋Ancn，设{pn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜4＋4lnn． n

（第18题）

南师大附中2018届高三年级模拟考试

数学附加题 2018.05

注意事项：

1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．

3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． ．．．

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指．．．．

定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．．．．

A．选修4—1：几何证明选讲

1

在△ABC中，已知AC＝AB，CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC边于点N，求证：

2

BN=2AM．

A

M

O

CNB

（第21A题）

B．选修4—2：矩阵与变换

已知矩阵M＝

C．选修4—4：坐标系与参数方程

π

在极坐标系中，已知圆C：ρ＝22cosθ和直线l：θ＝(ρ∈R)相交于A，B两点，求线

4段AB的长．

D．选修4—5：不等式选讲

1 2 的一个特征值为3，求M的另一个特征值．

2 x

149

已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：＋≥ ．

2a＋12b＋14

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文．．．．．．．．

字说明、证明过程或演算步骤．

22．(本小题满分10分)

如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同 点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S． （1）求S＝

3

的概率； 2

（2）求S的分布列及数学期望E(S)．

（第22题）

23．(本小题满分10分)

设集合A，B是非空集合M的两个不同子集．

（1）若M＝{a1，a2}，且A是B的子集，求所有有序集合对(A，B)的个数；

（2）若M＝{a1，a2，a3，…，an}，且A的元素个数比B的元素个数少，求所有有序集

合对(A，B)的个数．

南师大附中2018届高三年级校模考试

数学参考答案及评分标准

说明：

1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较

严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．{0，1}

2．－

1 2 3．10 4．5 5．

7 6．4 10

237．

311．9

x2y28．1

5209．－2ln2

2 3

10．充分不必要

12．（32，6][6,32)

13．

（1，） 14．

54

二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分) 解：（1） 因为mn1，

所以(－1，3)·(cosA，sinA)＝1，

即3sinAcosA1 ， ………2分

则2(sinA131cosA)1，即sin(A)，

62225A， 666 ………4分

又0A ，所以故A6612sinBcosB3，整理得 （2）由题知 22cosBsinB，所以A． 3 ………6分

sin2BsinBcosB2cos2B0

2 ………8分

易知cosB0 ，所以tanBtanB20 ，

所以tanB2或tanB1 ，

………10分

22而tanB1时cosBsinB0，不合题意舍去，

所以tanB2 ，

………12分

(AB)]tan(AB) 故tanCtan[

tanAtanB853．

1tanAtanB11 ………14分

16．(本小题满分14分)

证明：（1） 因为四边形ABCD是矩形， 所以AB//CD．

………2分

又AB平面PDC，CD平面PDC， 所以AB//平面PDC，

………4分

又因为AB平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF， 所以AB//EF．

………7分

（2） 因为四边形ABCD是矩形， 所以AB⊥AD．

………8分

因为AF⊥EF，（1）中已证AB//EF，

所以AB⊥AF， ………9分 又AB⊥AD，

由点E在棱PC上（异于点C），所以F点异于点D，

所以AF∩AD＝A， AF，AD平面PAD，

所以AB⊥平面PAD， ………12分 又AB平面ABCD， 所以平面PAD⊥平面ABCD．

17．(本小题满分14分)

解：（1）在ABC中，AB6，A60，APB75

由正弦定理，

………14分

ABBP，

sinAPBsinA6即BP3123622123=3（362），

426624故PB的距离是92－36千米． ………4分

（2）甲从C到A，需要4小时，乙从A到B需要1小时．

设甲、乙之间的距离为ft，要保持通话则需要ft9．

1当0t1时，

ft6t2123t226t123tcos60

37t216t169， 即7t216t70，解得

8158157t7，又t0,1 所以

8157t1， 时长为

1517小时． 2当1t4时，

ft36123t226123tcos60

3t26t129， 即t26t30，解得36t36，又t(1,4]

所以1t4， 时长为3小时． 3＋

151157＝207（小时）． 答：两人通过对讲机能保持联系的总时长是

15207小时． （注：不答扣1分）

18．(本小题满分16分)

解：（1）由题意，b＝3，又因为c1b3

a＝2，所以a＝2

，解得a＝2，

所以椭圆C的方程为x24＋y2

3

＝1. ………6分

………8分 ………10分

………12分

………14分 ………4分

（2）因为点N为△F1AF2的内心，

所以点N为△F1AF2的内切圆的圆心，设该圆的半径为r.

S△F1NF2F1F2c1则＝＝＝＝. ………8分 S△F1AF21AF1＋AF2＋F1F2a＋c3

×(AF1＋AF2＋F1F2)×r2

（3）若直线l的斜率不存在时，四边形ABED是矩形，

5

此时AE与BD交于F2G的中点(，0)， ………9分

2

5

下面证明：当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点T(，0).

2设直线l的方程为y＝k(x－1)，

k(x－1)，y＝2

xy2化简得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 4＋3＝1

因为直线l经过椭圆C内的点(1，0)，所以△＞0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

4k2－128k2则x1＋x2＝，xx＝. ………11分

3＋4k2123＋4k2由题意，D(4，y1)，E(4，y2)，

y2－y1

直线AE的方程为y－y2＝(x－4)，

4－x1

y2－y152(x1－4)y2＋3(y2－y1)5

令x＝，此时y＝y2＋×(－4)＝ 24－x122(x1－4)2(x1－4)k(x2－1)＋3k(x2－x1) ＝

2(x1－4)

＝

8k＋2kx1x2－5k(x2＋x1)

2(x1－4)1×FF×r212

4k2－128k2

8k＋2k·－5k·3＋4k23＋4k2＝ 2(x1－4)8k·(3＋4k2)＋2k·(4k2－12)－5k·8k2＝ 2(x1－4)(3＋4k2)

24k＋32k3＋8k3－24k－40k340k3－40k3＝＝＝0，

2(x1－4)(3＋4k2)2(x1－4)(3＋4k2)

5

所以点T(，0)在直线AE上，

2

5

同理可证，点T(，0)在直线BD上. ………16分

2

5

所以当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点T(，0).

2

19．(本小题满分16分) 解：（1）f(x)'11axa，x0， xx' 当a0时，f(x)0，f(x)在(0,)上单调递增，无极值； ………2分

1a11' x(,),f(x)0，f(x)在(,),上单调递减，

aa1 函数有极大值f()alna1，无极小值． ………4分

a' 当a0时，x(0,),f(x)0，f(x)在(0,),上单调递增；

1a（2）由（1）可知当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调增，不可能有两个零点；

1f(当a＞0时，函数有极大值a)alna1，

1x1 令g(x)xlnx1（x＞0）， g'(x)1xx，

x(0,1)，g'(x)0，g(x)0在(0，1)上单调递减；

x(1,)，g'(x)0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增， 函数g(x)有最小值g(1)0．

要使若函数f(x)有两个零点时，必须满足a0且a1， ………6分 下面证明a0且a1时，函数有两个零点．

因为f(1)0， 所以下面证明f(x)还有另一个零点． ①当0a1时，f()alna10，

1a112alnaa212alnaa21f(2)2lnaa ，aaaa 令h(a)2alnaa1(0a1)，h'(a)2(lna1)2a2(lnaa1)0， h(a)在(0,1)上单调递减，h(a)h(1)0，则f(21)02a，

111)(,)上单调递减， f(x)上有零点，又在aa2a11 所以f(x)在(,2)上有惟一零点，从而f(x)有两个零点．

aa 所以f(x)在(, ②当a1时，f(1a)alna10， f(111ea)aaeaaaea0，

易证eaa，可得11eaa，

所以f(x)在(111ea,a)上有零点，又f(x)在(a,)上单调递减，

所以f(x)在(11ea,a)上有惟一零点，从而f(x)有两个零点．

综上，a的范围是(0,1)(1,)． （3）证明：f(x1)f(x2)lnx1lnx2a(x2x1)， kf(x1)f(x2)lnx1lnx2a(x2x1)lnxx1lnx2a，

1x2x1x2x1x2 又f'(x)1xa1axxf'(x1x2)2a， ，2x1x2f'(x1x2lnx1lnx22(2)k2x1[x1x)2lnx]1x2x1x2x1x2xx12x

12(x1x1)2xx[ln1]1x2x11x2x2 不妨设0＜x2＜x1， t＝x

1x，则t＞1，

2

2(x1 则

x1)2xlnx12(t1)lnt． 1xt1x122 令h(t)2(t1)t1lnt（t1）， 则h'(t)(t1)2 (1t)2t0， 因此h(t)在(1，＋∞)上单调递减，所以h(t)＜h(1)＝0. 又0＜x2＜x1，所以x1－x2＞0，

所以f ′(x1＋x2x1＋x2

2)－k＜0，即f ′(2

)＜k． ………10分

………12分

16分

12

………

20．(本小题满分16分)

解：（1）设等差数列的公差为d（d≠0），等比数列在公比为q（q≠1），由题意得：

4a224a1(a1d)2a1(a13d)，a，4  234b34b2b44b1q4b1qb1q 解得d＝1，q＝2， ………4分 所以ann,bn2n1.

（2）由ambj，amanbi，anbk成等差数列， 有2amanbiambjanbk， 即2mn2i1m2j1n2k1 ， 由于ijk，且为正整数，所以ji1,ki2， 所以2mnm2jin2ki2m4n， 可得 mnm2n， 即2m1n1， ①当1≤m≤2时，不等式2m1n1不成立；

②当m4

m3时 i1n2 或

n3

2mn2m2j1n2k1成立； ③当n4时，

1n0，2m1，即m2，则有mn6； 所以mn的最小值为6， 当且仅当ji1，ki2且m4

m3

时取得． n2 或

n3

（3）由题意得：pc1122(12)c2 pcc2313(11213)c3

Snp1p2p3pn

(112131n)(c1c2c3cn) (111231n)Tn Tnc1c2c3cn （1）

………6分

………8分 ………10分 11分

………111c1c2cn （2） 22211111n （1）—（2）得Tn1n1n

2248221n1n 22()n() ， ………12分

221n1 求得 Tn4(n2)()4，

2111 所以 Sn4(1)，

23n111x1 设f(x)lnx1(x1)，则f(x)220，

xxxx

所以 f(x)在(1,)上单调递增，有f(x)f(1)0，

1Tn21. ………14分 xk1， 当k2，且kN*时，

k1kk111 ， 有lnk1kk12131n 所以ln,ln,,ln，

2132nn111123n1lnn， 可得11lnlnln23n12n1111 所以Sn4(1)4(1lnn). ………16分

23n 可得 lnx1

南师大附中2018届高三年级校模考试 数学附加题参考答案及评分标准

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指．．．．

定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．．．．

A．选修4—1：几何证明选讲

证明： 如图，在△ABC中，因为CM是∠ACM的平分线，

ACAM

所以 ＝ ．

BCBM

1AB2AM

又AC＝AB，所以 ＝ ① …………… 4分

2BCBM 因为BA与BC是圆O过同一点B的弦，

ABBN

所以，BM·BA＝BN·BC，即 ＝ ② ……………8分

BCBM 由①、②可知

2AMBN

＝ ， BMBM

所以 BN=2AM． ……………10分

B．选修4—2：矩阵与变换

λ－1 －2

解： 矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)(λ－x)－4． …………… 3分

－2 λ－x

因为λ1＝3是方程f(λ)＝0的一个根，

所以(3－1)(3－x)－4＝0，解得x＝1． …………… 6分 由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ＝－1或3，所以λ2＝－1． ……………10分

C．选修4—4：坐标系与参数方程

解：圆C：ρ＝22cosθ直角坐标方程为x2＋y2－22x＝0，即(x－2)2＋y2＝2．

π

直线l：θ＝(ρ∈R)的直角坐标方程为y＝x． …………… 6分

4|2－0|

圆心C到直线l的距离d＝＝1． …………… 8分

2

所以AB＝2． ……………10分

D．选修4—5：不等式选讲

证明：证法一 因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，

2b＋14(2a＋1)14

所以(＋ )[(2a＋1)＋(2b＋1)]＝1＋4＋＋

2a＋12b＋12a＋12b＋1

≥5＋22b＋14(2a＋1)

× ＝9． ……………8分 2a＋12b＋1

149

而 (2a＋1)＋(2b＋1)＝4，所以＋≥ ． …………… 10分

2a＋12b＋14 证法二 因为a＞0，b＞0，由柯西不等式得 14

(＋ )[(2a＋1)＋(2b＋1)]

2a＋12b＋1 ≥(

1 2a＋1

2a＋1 ＋4 2b＋1

2b＋1 )2

＝(1＋2)2＝9． …………… 8分 由a＋b＝1，得 (2a＋1)＋(2b＋1)＝4，

149

所以＋≥ ． ……………10分

2a＋12b＋14

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文．．．．．．．．

字说明、证明过程或演算步骤．

22．(本小题满分10分)

解：（1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有C36种不同选法， 其中S＝

3

的为有一个角是30°的直角三角形(如△P1P4P5)，共6×2＝12种， 2

3123

)＝3＝. ……………3分 2C65

3333

，，. 424

所以P(S＝

（2）S的所有可能取值为 S＝3

的为顶角是120°的等腰三角形(如△P1P2P3)，共6种， 4

363

)＝3＝. ……………5分 4C610

所以P(S＝

33

S＝的为等边三角形(如△P1P3P5)，共2种，

4

3321

所以P(S＝)＝3＝. ……………7分

4C610 又由（1）知P(S＝

3123

)＝3＝，故S的分布列为 2C65

S P 所以E(S)＝

23．(本小题满分10分)

3 43 103 23 533 41 10333333193×＋×＋×＝. ……………10分 4102541020

解：（1）若集合B含有2个元素，即B＝{a1，a2}， 则A＝，{a1}，{a2}，则(A，B)的个数为3；

若集合B含有1个元素，则B有C2种，不妨设B＝{a1}，则A＝， 此时(A，B)的个数为C2×1＝2.

综上，(A，B)的个数为5. …………3分 （2）集合M有2n子集，又集合A，B是非空集合M的两个不同子集，

则不同的有序集合对(A，B)的个数为2n(2n－1). …………5分 若A的元素个数与B的元素个数一样多，则不同的有序集合对(A，B)的个数为

01122nn

Cn(C0n－1)＋Cn(Cn－1)＋Cn(Cn－1)＋…＋Cn(Cn－1)

1222n2012n2 ＝(C0n)＋(Cn)＋(Cn)＋…＋(Cn)－(Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn). …………7分 1222n22 又(x＋1)n(x＋1)n的展开式中xn的系数为(C0n)＋(Cn)＋(Cn)＋…＋(Cn)，

11 且(x＋1)n(x＋1)n＝(x＋1)2n的展开式中xn的系数为Cn2n，

1222n2n2 所以(C0n)＋(Cn)＋(Cn)＋…＋(Cn)＝C2n.

12nn 因为C0n＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2，所以当A的元素个数与B的元素个数一样多时， nn 有序集合对(A，B)的个数为C2n－2. …………9分

所以，A的元素个数比B的元素个数少时，有序集合对(A，B)的个数为

n2nn

2n(2n－1)－(Cn2n－2)2－C2n

＝. …………10分

22