高中数学三角函数新奇妙题难题提高题

的整数倍；②

的图

yf(x)的表达式可改写为y4cos(2x)；③yf(x)的图象关于点（－,0)对称；④y=f(x)66象关于直线x答案：②③

6对称。其中正确命题的序号是__ _

π的图象过点1,2，若有4个不同的正数x

2. 已知函数g(x)1cosπx20i2满足g(xi)M(0M1)，且xi4(i1,2,3,4)，则x1x2x3x4等于 答案 12或20 3函数

2y11x的图像与函数

y2sinx(2x4)的图像所有交点的横坐标之和等于

（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8 解析：图像法求解。

y1的对称中心是（1,0）也是y2sinx(2x4)的中心，2x4他们的图像在x1x=1的左侧有4个交点，则x=1右侧必有4个交点。不妨把他们的横坐标由小到大设为

x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8，则

x1x8x2x7x3x6x4x52，所以选D

5 .如果圆x2+y2=n2至少覆盖函数(A) 1

提示：因为令

(B) 2 (C) 3

f(x)3sin(D) 4

x的一个最大值点和一个最小值点，则正整数的最小值是( B ) n2f(x)3sinxn为奇函数，图象关于原点对称，所以圆xy2n2只要覆盖f(x)的一个最值点即可，

xn2，解得

nn222f(x)距原点最近的一个最大点P(,3)，由题意n()(3)得正整数n的最小值为2 选 B

22sinx，sinx≤cosx

6．(模拟)对于函数f(x)＝给出下列四个命题：

cosx，sinx>cosx

①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值是－1； ③该函数的图象关于x＝

5ππ2＋2kπ(k∈Z)对称；④当且仅当2kπ其中正确命题的序号是________．(请将所有正确命题的序号都填上) 答案：③④

8已知f(x)=sin(x+)(>0, 0≤≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M调函数，求和的值。

【解】 由f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以sin(+)=sin(-x+)，所以cossinx=0，对任意x∈R成立。又0≤≤π，

3,0对称，且在区间0,上是单

243333,0对称，所以f(x)f(x)=0。取x=0，得f()=0，所以，因为f(x)图象关于M244442330.所以k(k∈Z)，即=(2k+1) (k∈Z)，又>0，取k=0时，此时f(x)=sin(2x+)在sin232424解得=

1

10]上是减函数；取k=1时，=2，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数；取k=2时，≥，此时f(x)=sin(x+)222322在[0，]上不是单调函数，综上，=或2。

23[0，7． 如图，已知在等边△ABC中，AB＝3，O为中心，过O的直线交AB于M，AC于N，设∠AOM＝(60°≤≤120°)，当

分别为何值时，

11取得最大值和最小值． OMONOM，又OA＝

sin30sinAMO解：由题意可知：∠OAM＝30°，则∠AMO＝180°－（θ＋30°）由正弦定理得：

OA=∴

1OMON3323 同理： ON，33，∴OM232sin(30)2sin(30) 2sin，∵60°≤θ≤12sin(30)2sin(30)23131333(2sincossincos)222120°，∴3≤2sinθ≤2，故当θ＝60°或120°时，11 的最小值为3；当θ＝90°

OMON时，11的最大值为2．

OMON联赛

1.在平面直角坐标系xoy中，函数

f(x)asinaxcosax(a0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数

g(x)a21的图像所围成的封闭图形的面积是_____________。

解：

f(x)a21sin(ax),其中arctan21，它的最小正周期为

aa2a、宽为，振幅为a21。由f(x)的图像与

2a a21。

g(x)的图像围成的封闭图形的对称性，可将这图形割补成长为

a21的长方形，故它的面积是x3sinx2a0...........(1)2.已知x,2y∈[,]，a∈R,且求cos(x+2y)的值。

3442)4ysinycosya0.......(

分析：（1），（2）可得变形： x3+sinx=2a,(2y)3+sin2y=-2a,由这式子使我们联想到函数f(v)=v3+sinv，由（1）得，f(x)=2a; 由（2）得，f(2y)=-2a;由f(v)在[从而cos(x+2y)=0。 3．函数

交点的横坐标的最大值为，求证： f(x)|sinx|与直线ykx (k0)有且仅有三个交点，

cos12． sinsin34,]上，为单调的奇函数。故f(x)=-f(2y)=f(-2y),又x,2y∈[,],∴x=-2y,∴x+2y=o,

2244 [证]

3f(x)的图象与直线ykx (k0)的三个交点如答13图所示，且在(,)内相切，其切点为A(,sin)，

2(,33sin，即tan．因此)，由于f(x)cosx，x(,)，所以cos22cos2sin21tan212   4sincos4tan44sincoscoscossinsin32sin2cos1．

答13

2