2020-2021学年北京市各区九年级中考一模数学试卷精选汇编：压轴题专题及答案

压轴题专题 东城区

28．给出如下定义：对于⊙O的弦MN和⊙O外一点P（M，O，N三点不共线，且P，O在直线MN

的异侧），当∠MPN＋∠MON=180°时，则称点 P是线段MN关于点O 的关联点．图1是点P为线段MN关于点O的关联点的示意图.

在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.

2222（1）如图2， M，B（1，1），C2,0 2,2，N2,2.在A（1，0）

 三点中, 是线段MN关于点O的关联点的是 ；

31（2）如图3， M（0，1），N2,2，点D是线段 MN关于点O的关联点.

①∠MDN的大小为 °； ②在第一象限内有一点E

3m,m，点E是线段MN关于点O的关联点，

判断△MNE的形状，并直接写出点E的坐标；

③点F在直线y3x2上，当∠MFN≥∠MDN时，求点F的横坐标xF的取值范围． 328. 解：（1）C； --------------2分 （2）① 60°；

② △MNE是等边三角形，点E的坐标为

31，；--------------5分

③ 直线y3，交x轴于点T23，0. x2交 y轴于点K（0，2）

3∴OK2，OT23. ∴OKT60.

作OG⊥KT于点G,连接MG. ∵M0，1， ∴OM=1. ∴M为OK中点 . ∴ MG =MK=OM=1.

∴∠MGO =∠MOG=30°，OG=3. 33∴G2，. 2∵MON120, ∴ GON90. 又OG3，ON1， ∴OGN30. ∴MGN60.

∴G是线段MN关于点O的关联点.

经验证，点E31，在直线y3x2上. 3结合图象可知， 当点F在线段GE上时 ，符合题意. ∵xG≤xF≤xE， ∴

3≤xF≤3.--------------8分 2西城区

28．对于平面内的⊙C和⊙C外一点Q，给出如下定义：若过点Q的直线与⊙C存在公共点，记为点A，B，设kAQBQ，则称点A（或点B）是⊙C的“k相关依附点”，特别地，当点ACQ2AQ2BQ（或）． CQCQ和点B重合时，规定AQBQ，k已知在平面直角坐标系xOy中，Q(1,0)，C(1,0)，⊙C的半径为r． （1）如图，当r2时，

①若A1(0,1)是⊙C的“k相关依附点”，则k的值为__________．

②A2(12,0)是否为⊙C的“2相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）． （2）若⊙C上存在“k相关依附点”点M， ①当r1，直线QM与⊙C相切时，求k的值． ②当k3时，求r的取值范围．

（3）若存在r的值使得直线y3xb与⊙C有公共点，且公共点时⊙C的“3相关依附点”，直接写出b的取值范围．

yyA1OQCA2xOQCx

图1

【解析】（1）①2．②是．

备用图（2）①如图，当r1时，不妨设直线QM与⊙C相切的切点M在x轴上方（切点M在x轴下方时同理），

连接CM，则QMCM，

yMOQC2

x∵Q(1,0)，C(1,0)，r1， ∴CQ2，CM1， ∴MQ3，

2MQ3， CQ此时k②如图，若直线QM与⊙C不相切，设直线QM与⊙C的另一个交点为N（不妨设QNQM，点N，M在x轴下方时同理），

作CDQM于点D，则MDND，

yMDNQOC2x

∴MQNQ(MNNQ)NQ2ND2NQ2DQ， ∵CQ2， ∴kMQNQ2DQDQ，

CQCQ∴当k3时，DQ3， 此时CDCQ2DQ21， 假设⊙C经过点Q，此时r2， ∵点Q早⊙C外，

∴r的取值范围是1≤r2． （3）3b33．

海淀区

28．在平面直角坐标系xOy中，对于点P和合，使点P关于直线OT的对称点P'在的示意图．

C，给出如下定义：若C上存在一点T不与O重

C上，则称P为C的反射点．下图为C的反射点PyTCP’O （1）已知点A的坐标为(1,0)，

Px

A的半径为2，

A的反射点是____________；

①在点O(0,0)，M(1,2)，N(0,3)中，②点P在直线yx上，若P为

A的反射点，求点P的横坐标的取值范围；

（2）C的圆心在x轴上，半径为2，y轴上存在点P是标x的取值范围．

28．解（1）①

C的反射点，直接写出圆心C的横坐

A的反射点是M，N． ………………1分

②设直线yx与以原点为圆心，半径为1和3的两个圆的交点从左至右依次为D，E，F，G，过点D作DH⊥x轴于点H，如图．

可求得点D的横坐标为32． 22232，，． 222同理可求得点E，F，G的横坐标分别为点P是

A的反射点，则A上存在一点T，使点P关于直线OT的对称点P'在A上，则

OPOP'.

∵1≤OP'≤3，∴1≤OP≤3．

反之，若1使得OPOQ，故线段PQ的垂直平分线经过原点，且与≤OP≤3，A上存在点Q，相交．因此点P是

AA的反射点．

322232，或．………………4分 ≤x≤≤x≤2222∴点P的横坐标x的取值范围是（2）圆心C的横坐标x的取值范围是4≤x≤4． ………………7分

丰台区

28．对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形W1，W2给出如下定义：点P为图形W1上一点，点Q为图形W2上一点，当点M是线段PQ的中点时，称点M是图形W1，W2的“中立点”．如果点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，那么“中立点”M的坐标为x1x2y1y2,． 22已知，点A(-3，0)，B(0，4)，C(4，0)． （1）连接BC，在点D(

11，0)，E(0，1)，F(0，)中，可以成为点A和线段BC的“中立点”的是22____________；

（2）已知点G(3，0)，⊙G的半径为2．如果直线y = - x + 1上存在点K可以成为点A和⊙G的“中立点”，求点K的坐标；

（3）以点C为圆心，半径为2作圆．点N为直线y = 2x + 4上的一点，如果存在点N，使得y轴上

的一点可以成为点N与⊙C的“中立点”，直接写出点N的横坐标的取值范围．

y6543217654321O12345678123456x

28．解：（1）点A和线段BC的“中立点”的是点D，点F； ………2分

（2）点A和⊙G的“中立点”在以点O为圆心、

半径为1的圆上运动. 因为点K在直线y=- x+1上， 设点K的坐标为（x，- x+1），

则x+（- x+1）=1，解得x1=0，x2=1.

所以点K的坐标为（0，1）或（1，0）. ………5分

（3）（说明：点N与⊙C的“中立点”在以线段NC的中点P为圆心、

半径为1的圆上运动.圆P与y轴相切时，符合题意.） 所以点N的横坐标的取值范围为-6≤xN≤-2. ………8分

y y

x

x 2

2

2

石景山区

28．对于平面上两点A，B，给出如下定义：以点A或B为圆心，AB长为半径的圆称为点A，B的“确定圆”．如图为点A，B的“确定圆”的示意图． ．．．

A （1）已知点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为(3,3)， 则点A，B的“确定圆”的面积为_________；

（2）已知点A的坐标为(0,0)，若直线yxb上只存在一个点B，使得点A，B的“确定圆”的面积为9，求点B的坐标；

B

（3）已知点A在以P(m，0)为圆心，以1为半径的圆上，点B在直线y所有点A，B的“确定圆”的面积都不小于9，直接写出m的取值范围．

3x3上， 若要使328．解：（1）25； ………………… 2分 （2）∵直线yxb上只存在一个点B，使得点A,B的“确定圆”的面积 为9，

∴⊙A的半径AB3且直线yxb与⊙A相切于点B，如图， ∴ABCD，DCA45°．

BD3yl

Cl'EAB'x

①当b0时，则点B在第二象限．

过点B作BEx轴于点E，

∵在RtBEA中，BAE45°，AB3，

∴BEAE322．

（ ∴B3232，）． 22 ②当b0时，则点B'在第四象限．

' 同理可得B（322，322）．

（ 综上所述，点B的坐标为

32323232，）（，）或． 2222 ………………… 6分

（3）m≤5或m≥11． ………………… 8分

朝阳区

28. 对于平面直角坐标系xOy中的点P和线段AB，其中A(t，0)、B(t+2，0)两点，给出如下定义：

若在线段AB上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为 线段AB的伴随点． （1）当t=3时，

①在点P1（1，1），P2（0，0），P3（-2，-1）中，线段AB的伴随点是 ； ②在直线y=2x+b上存在线段AB的伴随点M、N， 且MN5，求b的取值范围；

（2）线段AB的中点关于点（2，0）的对称点是C，将射线CO以点C为中心，顺时针

旋转30°得到射线l，若射线l上存在线段AB的伴随点，直接写出t的取值范围．

28. 解：（1）①线段AB的伴随点是: P2,P3. …………………2分

②如图1，当直线y=2x+b经过点（3，1）时，b=5，此时b取得最大值.

…………………………………………4分

如图2，当直线y=2x+b经过点（1，1）时，b=3，此时b取得最小值. ……………………………………………5分

∴ b的取值范围是3≤b≤5. ……………………………………6分

（2）t的取值范围是图1

图2

1t2.…………………………………………8分 2

燕山区

28．在Rt△ABC中, ∠ACB=90°,CD是AB边的中线，DE⊥BC于E, 连结CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）． （1）如果∠A=30°

①如图1，∠DCB= °

②如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF,连结BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；

( 2 )如图3，若点P在线段CB 的延长线上，且∠A= （0°<<90°） ，连结DP, 将线段DP绕点逆时针旋转 2得到线段DF,连结BF, 请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）．

28.解：(1) ①∠

DCB=60°…………………………………1′

②补全图形

CP=BF …………………………………3′

△ DCP≌△ DBF …………………………………6′

（2）BF-BP=2DEtan…………………………………8′

门头沟区

28. 在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为(x1,y1)，点N的坐标为(x2,y2)，且x1x2，y1y2,我们规定：如果存在点P，使MNP是以线段MN为直角边的等腰直角三角形，那么称点P为点M、N的 “和谐点”.

（1）已知点A的坐标为(1,3)，

①若点B的坐标为(3,3)，在直线AB的上方，存在点A，B的“和谐点”C，直接写出点C的坐标；

②点C在直线x=5上，且点C为点A，B的“和谐点”，求直线AC的表达式.

（2）⊙O的半径为r，点D(1,4)为点E(1,2)、F(m,n)的“和谐点”，若使得△DEF与⊙O有交

点，画出示意图直接写出半径r的取值范围. ．．．．．y

备用图1 备用图2

28．（本小题满分8分） 解： (1)

C1(1,5)或C2(3,5). ……………………………………………2分

yOxOx由图可知，B(5,3) ∵A(1,3) ∴AB=4

∵ABC为等腰直角三角形 ∴BC=4

∴C1(5,7)或C2(5,1)

设直线AC的表达式为ykxb(k0) 当C1(5,7)时，

kb3k1 b2 yx2 …………………………………3分 5kb7当C2(5,1)时，

kb3k1 b4 yx4 …………………………………4分 5kb1∴综上所述，直线AC的表达式是yx2或yx4 (2)当点F在点E左侧时：

大兴区

28.在平面直角坐标系xOy中，过y轴上一点A作平行于x轴的直线交某函数图象于点D，点P是

x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线交y轴于点E（E在线段OA上，E不与点O重

合），则称DPE为点D，P,E的“平横纵直角”.图1为点D，P,E的“平横纵直角”的示意图.

图1 图2

如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数图象与y轴交于点F(0,m)，与x轴分别交于点B（3，0），C（12，0）. 若过点F作平行于x轴的直线交抛物线于点N.

（1）点N的横坐标为 ；

（2）已知一直角为点N,M,K的“平横纵直角”， 若在线段OC上存在不同的两点M1、M2，使相应的点

K1、K2都与点F重合，试求m的取值范围；

（3）设抛物线的顶点为点Q，连接BQ与FN交于点H,当45∠QHN60时，求m的取值范围．

28.（1）9 ………………………………………………………………… 1分 （2）方法一:

MK⊥MN，

要使线段OC上存在不同的两点M1、M2，使相应的点K1、K2

都与点F重合，也就是使以FN为直径的圆与OC有两个交点，即rm．

9，

2rm9． 2又m0， 0m9． ………………………………………………4分 2方法二：

m0，

点K在x轴的上方．

过N作NW⊥OC于点W，设OMx，OKy， 则 CW＝OC－OW＝3，WM＝9x． 由△MOK∽△NWM， 得，

∴

yx． 9xm∴y1x29x．

mm当ym时，

m129xx， mm化为x29xm20． 当△=0，即924m20， 解得m9时， 2线段OC上有且只有一点M，使相应的点K与点F重合．

m0，

∴ 线段OC上存在不同的两点M1、M2，使相应的点K1、K2都与点F重合时，m的取值范围为0m9． ………………………………………………………………………………4分

2

（3）设抛物线的表达式为：ya(x3)(x12)(a≠0)，

又抛物线过点F（0，m），

m36a．a1m．

3611925． …………………………………5分

m(x3)(x12)m(x)2m3636216y过点Q 做QG⊥x轴与FN 交于点R

FN∥x轴

∠QRH=90°

tanBQGBG，QG25m，BG15

QG162，

又45QHN60，

30BQG45

当BQG30时，可求出m243，………………………………… 6分 524． ……………………………………7分 5当BQG45时，可求出mm的取值范围为

2424m3． …………………………………8分 55平谷区

y1y2，28. 在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为x1,y1，点N的坐标为x2,y2，且x1x2，

以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”. （1）已知点A（2,0），B（0,23），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为_______； （2）若点C（1,2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；

（3）⊙O的半径为2，点P的坐标为(3,m) .若在⊙O上存在一点Q ，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．

28．解：（1）60； ····························· 1 （2）∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形， ∴直线CD与直线y=5的夹角是45°． 过点C作CE⊥DE于E．

∴D（4,5）或2,5． ············ 3 ∴直线CD的表达式为yx1或yx3． ·· 5

（3）1m5或5m1． ··················· 7

怀柔区

28. P是⊙C外一点，若射线．．PC交⊙C于点A，B两点，则给出如下定义：若0＜PAPB≤3，则点P为⊙C的“特征点”． (1)当⊙O的半径为1时．

①在点P1（2,0）、P2（0,2）、P3（4，0）中，⊙O的“特征点”是 ； ②点P在直线y=x+b上，若点P为⊙O的“特征点”．求b的取值范围；

(2)⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=x+1与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上的所有点都不是⊙C的“特征点”，直接写出点C的横坐标的取值范围． ．．．

y54321–5–4–3–2–1O–1–2–3–412345x

–5

28.

(1)①P1（2,0）、P2（0,2）…………………………………………………………………2分

y43EH21D–4–3–2–1O–1–2–3–412y=x+by=x+b234x

②如图， 在y=x+b上，若存在⊙O的“特征点”点P，点O到直线y=x+b的距离m≤2. 直线y=x+b1交y轴于点E，过O作OH⊥直线y=x+b1于点H. 因为OH=2，在Rt△DOE中，可知OE=22. 可得b1=22.同理可得b2=-22.

∴b的取值范围是:22≤b≤22. …………………………………………………6分 (2)x>3或 x3. …………………………………………………………………………8分

延庆区

28．平面直角坐标系xOy中，点A(x1，y1)与B(x2，y2)，如果满足x1x20，y1y20，其中x1x2，则称点A与点B互为反等点． 已知：点C(3，4)

（1）下列各点中， 与点C互为反等点； D(3，4)，E（3，4），F（3，4）

（2）已知点G（5，4），连接线段CG，若在线段CG上存在两点P，Q互为反等点，求点P的横坐标xp的取值范围；

（3）已知⊙O的半径为r，若⊙O与（2）中线段CG的两个交点互为反等点，求r的取值范围．

y654321-6-5-4-3-2-1O-1-2-3-4-5-6123456x

28．(1)F ……1分 (2) -3≤xp≤3 且xp≠0 ……4分

(3)4 < r≤5 ……7分

顺义区

点P任意引出一条射线分别与L1、L2交于Q1、Q2，总有

PQ1是定值，我们称曲线L1与L2“曲PQ2似”，定值

PQ1为“曲似比”，点P为“曲心”． PQ2 例如：如图2，以点O'为圆心，半径分别为r1、r2（都是常数）的

两个同心圆C1、C2，从点O'任意引出一条射线分别与两圆交于点

O'C2C1MNO'Mr1是定值，所以同心圆C1与C2曲似，曲M、N，因为总有

O'Nr2似比为

图2r1，“曲心”为O'． r2 （1）在平面直角坐标系xOy中，直线ykx与抛物

2线yx、y12x分别交于点A、B，如图32所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；

（2）在（1）的条件下，以O为圆心，OA为半径作

圆，过点B作x轴的垂线，垂足为C，是否存在k值，使⊙O与直线BC相切？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；

（3）在（1）、（2）的条件下，若将“y121，其他条件不变，当存在x”改为“yx2”

2m⊙O与直线BC相切时，直接写出m的取值范围及k与m之间的关系式．

28．（1）是．

过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为D，C．

依题意可得A（k,k）,B（2k,2k）．……………………………………………… 2分

2

2

因此D（k,0），C（2k,0）． ∵AD⊥x轴，BC⊥x轴， ∴AD∥BC． 8OAODk1∴． OBOC2k2∴两抛物线曲似，曲似比是6B41． ………… 3分 2A2 （2）假设存在k值，使⊙O与直线BC相切． 5ODC510则OA=OC=2k， 2又∵OD=k，AD=k，并且OD+AD= OA， 42222∴k+（k）=（2k）．∴k3．（舍负） 2 222 68由对称性可取k3． 10综上，k3． ………………………… 6分 （3）m的取值范围是m＞1，

k与m之间的关系式为k=m-1 ． ……… 8分

2

2