高一数学平面向量测试题

向量的基本概念与基本运算

1向量的概念：

① 向量：既有_____又有______的量 向量的大小即向量的_____，记作|AB|

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．

②零向量：长度为0的向量，记为______，其方向是任意的，规定：0与任意向量_____

零向量a＝0｜a｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向

量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）

③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量a0为单位向量｜a0｜＝1

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量称为平行向量记作a∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为ab

2向量加法 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”

3向量的减法 三角形法则

4实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：

（Ⅰ）aa； （Ⅱ）当0时，λa的方向与a的方向相同；当0时，λa的

方向与a的方向相反；当0时，a0，方向是任意的

5两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a

6平面向量的基本定理：如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任

一向量a，有且只有一对实数1,2使：a1e12e2，其中不共线的向量e1,e2叫做表示这

一平面内所有向量的一组基底 7、平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成axiyj，由于a与

数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标

8平面向量的坐标运算：

(1) (2) (3) (4) (5)

若ax1,y1,bx2,y2，则ab_____________ 若Ax1,y1,Bx2,y2，则AB__________________ 若a=(x,y)，则a=_______________

若ax1,y1,bx2,y2，则a//b _______________

若ax1,y1,bx2,y2，则a•b_______若ab，则_____________

9、两个向量的数量积：

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a·b= 叫做a与b的数量积（或内积） 规定0a0

若两个向量a(x1,y1),b(x2,y2)，则a·b=x1x2y1y2

10向量的投影：︱b︱cos=

ab∈R，称为向量b在a方向上的投影 |a|

11、数量积的应用：①模长公式：aaa2|a|2 12、 ②夹角公式：cosa•b|a|•|b|_________

③垂直：a⊥ba·b＝O____________

12、乘法公式成立：

ababa2b2ab； ab222a22abb2a2abb

22高一数学平面向量测试题

一、选择题（本题有10个小题，每小题5分，共50分）

1．“两个非零向量共线”是这“两个非零向量方向相同”的 （ ） A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2．已知点P分P1分P2P所成比为 （ ） 11P2所成的比为－3，那么点PA．4213 B.  C.  D.  33223．点（2，－1）按向量a平移后得（－2，1），它把点（－2，1）平移到 （ ） A．(2,－1) B. (－2,1) C. (6,－3) D. (－6,3))

4．已知a=(1,－2),b=(1,x),若a⊥b,则x等于 （ ） A．

11 B.  C. 2 D. －2 225．下列各组向量中，可以作为基底的是 （ ） A．e1(0,0),e2(2,1) B. e1(4,6),e2(6,9) C．e1(2,5),e2(6,4) D. e1(2,3),e2(,)

6．已知向量a,b的夹角为120，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b）·a= （ ） A．3 B. 9 C . 12 D. 13

12347．已知点O为三角形ABC所在平面内一点，若OAOBOC0，则点O是三角形ABC的 ( ) A．重心 B. 内心 C. 垂心 D. 外心

8．设a=(2,－3),b=(x,2x),且3a·b=4,则x等于 （ ） A．－3 B. 3 C. 11 D.

339．已知AB(6,1),BC(x,y),CD(2,3),且BC∥DA，则x+2y的值为 （ ） A．0 B. 2 C.

1 D. －2 210．已知向量a+3b,a-4b分别与7a-5b,7a-2b垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a与b的夹角为（ ） A．

2 B. C. D. 6433二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分）

1AB，则CACB_______ 212．设e1,e2是两个不共线的向量，则向量b=e1e2(R)与向量a=2e1e2共线的充要条件是

11．在三角形ABC中，点D是AB的中点，且满足CD_______________

13．圆心为O，半径为4的圆上两弦AB与CD垂直相交于点P，若以PO为方向的单位向量为b，且|PO|=2，则PAPBPCPD=_______________

14．已知O为原点，有点A（d,0）、B（0，d），其中d>0，点P在线段AB上，且APtAB（0≤t≤1），则OAOP的最大值为______________

三、解答题

15．（12分）设a,b是不共线的两个向量,已知AB2akb,BCab,CDa2b,若A、B、C三点共线,求k的值.

16．（12分）设向量a，b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=3，求|3a+b|的值

17．（14分）已知|a|=2，|b|=3，a与b夹角为45，求使向量a+b 与a+b的夹角是锐角时，的取

值范围

18．（14分）已知向量a=(sin,cos)（R）,b=(3,3)

（1）当为何值时，向量a、b不能作为平面向量的一组基底（2）求|a－b|的取值范围

19．（14分）已知向量a、b是两个非零向量，当a+tb(t∈R)的模取最小值时， （1）求t的值（2）已知a、b共线同向时，求证b与a+tb垂直

20．（14分）已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系用vf(u)表示 （1）证明：对于任意向量a,b及常数m,n恒有f(manb)mf(a)nf(b)成立 （2）设a=(1,1),b=(1,0)求向量f(a)及f(b)的坐标 （3）求使f(c)(p,q)(p,q为常数)的向量c的坐标

高一数学平面向量测试题参考答案

1．选（B） 2．选（B） 3．选（D） 4．选（A） 5．选（C） 6．选（D） 7．选（A） 8．选（C） 9．选（A） 10．选（B） 11．答案：0 12．答案：13．答案：4b 14．答案：d

15．【解】由A、B、C三点共线，存在实数，使得ABBD

∵ BCab,CDa2b ∴ BDBCCD2ab 故2a+kb=(2ab) 又a,b不共线 ∴ =1，k=－1

16．【解】由|a|=|b|=1，|3a-2b|=3得，(3a2b)9a4b12ab9 ∴ ab2221 221 3222∴(3ab)9ab6ab12 即|3ab|23

17．【解】∵ |a|=2，|b|=3 ，a与b夹角为45

∴ ab|a||b|cos4532223 22222而（a+b）·（a+b）=aabbab23393113 要使向量a+b 与a+b的夹角是锐角，则（a+b）·（a+b）>0 即31130

2从而得

11851185或 6618．【解】（1）要使向量a、b不能作为平面向量的一组基底，则向量a、b共线 ∴ 3sin3cos0tan故k3 36(kZ)，即当k6(kZ)时，向量a、b不能作为平面向量的一组基底

（2）|ab|而23(sin3)2(cos3)2132(3sin3cos)

3sin3cos23

∴ 231|ab|231

19．【解】（1）由(atb)|b|t2abt|a| 当t22222ab|a|cos(是a与b的夹角）时a+tb(t∈R)的模取最小值

|b|2|b|2（2）当a、b共线同向时，则0，此时t|a| |b|∴b(atb)batbba|a||b||b||a||a||b|0 ∴b⊥(a+tb)

20．【解】（1）设向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2),则ma+nb=(mx1nx2,my1ny2) 由vf(u)，得

2f(manb)(my1ny2,2my12ny2mx1nx2)而

mf(a)nf(b)m(y1,2y1x1)n(y2,2y2x2)(my1ny2,2my12ny2mx1nx2)∴对于任意

向量a,b及常数m,n恒有f(manb)mf(a)nf(b)成立 （2）∵ a=(1,1),b=(1,0)，vf(u)∴ f(a)(1,1),f(b)(0,1)

（3）设c=(x,y)，由f(c)(p,q)得

ypx2pq 2yxqyp∴ c=(2pq,p)