一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．一只不透明的盒子中装有形状、大小相同的4只球，其中有2只白球，2只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
2．如表是“拽步舞”比赛中12个班级的得分情况，则80百分位数是（ ）
班级得分 频数 A．13.5
7 2
8 1 B．10.5
9 2
10 3
11 1 C．12
13 2
14 1 D．13 ＝
，则△ABC的
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若形状是（ ） A．等腰三角形 C．等腰直角三角形
B．直角三角形 D．等边三角形
4．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则A．
﹣
B．
﹣
C．
+
＝（ ）
D．
+
5．n是两条不相同的直线， 已知m，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中真命题有（ ）A．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β C．若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n∥β 6．已知A．
，＝（
B．若m⊥α，m⊥β，n⊂α，则n∥β D．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n
，则与的夹角为（ ）
D．
，3），在上的投影向量为B．
C．
或
7．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝120°，CA＝CB＝柱的外接球的表面积为（ ） A．8π
B．16π
C．32π
，AA1＝2，则这个直三棱
D．64π
8．祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同幂，则积不容异”．这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．如图所示，某帐篷的造型是两个全等圆柱垂直相交的公共部分的一半（这个公共
部分叫做牟合方盖）．设两个圆柱底面半径为R，牟合方盖与其内切球的体积比为4：π．则此帐篷距底面处平行于底面的截面面积为（ ）
A． B．3πR2 C． D．3R2
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．设i为虚数单位，复数z＝（a+i）（1+2i），a∈R，则下列命题正确的是（ ） A．若z为纯虚数，则a的值为2
B．若z在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是（C．实数a＝
是z＝（为z的共轭复数）的充分不必要条件
，2）
D．若|z|＝5，则实数a的值为±2
10．某单位随机抽取了100名职工组织了知识竞赛，满分为100分（80分及以上为优良），并将所得成绩分组得到了如图所示的频率分布折线图（组距为10）．从频率分布折线图中得到的这100名职工成绩的以下信息正确的是（ ）
A．成绩是49分或100分的职工人数是0 B．成绩优良的人数是35人 C．众数是75 D．平均分约为75.5分
11．已知O是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A．若
，则O是△ABC的重心
B．若向量，且，则△ABC是正三角形 的值为﹣8
C．若O是△ABC的外心，AB＝3，AC＝5，则D．若
，则S△OAB：S△OBC：S△OAC＝4：1：2
12．已知边长为a的菱形ABCD中，∠ADC＝60°，将△ADC沿AC翻折，下列说法正确的是（ ）
A．在翻折的过程中，直线AD，BC所成角的范围是（0，B．在翻折的过程中，三棱锥D﹣ABC体积最大值为
）
C．在翻折过程中，三棱锥D﹣ABC表面积最大时，其内切球表面积为
D．在翻折的过程中，点D在面ABC上的投影为D′，E为棱CD上的一个动点，ED′的最小值为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是，，．假定三人的行动相 互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为 ．14．若cos（
）＝，则sin（
）＝ ．
15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝45m，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则AB两点的距离为 m．
16．某几何体由圆锥挖去一个正三棱柱而得，且正三棱柱的上底面与圆锥内接，下底面在圆锥的底面上，已知该圆锥的底面半径R＝3，正三棱柱的底面棱长a＝
，且圆锥的侧面
展开图的圆心角为，则该几何体的体积为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知向量＝（3，1），＝（2，4）． （1）求向量与夹角； （2）若（
）⊥（
），求实数λ的值．
18．已知复数z满足|z|＝（1）求复数； （2）设向量
，z2的虚部为2，在复平面内，z所对应的点A在第一象限．
表示复数z对应的向量，（cosθ+isinθ）•z（θ＞0）的几何意义是将向量
绕原点逆时针旋转θ后得到新的向量对应的复数．利用该几何意义，若△OAB是等边三角形，求向量19．已知函数
对应的复数．
，
，再从条件①、条件②、条件③这
三个条件中选择一个作为已知，其中条件①f（x）＝h2（x）+g2（x）；条件②：f（x）＝h（x）﹣g（x）；条件③：f（x）＝h（x）•g（x）．求： （1）f（x）的单调递减区间； （2）f（x）在区间[0，
]的取值范围．
20．某校高一年级为了了解某兴趣小组近期的学习效果，随机抽取40位同学进行质量检测，每位同学随机抽取100个单选题进行作答，答对了得1分，答错或不选不得分，且每位同学检测结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）若从该兴趣小组随机抽取一位同学进行检测，试估计得分不小于70分的概率； （2）利用该频率分布直方图的组中值，估计这40同学考试成绩的方差s2；
（3）为了掌握该小组知识的薄弱点，现采用分层抽样的方法，在50到80分之间，抽取一个容量为15的样本，在这15个成绩中，随机抽取2次（每次抽取一个且不放回），求在第一次抽到成绩在70～80分的情况下，第二次成绩在60到70分之间的概率．
21．如图，在四棱锥中P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝2，BC＝4，PA＝
．
（1）求证：AB⊥PC；
（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成的角的正弦值，如果不存在，请说明理由．
22．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝6，P，Q为边BC上两点，＝
＝
＝2，∠CAQ＝
．
（1）求AQ的长；
AC于M，N两点，（2）过线段AP中点E作一条直线l，分别交边AB，设（xy≠0），求x+y的最小值．
，
参考答案
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．一只不透明的盒子中装有形状、大小相同的4只球，其中有2只白球，2只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
解：设从中随机摸出两只球，它们颜色不同为事件A， ∵基本事件总数为
＝6，
•
＝4，
事件A中包含的基本事件数为∴P（A）＝＝． 故选：B．
2．如表是“拽步舞”比赛中12个班级的得分情况，则80百分位数是（ ）
班级得分 频数 A．13.5
7 2
8 1 B．10.5
9 2
10 3
11 1 C．12
13 2
14 1 D．13
解：因为80%×12＝9.6，
12个班级的得分按照从小到大排序，可得80百分位数是13． 故选：D．
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若形状是（ ） A．等腰三角形 C．等腰直角三角形 解：因为
＝
B．直角三角形 D．等边三角形
，由正弦定理可得：
＝，
＝
，则△ABC的
整理可得：acosA＝bcosB 所以sinAcosA＝sinBcosB，
即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或者2A+2B＝π，
所以A＝B或A+B＝而当A+B＝
，
，
时则C＝
所以三角形ABC为直角三角形，
所以c•cosB＝a，这时a﹣c•cosB＝0，分母为0无意义 所以A＝B， 故选：A．
4．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则A．
﹣
B．
﹣
C．
+
＝（ ）
D．
+
解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点， ＝＝＝
﹣
＝
﹣+
）
﹣×（﹣
，
故选：A．
5．n是两条不相同的直线， 已知m，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中真命题有（ ）A．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β C．若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n∥β
B．若m⊥α，m⊥β，n⊂α，则n∥β D．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n
解：若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β或α与β相交，故A错误； 若m⊥α，m⊥β，则α∥β，又n⊂α，则n∥β，故B正确；
若α⊥β，m⊥α，则m⊂β或m∥β，又m⊥n，∴n∥β或n⊂β或n与β相交，故C错误；若α∥β，m⊥α，则m⊥β，又n∥β，∴m⊥n，故D正确． 故选：BD． 6．已知A．
，＝（
，3），在上的投影向量为B．
C．
或
，则与的夹角为（ ）
D．
解：设与的夹角为θ， 由在上的投影向量为||cosθ•
＝
，
得cosθ＝故选：D．
＝＝，∴θ＝．
7．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝120°，CA＝CB＝柱的外接球的表面积为（ ） A．8π
B．16π
C．32π
，AA1＝2，则这个直三棱
D．64π ，
，
解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝120°，CA＝CB＝所以△ABC的外接圆的半径为所以故选：B．
．
，三棱柱的外接球的半径R＝
8．祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同幂，则积不容异”．这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．如图所示，某帐篷的造型是两个全等圆柱垂直相交的公共部分的一半（这个公共部分叫做牟合方盖）．设两个圆柱底面半径为R，牟合方盖与其内切球的体积比为4：π．则此帐篷距底面处平行于底面的截面面积为（ ）
A． B．3πR2 C． D．3R2 ，
解：牟合方盖的内切球距底面处平行于底面的截面圆的半径为截面面积为
，
设帐篷距底面处平行于底面的截面面积为S2， 则由题意可得，RS2：RS1＝4：π，
即故选：D．
，解得．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．设i为虚数单位，复数z＝（a+i）（1+2i），a∈R，则下列命题正确的是（ ） A．若z为纯虚数，则a的值为2
B．若z在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是（C．实数a＝
是z＝（为z的共轭复数）的充分不必要条件
，2）
D．若|z|＝5，则实数a的值为±2
解：i为虚数单位，复数z＝（a+i）（1+2i）＝a+2ai+i﹣2＝（a﹣2）+（2a+1）i， 对于A：当z为纯虚数时，a﹣2＝0，所以a＝2，故A正确； 对于B：z在复平面内对应的点在第三象限时，故B错误；
对于C：当a＝﹣时，z＝﹣＝（为z的共轭复数），当z＝时，则a＝﹣，故实数a＝
是z＝（为z的共轭复数）成立的充分必要条件，故C错误；
，解得a＝±2，故D正确．
，故a的取值范围为a
，
对于D：当|z|＝5时，故选：AD．
10．某单位随机抽取了100名职工组织了知识竞赛，满分为100分（80分及以上为优良），并将所得成绩分组得到了如图所示的频率分布折线图（组距为10）．从频率分布折线图中得到的这100名职工成绩的以下信息正确的是（ ）
A．成绩是49分或100分的职工人数是0
B．成绩优良的人数是35人 C．众数是75 D．平均分约为75.5分
解：∵成绩49分不属于[50，100]内，
∴成绩是49分的职工人数是0，故A选项正确， 由题意可得，a＝0.1﹣（0.005+0.01+0.015+0.04）＝0.03，
∴成绩优良的人数为（0.03+0.005）×10×100＝35，故B选项正确，
由于频率分布折线图表示的是某一个范围的频率，不能判断众数是75，故C选项错误， 由图可知平均分故选：ABD．
11．已知O是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A．若B．若向量
，且
，则O是△ABC的重心
，则△ABC是正三角形 的值为﹣8
×0.1+65×0.15+75×0.4+85×0.3+95×0.05＝75.5，故D选项正确．
C．若O是△ABC的外心，AB＝3，AC＝5，则D．若
解：对于选项A，因为同理
，
，则S△OAB：S△OBC：S△OAC＝4：1：2
，所以（
）•
＝0，即
，∴
，
，则O是△ABC的垂心，故A错误；
，即
，∴
，∴
对于选项B，设AB的中点为D，∵||＝2|
|，∴O为△ABC的重心，
又∵正确；
，∴O为△ABC的外心．故△ABC的形状是等边三角形，故B
对于选项C，如图，过O作OS⊥AB，OT⊥AC垂足分别为S，T 则S，T分别是AB，AC的中点，
则＝•（）＝＝||cos∠OAB﹣||•||cos∠
OAC＝3×﹣5×＝﹣8；故C正确；
对于选项D，延长OB至B'，使OB'＝2OB；延长OC至C'，使OC'＝4OC，则
，∴O为△AB'C'的重心，
∴S△AOC′＝S△B′OC′＝S△AOB′＝S△AB′C′， ∵S△OAC＝S△AOC′＝
△AB′C′
S△AB′C′，S△OBC＝S△B′OC′＝S△AB′C′，S△OAB＝S△AOB′＝S
，
：
＝4：1：2，故D正确．
∴S△OAB：S△OBC：S△AOC＝：则故选：BCD．
12．已知边长为a的菱形ABCD中，∠ADC＝60°，将△ADC沿AC翻折，下列说法正确的是（ ）
A．在翻折的过程中，直线AD，BC所成角的范围是（0，B．在翻折的过程中，三棱锥D﹣ABC体积最大值为
）
C．在翻折过程中，三棱锥D﹣ABC表面积最大时，其内切球表面积为
D．在翻折的过程中，点D在面ABC上的投影为D′，E为棱CD上的一个动点，ED′的最小值为
解：对于A，由题意可得△ABC和△ADC为等边三角形，将△ADC沿AC翻折
取AC的中点O， 连接PO，BO，
由于四边形ABCD是菱形，则PA＝PC，PO⊥AC，DC＝5，AC＝6，OC＝3，PO＝OB＝4，PB＝4
，
∴PO2+OB2＝PB2，即PO⊥OB，
又BO∩AC＝O，BO⊂平面ABC，AC⊂平面ABC， ∴PO⊥平面ABC， 又PO⊂平面PAC， ∴平面PAC⊥平面ABC；
对于A：由题意可得△ABC和△ADC为等边三角形，
翻折后，当△ABC和△ADC重合时，直线AD，BC所成角为120°，故A错误； 对于B：当△ADC与底面垂直时，三棱锥D﹣ABC的体积最大， 此时hmax＝Vmax＝×
， a2×
＝
，故B正确；
对于C：设AC中点为O，
当平面ACD⊥平面ABC时，三棱锥D﹣ABC表面积最大， 根据三棱锥内切球公式，可得
r＝＝，
所以r＝，
）πa2，故C正确；
内切球表面积为4πr2＝（14﹣8
对于D：在翻折过程中，当D′与E重合时，最小值为0，故D错误． 故选：BC．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是，，．假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为 解：甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是，，． 假定三人的行动相互之间没有影响，
这段时间内至少有1人去北京旅游的对立事件是这段时间内没有人去北京旅游， ∴这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为： P＝1﹣（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝． 故答案为：． 14．若cos（解：∵cos（∴
＝﹣．
故答案为：
．
）＝，则sin（）＝，
＝
＝
＝
）＝
．
．
15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝45m，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则AB两点的距离为 45
m．
解：如图所示：
△BCD中，CD＝45，∠BDC＝15°，∠BCD＝∠ACB+∠DCA＝120°+15°＝135°， ∴∠CBD＝30°，由正弦定理，得△ACD中，CD＝45，∠DCA＝15°，
∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝135°+15°＝150°， ∴∠CAD＝15°，∴AD＝CD＝45，
△ABD中，由余弦定理，得AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cos∠ADB ＝452+（45＝452×5， ∴AB＝45
，即A，B两点间的距离为45
．
，
）2﹣2×45×45
×cos135°
，解得BD＝45
，
故答案为：45
16．某几何体由圆锥挖去一个正三棱柱而得，且正三棱柱的上底面与圆锥内接，下底面在圆锥的底面上，已知该圆锥的底面半径R＝3，正三棱柱的底面棱长a＝展开图的圆心角为
，则该几何体的体积为 12
．
及R＝3，得l＝5；；
，且圆锥的侧面
解：设圆锥的高为h，母线长为l．在侧面展开图中，由所以圆锥的高为
，体积为
设正三棱柱的高为d，上底面的外接圆半径为r． 在上底面中，由正弦定理有在圆锥的轴截面中，由相似比有所以正三棱柱的体积为所以该几何体的体积为故答案为：
．
．
，解得r＝1； ，代入数据得
． ；
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知向量＝（3，1），＝（2，4）． （1）求向量与夹角； （2）若（
）⊥（
），求实数λ的值．
解：（1）∵向量＝（3，1），＝（2，4）， 设向量与夹角为θ，故cosθ＝（2）∴（∴（
）⊥（）•（
）＝λ
），
+（2λ﹣1）•
﹣2
＝10λ+（2λ﹣1）•10﹣40＝0，
＝
＝
，∴θ＝
．
求得λ＝． 18．已知复数z满足|z|＝（1）求复数； （2）设向量
表示复数z对应的向量，（cosθ+isinθ）•z（θ＞0）的几何意义是将向量
，z2的虚部为2，在复平面内，z所对应的点A在第一象限．
绕原点逆时针旋转θ后得到新的向量对应的复数．利用该几何意义，若△OAB是等边三角形，求向量
对应的复数．
解：（1）设z＝a+bi，（a，b∈R）， ∴z2＝a2﹣b2+2abi，|z|＝∵∴
，z2 的虚部为2，
，可得
，
，
∵z所对应的点A在第一象限，
∴a＞0，b＞0，即a＝1，b＝1，z＝1+i， ∴
．
向量
绕旋转
，
（2）等边三角形OAB可以看作设向量∴z'＝或1+i＝
对应的复数为z'，
＝，即z'＝
i，
，
∴向量对应的复数为
，
或．
，再从条件①、条件②、条件③这
19．已知函数
三个条件中选择一个作为已知，其中条件①f（x）＝h2（x）+g2（x）；条件②：f（x）＝h（x）﹣g（x）；条件③：f（x）＝h（x）•g（x）．求： （1）f（x）的单调递减区间； （2）f（x）在区间[0，解：若选①：
f（x）＝h2（x）+g2（x）＝
＝
]的取值范围．
＝，
（1）令解得
所以f（x）的单调递减区间为（2）当故
所以f（x）在区间[0，若选②：
f（x）＝h（x）﹣g（x）＝
，
（1）令解得
x≤2kπ+
， ，
；
时，则2x∈[0，3π]，所以sin2x∈[﹣1，1]，
，
]的取值范围为
．
＝＝
，
，k∈Z，
；
，
，
所以f（x）的单调递减区间为（2）当所以
时，
故f（x）＝
所以f（x）在区间[0，若选③：
f（x）＝h（x）•g（x）＝（1）令解得
所以f（x）的单调递减区间为（2）当故f（x）＝
所以f（x）在区间[0，
∈]的取值范围为
，
．
＝
， ，
；
，
时，则2x∈[0，3π]，所以sin2x∈[﹣1，1]， ∈
]的取值范围为
，
．
20．某校高一年级为了了解某兴趣小组近期的学习效果，随机抽取40位同学进行质量检测，每位同学随机抽取100个单选题进行作答，答对了得1分，答错或不选不得分，且每位同学检测结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）若从该兴趣小组随机抽取一位同学进行检测，试估计得分不小于70分的概率； （2）利用该频率分布直方图的组中值，估计这40同学考试成绩的方差s2；
（3）为了掌握该小组知识的薄弱点，现采用分层抽样的方法，在50到80分之间，抽取一个容量为15的样本，在这15个成绩中，随机抽取2次（每次抽取一个且不放回），求在第一次抽到成绩在70～80分的情况下，第二次成绩在60到70分之间的概率．
解：（1）由频率分布直方图，可得得分不小于70分的概率为（0.045+0.02+0.005）×10＝0.7．
（2）∵40同学考试分数的平均值为55×0.1+65×0.2+75×0.45+85×0.2+95×0.05＝74，
∴s2＝（55﹣74）2×0.1+（65﹣74）2×0.2+（75﹣74）2×0.45+（85﹣74）2×0.2+（95﹣74）2×0.05＝99．
（3）由频率分布直方图，可得分数在50﹣60，60﹣70，70﹣80的概率分别为0.1，0.2，0.45，
即三者比例为，2：4：9，
∵本次抽样方式为分层抽样，且样本容量为15， ∴分数在50﹣60，60﹣70，70﹣80的个数为2，4，9， 设抽到成绩在70﹣80分的个体为a1，a2，•••，a9， 抽到成绩在60﹣70分的个体为b1，b2，•••，b9，
第一次抽到成绩在70﹣80分之间的情况下，第二次分数在60﹣70分之间有：
（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4），•••（a9，b1），（a9，b2），（a9，b3），（a9，b4）， 共4×9＝36，
总的基本事件数为15×14＝210，
∴第一次抽到成绩在70～80分的情况下，第二次成绩在60到70分之间的概率P＝
．
21．如图，在四棱锥中P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝2，BC＝4，PA＝
．
（1）求证：AB⊥PC；
（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成的角的正弦值，如果不存在，请说明理由．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是直角梯形， AD＝CD＝2，BC＝4， ∴AC＝
，AB＝
＝
，
∴△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC， ∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB， 又PA∩AC＝A，∴AB⊥平面PAC， 又PC⊂平面PAC，∴AB⊥PC．
（2）假设存在符合条件的点M，过点M作MN⊥AD于N，则MN∥PA， ∴MN⊥平面ABCD，∴MN⊥AC．
过点M作MG⊥AC于G，连接NG，则AC⊥NG， ∴∠MGN是二面角M﹣AC﹣D的平面角． 若∠MGN＝45°，则NG＝MN，又AN＝设MN＝x，则AN＝由∴MN＝
，ND＝2﹣，解得x＝
NG＝
MN， ，
，MD＝，
，即M是线段PD的中点．
∴存在点M使得二面角M﹣AC﹣D的大小为45°．
在三棱锥M﹣ABC中，VM﹣ABC＝S△ABC•MN＝××4×2×设点B到平面MAC的距离是h，则VB﹣MAC＝S△MAC•h， ∵MG＝∴×
MN＝1，∴S△MAC＝AC•MG＝××h＝
，解得h＝2．
，AN＝1，∠BAN＝135°，
，
＝
，
×1＝
，
＝
，
在△ABN中，AB＝2∴BN＝∴BM＝
∴BM与平面MAC所成角的正弦值为＝．
22．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝6，P，Q为边BC上两点，＝
＝
＝2，∠CAQ＝
．
（1）求AQ的长；
AC于M，N两点，（2）过线段AP中点E作一条直线l，分别交边AB，设（xy≠0），求x+y的最小值．
解：（1）在△ABD与△AQC中分别有正弦定理可得：
＝
两式相除可得：又因为
＝
＝
＝
，
，
＝
和
，
＝2，所以可得sin∠BAQ＝sin∠CAQ，
因为∠CAQ＝所以∠BAQ＝因为
＝
，∠BAQ∈（0，π）， 或π，
＝2，所以CP＝2BP，AB＝2AC，
，
又a＝6，在△ABC中，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccos∠BAC，可得b2＝在△ABQ和△ACQ中由余弦定理可得：
，即
，
可得AQ2＝2b2﹣8＝2×所以AQ＝（2）因为得所以
﹣＝
；
﹣8＝，
＝2，所以CP＝2BP，得＝﹣2（
+＝﹣λ
﹣， ，λ≠0，得
＝
＝
+
），
＝﹣2，
同理：设+＝
，
+
，
因为E为AP中点，所以
所以可得：，
可得：+＝1，
+
）＝++
+
≥+2，y＝
，
＝+
，
x+y＝（x+y）•（当且仅当：
＝
时取等号，即x＝
．
所以x+y的最小值
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