宝安中学仲元中学中山一中南海中学潮阳一中普宁二中六校2014届高三第一次联考数学文试题(文数)

2014届 高三第一次联考

潮阳一中 宝安中学 普宁二中

数学（文科）

一 选择题（每小题5分，共50分）

1. 已知集合Mx|x1,Nx|21，则MN= （ ）

xA． B．x|x0

C．x|x1 D．x|0x1

2．已知a是实数，(ai)(1i)是纯虚数（i是虚数单位），则a=（ ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 3．cos26000等于（ ）

A．1333 B． C． D．

2222（ ）.

4．设条件p:a0；条件q:a2a0，那么p是q的什么条件

A．充分非必要条件 C．充分且必要条件

B．必要非充分条件

D．非充分非必要条件

5．已知直线a,b都在平面外, 则下列推断错误的是（ ）

A．a//b,b//a// B．ab,ba// C．a//,b//a//b D．a,ba//b 6．方程2xx23的实数解的个数为( )

S4（ ） a2A．2 B．3 C．1 D．4 7．设等比数列{an}的公比q2， 前n项和为Sn，则

A. 2

B. 4

C.

1517 D. 228．已知向量a(3,4), b(2,1)，如果向量axb与b垂直，则x的值为（ ）

A.

23 3 B.

3 23 C.2

D. 2 59．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是

边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那

1

主视图 左视图 (第9题图)

俯视图 么这个几何体的全面积为 （ ） A．

10．函数f(x1)是R上的奇函数，x1,x2R,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]0,则f(1－x)0 的解集是（ ）

A (,0) B (0,) C (1,1) D (,1)(1,)

二．填空题：（本大题每小题5分，共20分，把答案填在题后的横线上）

开始 输入a,b 是 ab？输出否 3π B．2π C．3π D．4π 2输出b1 aa1 b结束 （第11题图）

（一）必做题（11～１３题）

11．对任意非零实数a,b，若ab的运算原理如右图程序框图所示，则32= ．

212. 已知f(x)x3xf(2),则f(2)= .

x013．已知x,y满足条件yx（k为常数） ，若zx3y的最大值为8，则

2xyk0k= .

（二）选做题（14 ～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第一题的分）

x214. 在平面直角坐标系xOy中，（坐标系与参数方程选做题）点P(x，y)是椭圆y213上的一个动点，则Sxy的最大值为 . A F E （第15题图）

B D C 2

15．（几何证明选讲选做题）如图，平行四边形ABCD中，

AE:EB1:2, AEF的面积为6,

则ADF的面积为 .

三．解答题：(本大题共6小题，共80分，要求写出必要的解答过程) 16．（本小题满分12分）已知tan，cos（1）求tan()的值；

（2）求函数f(x)2sin(x)cos(x)的最大值． 17.（本小题满分12分）某高校在某年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.

（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；

（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？ （3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？

组号 分组 频数 频率 160,165 5 第1组 0.050 165,170 ① 第2组 0.350

170,175 30 第3组 ②

175,180 20 第4组 0.200

[180,185] 第5组 10 0.100

合计 100 1.00

18．(本小题满分14分)

长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1135,,(0,) 52，

ABBC2，O是底面对角线的交点。

(Ⅰ) 求证：B1D1//平面BC1D；

平面BC1D； (Ⅱ) 求证：AO1

3

(Ⅲ)求三棱锥A1DBC1的体积。

19. （本小题满分14分）

已知等差数列{an}的前5项和为105，且a102a5. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)对任意mN*，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm.

20．(本小题满分14分)

已知抛物线方程ymx（mR，且m0）． (Ⅰ)若抛物线焦点坐标为(1,0)，求抛物线的方程；

(Ⅱ)若动圆M过A(2,0)，且圆心M在该抛物线上运动，E、F是圆M和y轴的交点，当m满足什么条件时， |EF|是定值．

21．（本题满分14分）

已知a为正的常数，函数f(x)|axx|lnx。 （1）若a2，求函数f(x)的单调增区间； （2）设g(x)

4

22f(x)，求函数g(x)在区间[1,e]上的最小值。 x参考答案

一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 题号 答案 1 D 2 B 3 D 4 A 5 C 6 A 7 C 8 D 9 A 10 B 二 .填空题（本大题每小题5分，共20分，把答案填在题后的横线上） 11.2 ； 12.2 ； 13.－6 ； 14.2 ； 15.SADF18 16．解：（1）由cos525 ， tan2 ……………2分 ,(0,) 得sin5512tantan于是tan()=31. ……………………………6分

21tantan13131（2）因为tan,(0,)所以sin ………………9分 ,cos31010f(x)355525sinxcosxcosxsinx5sinx …………11分 5555f(x)的最大值为5. ………………………………………………………………12分

17．解：（1）由题可知，第2组的频数为0.3510035人, …………… 1分 第3组的频率为

300.300, ………2分 100频率分布直方图如右: ………… 5分 （2）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:

3063人, ………… 6分 6020第4组:62人, ………… 7分

6010第5组:61人, ………… 8分

60第3组:

所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人。 （3）设第3组的3位同学为A1,A2,A3,第4

组的2位同学为B1,B2,第5组的1位同学为C1,则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下: (A1,A2)，(A1,A3)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,C1)，(A2,A3),

(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),……10

5

分

其中第4组的2位同学为B1,B2至少有一位同学入选的有: (A1,B1),(A1,B2),

(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(B1,B2),(A3,B2),(B1,C1),(B2,C1),9中可能, …………11分

所以其中第4组的2位同学为B1,B2至少有一位同学入选的概率为

18．(Ⅰ) 证明：依题意：B1D1//BD，且B1D1在平面BC1D外．……………………2分

∴B1D1//平面BC1D……………4分 (Ⅱ) 证明：连结OC1

∵BDAC AA1BD ∴BD平面ACC1A1…………5分 又∵O在AC上，∴AO1在平面ACC1A1上

93…………12分 155BD ∵ABBC2 ∴ACAC∴AO1122 1∴OA222 ∴RtAAO中，A1OAA1OA2…… 7分 1OC1AC同理：OC12 ∵A1OC1中，AO111

222OC1 ∴AO平面BC1D……………………………………………10分 ∴AO11平面BC1D (Ⅲ)解：∵AO1∴V11AOBDOC1……………………………………………12分 13211422222…………………………………………14分 3235a10d105,19.(I)由已知得：1

a9d2(a4d),11解得a17,d7,

所以通项公式为a7(n1)77n.……………6分 n(II)由an7n72m，得n72m1，

6

2m1b7m12m149∴{bm}是公比为49的等比数列， 即bm72m1.bm7 ……………14分 7(149m)7mSm(491)1494820．解：(Ⅰ) 依题意：

p1． ……………………………………………… 2分 22∴p2 ∴所求方程为y4x． ………………………………4分

(Ⅱ)设动圆圆心为M(a,b)，（其中a0），E、F的坐标分别为(0,y1)，(0,y2) 因为圆M过(2,0)，故设圆的方程(xa)(yb)(a2)b…………6分 ∵E、F是圆M和y轴的交点 ∴令x0得：y2by4a40………8分

则y1y22b，y1y24a4

22222|EF|(y1y2)2(y1y2)24y1y24b216a16……………10分

又∵圆心M(a,b)在抛物线ymx上 ∴bma …………11分 ∴|EF|224ma16a164a(m4)16…………………………………．12分

∴当m4时，|EF|4(定值)． ……………………………………………14分 21.解：（1）由a2，得f(x)|2xx|lnx(x0)，

212x22x1当0x2时，f(x)2xxlnx，f(x)22x，

xx2由f(x)0，得2x22x10，解得x1313，或x（舍去） 22当0x1313时，f(x)0；x2时，f(x)0； 2213)； …………2分 2∴函数f(x)的单调增区间为(0,

12x22x1当x2时，f(x)x2xlnx，f(x)2x2，

xx2 7

由f(x)0，得2x22x此方程无解，∴函数f(x)在[2,)上为增函数；…10，4分

∴函数f(x)的单调增区间为(0,（2）g(x)13)，[2,)。 …………5分 2f(x)lnx，x[1,e]， |xa|xx1lnxx21lnxlnx①若a1时，g(x)xa，则g(x)1， x2x2x∵x[1,e]，∴0lnx1，∴1lnx0，x21lnx0，∴g(x)0 ∴g(x)在[1,e]上为增函数，∴g(x)的最小值为f(1)1a； …………8分

1lnxx21lnxlnx②若ae时，则g(x)ax，则g(x)1， x2x2x令h(x)x1lnx，则h(x)2x210， x所以h(x)在[1,e]上为减函数，则h(x)h(1)0；

所以g(x)在[1,e]上为减函数，g(x)的最小值为g(e)ae1； ………11分 elnxxa,x(a,e]x③当1ae，g(x)，

lnxax,x[1,a]x由①②知g(x)在[1,a]上为减函数，在[a,e]上为增函数，

∴g(x)的最小值为g(a)

lna， …………13分 a1a,a1lna综上得g(x)的最小值为g(a),1ae。 …………14分

a1ae,aee 8