匀强磁场中匀速圆周运动问题的数理方法

□ 黄 汶

（常州市横山桥高级中学，江苏常州 213119）

解决带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动问题的关键是：找出做圆周运动轨迹的圆心并作出运动轨迹，依据图中的几何关系寻求解决问题的途径。笔者认为，从数学原理的角度，应让学生整体领会平面几何中与带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动问题有关的尺规作图知识；从物理方法的角度，应让学生建构作图知识在具体物理情境中的实际物理意义，通过作图建构有意义并有效的物理图景，并能运用数学平面几何和解析几何知识解决物理问题。

一、探究与圆周运动有关的平面几何的尺规作图

为了实现后面的有意义学习和有效建构，我们设计并呈现了一个学生可以自主探究和班级交流的方式解决的过渡性问题，一方面，给学生铺设好拾级而上的台阶；另一方面，让学生整体领会平面几何中与带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动问题有关的尺规作图知识，有助于全面把握作图方法和要领。

如图1所示，已知圆心为O，半径为r的实线圆；据平面几何的定理及其作图知识，先作出已知圆的切线、弦等；然后以已知圆的切线、弦等为辅助线作出通过已

α L

O L/

O/

α O/

图1 图2

知圆的圆心O的直线或圆；再逆向思考已知一个圆的切线、弦等，如图2所示，如何作图寻找该圆的圆心并作出圆。

经过交流，基本上可以形成图1中的四种意见和方法，先作出圆心所在直线或圆。其一，过切点作与圆的切线垂直的直线L；其二，作圆的弦的垂直平分线L/；其三，作圆的两条切线夹角α的平分线L/；其四，作以圆周上一点O/为圆心，以r为半径的圆O/。然后根据两线相交可以确定圆心并作出圆。

二、揭示数学知识和方法所隐含的物理意义

物理与数学，一个相对抽象，另一个相对具体，要把抽象的数学知识结合具体

的物理情境，并揭示数学知识和方法所隐含的物理意义，这样，数学才会成为学生解决物理问题的工具。为此，我们又设计和A v1 v2呈现了四个具体、单纯的物理作图问题，让学生找出做圆周运

O1 动的圆心，并总结出四个作图要领。

其一，过切点作与圆的切线垂直的直线。如图3所示，从A

O2 点分别以大小不等但方向相同的速度v1和v2垂直于磁场射入（射出）的带电粒子做匀速圆周运动轨迹的圆心分别是O1和O2，O1和O2均在过A点垂直于v1的直线AO1上。

图3 要领一 带电粒子从同一已知点以不同的速率向平面上同一已知方向射入（射出），若匀强磁场垂直该平面，则这些粒子做匀速圆周运动的轨迹圆心必在过该点与速度方向垂直的直线上，这些圆轨迹相切。

其二，作圆的弦的垂直平分线。如图4所示，垂直于

A 磁场从A（或B）点射入，并从B（或A）射出的带电粒

子做匀速圆周运动轨迹的圆心可能是O1（或O2），O1和

O2 O2均在AB连线的垂直平分线O1O2上。

要领二 带电粒子从有界平面上一已知点射入、并从

O1 B 另一已知点射出，若匀强磁场只垂直分布于该有界平面

内，则这些粒子做匀速圆周运动的圆心必在射入点和射出

图4 点连线的中垂线上。

其三，作圆的两条切线夹角α的平分线。如图5所示，

v1 垂直于磁场沿v1方向射入，并沿v2方向射出的带电粒子做

α β 匀速圆周运动轨迹的圆心可能是O1（或O2），O1和O2均在角α的平分线上，角α是v2偏离v1方向的偏向角βO1 的邻角。

O2 要领三在平面上，带电粒子从未知点向一已知方向射入、并从另一未知点向另一已知方向射出，若匀强磁场垂v2 直分布于该有界平面内，则这些粒子做匀速圆周运动的圆

图5 心必在射出方向对射入方向的偏向角的邻角的平分线上。

其四，作以圆周上一点为圆心，以r为半径的圆。如图6所示，比荷为，垂

mq直于磁场从O点射入（射出）的带电粒子做匀速圆周运动

轨迹的圆心分别是O1和O2，O1和O2均在圆心为O，半径为rmvqB的圆上。

qmO1 O v2 要领四 已知比荷为的带电粒子，在同一已知点以相同的速率v向平面上各个方向射入（射出），若已知磁感强度为B的匀强磁场垂直该平面，则这些粒子做匀速圆周运动的圆心必在以该点为圆心、半径为rmvqBv1 O 2的圆上。

图6 三、典型例题解析、点评

知识、方法和要领，都需要在解决具体问题中检验其有效性，并可深化知识的有意义建构。

例1（2007年广东高考卷第20题）图7是某装置的垂直截面图，虚线A1A2是垂直截面与磁场区边界面的交线，匀强磁场分布在A1A2的右侧区域，磁感应强度B=0.4T，方向垂直纸面向外，A1A2与垂直截面上的水平线夹角为45°。A1A2在左侧，固定的薄板和等大的挡板均水平放置，它

A2 固定挡板 45° 们与垂直截面交线分别为S1、S2，相距S2 v0 电子快门 L=0.2m。在薄板上P处开一小孔，P与A1A2L P D S1 线上点D的水平距离为L。在小孔处装一

固定薄板 L 个电子快门。起初快门开启，一旦有带正

B 电微粒通过小孔，快门立即关闭，此后每隔T=3.0×10-3s开启一次并瞬间关闭。从A1 图7

S1S2之间的某一位置水平发射一速度为v0的带正电微粒，它经过磁场区域后入射到P处小孔。通过小孔的微粒与档板发生碰撞而反弹，反弹速度大小是碰前的0.5倍。 （1）经过一次反弹直接从小孔射出的微粒，其初速度v0应为多少？ （2）求上述微粒从最初水平射入磁场到第二次离开磁场的时间。（忽略微粒所受重力影响，碰撞过程无电荷转移。已知微粒的荷质比

qm1.010C/kg3。只考虑纸面

上带电微粒的运动）

解析 如图8所示，作第一次进入磁场的路线交A1A2于点C，作第一次出磁场（第二次进入磁场）的路线交A1A2于点E，两路线相交于点F；过点C作与入射速度方向垂直的垂线，过点E作与射出的速度方向垂直的垂线（或线段CE的中垂线，或∠CFE的平分线），两线相交于点O1；所以，以O1

A2 为圆心，O1C为半径可作出粒子第一次在磁场内做45° v 0F C 匀速圆周运动的轨迹。作过点E与第二次入射速度

P D 方向垂直的垂线，以E为圆心，以O1C长度的一半为半径作圆，交垂线于点O2；所以，以O2为圆心，O2 E O1 B O2E为半径可作出粒子第二次在磁场内做匀速圆周

运动的轨迹，第二次从磁场边界Q点射出磁场。设A Q 1带正电微粒在S1S2之间任意点C以水平速度v0进入

图8 磁场，微粒受到的洛仑兹力为f，在磁场中做圆周运

动的半径为r，有：

f=qv0B，fmv0qBmv0r2，

联立解得：r，

欲使微粒能进入小孔，r的取值范围为：Lr2L， 代入数据得：80m/s欲使进入小孔的微粒与挡板一次相碰返回后能通过小孔，还必须满足条件：

Lv0L0.5v0nT 其中n=1,2,3,……

可知，只有n=2满足条件，即有：v0=100m/s。

（2）设微粒在磁场中做圆周运动的周期为T0，从水平进入磁场到第二次离开磁场的总时间为t，设t1、t4分别为带电微粒第一次、第二次在磁场中运动的时间，第一次离开磁场运动到挡板的时间为t2，碰撞后再返回磁场的时间为t3，运动轨迹如图8所示，根据图中几何关系，则有：

T02rv0，t134T0，t22Lv02，t32L0.5v0，t414T0，

tt1t2t3t42.810s。

点评 该题是根据磁场区域和带电粒子运动的部分情况，求解带电粒子运动其它情况。学生解决问题的困难在于建立粒子在串联电、磁场区域运动的时间和空间关

系。虽然已知粒子做圆周运动的射入、射出的方向或点，但需要依据要领1、要领2、要领3或要领4组合寻求轨迹圆心，作出粒子运动轨迹，找到粒子在串联电、磁场区域运动的时间和空间关系，从而获得粒子运动其它情况。

例2（据2004甘肃等省、自治区高考理综第24题改

y 编）一匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面。在xy平面上，

30° 一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，由原点O开始运动，初速为v，方向沿x正方向。后来，粒子经过y轴上P 的P，此时速度方向与y轴的夹角为30°，P到O的距离为L，如图9所示。不计重力的影响。求： L （1）磁感强度B的大小；

（2）xy平面上圆形磁场区域的最小半径R。

解析 （1）如图10所示，对粒子，轨迹圆心是偏向角O v x 邻角的平分线与过射入磁场边界点O垂直于射入速度垂线图9 /

y 的交点O，根据图中几何关系，可得轨迹半径

r=OO=

/

1330° L，

P L又 r=解得 BmvqB，

O/ θ//O O 图10

P/ 3mvqL。

（2）以O/为圆心，r为半径，作出粒子在磁场中运动轨迹，与射出速度延长线相切于P/，根据图中几何关系，可得xy平面上圆形磁场区域的最小半径

Rv x =

12OP/=

36L，

圆心为OP/的中点O//，可作出xy平面上圆形磁场区域。

点评 该题是根据带电粒子运动的部分情况，求解带电粒子运动其它情况、磁场区域和磁感强度。学生的误解主要是把P当作粒子射出磁场区域的边界点，虽然已知粒子做圆周运动的射入（出）磁场区域的边界点或方向，但需要依据要领1和要领3组合寻求轨迹圆心和轨迹半径，作出粒子运动轨迹，找到粒子射出磁场区域的边界点，从而获得磁感强度和圆形磁场区域及其最小半径。

例3在xoy平面内有许多电子（质量为m、电量为e），从坐标O不断以相同速率v0沿不同方向射入第一象限，如图11所示。现加一个垂

直于xoy平面向内、磁感强度为B的匀强磁场，要求这些y 电子穿过磁场后都能平行于x轴向x正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。

解析 对电子，做匀速圆周运动的轨迹半径为 v0 v0 rmv0eB；

O v0 图11 x 所以，从坐标O沿不同方向射入第一象限的电子做匀速圆周运动的轨迹圆心在以O为圆心，半径为r的圆在第四象限部分，如图12所示。沿x和y两个特殊方向射入的电子做匀速圆周运动的轨迹圆心分别为Ox和Oy，穿过磁场后平行于x轴向x正方向运动的轨迹分别是以Oy为圆心r为半径的第一象限的四分之一圆周和坐标O；一

般的，沿与x轴正方向夹角为α方向射入的电子做匀速圆周运动的轨迹圆心是过O点垂直于该速度的垂线与圆心轨迹的交点O/，射出点是过O/垂直于x轴的垂线与以O/为圆心r为半径的圆交点A，设A（x，y），根据图中几何关系，可得 x=rsin， y=rrcos， y 消除参数，可得平行于x轴向x正方向运动的穿过磁场后的射出点的轨迹方程

x2+（y-r）2=r2，

即以（0，r）为圆心r为半径的第一象限的四分之一圆α O α Oy 周；则符合条件磁场的最小面积是以Oy为圆心r为半径

的第一象限的四分之一圆周和以（0，r）为圆心r为半/O O x径的第一象限的四分之一圆周所围面积，可得 S2()r2(4211A（x，y） x 21)mv0eB222图12

2。

点评 该题是根据带电粒子运动的部分情况和磁场磁感强度，求解带电粒子运

动其它情况和磁场区域。学生解决问题的困难在于如何确定不同射入方向的电子的射出磁场区域的边界点。虽然已知电子做圆周运动的轨迹半径，但需要依据要领4寻求轨迹圆心的轨迹。我们从特殊到一般地作出粒子运动轨迹，找到满足题给条件的电子射出磁场区域的边界点，从而获得磁场区域的最小面积。

综观上述三个例子，层层推进，通过作图建构有意义并有效的物理图景，并在运用数学平面几何和解析几何知识过程中解决物理问题。在点评中，进一步明确思路，注意区别射入（出）点是已知还是未知，注意区别射入（出）速度方向是唯一还是多样，注意辨析射入（出）点是轨迹与磁场边界的交点即边界点还是纯粹轨迹经过点，并暗示四个作图要领及其多种组合。

（本成果为全国教育科学“十五”规划教育部重点课题《高中物理新课程改革的实验研究》（DHA050112）研究结果）

《匀强磁场中匀速圆周运动问题的数理方法》一文在《教学月刊（中学版）》2008年第1期发表，并被《中学物理教与学》2008年第5期全文转载。