2011 世界少年奥林匹克数学竞赛 （中国区）选拔赛全国总决赛
五年级总决赛试题
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1. 有四个相同的瓶子里分别装有不同重量的酒，每瓶与其他各瓶分别合称一次，重量分别是8，9，10，11，12，13千克。已知4只空瓶重量之和及酒的重量之和均是质数，问最重的两瓶内共有（ ）千克酒
2. 在1—100的100个数中取出两个不同数相加，使其和是3的倍数，问有（ ）种不同取法.
3. 某部84集的电视连续剧在某星期日开播，从星期一到星期五以及星期日每天都要播出1集，星期六停播，问：最后一集在星期（ ）播出
4. 如果一个101位数33„3 N 55„5，这个数能被7整除，那么N等于（ ）
30个3
50个5
5. 一个四位数的数码都是非零偶数，它又恰是某个偶数字组成的数的平方，则这个四位数是（ ）
6. 电影厅每排有19个座位，共23排，要求每一观众都仅和它邻近（即前、后、左、右）一人交换位置，问：这种交换方法是否可行：（ ）
7. 一旧钟钟面上的两针每66分钟重合一次，这只旧钟在标准时间的一天中快或慢（ ）分钟
8. 有一个两位数，将这个两位数乘以1—9中任意一个数，所得积的各位数字之和都和原来的两位数的各位数字之和相等，请找出所有的这样的两位数（ ）
9. 将长25分米，宽20分米，高15分米的长方体木块锯成完全一样的尽可能大的立方体，不能有剩余，每个立方体的体积是（ ），一共可据（ ）块。
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10. 在10×10方格纸的每个方格中任意填入1，2，3，4四个数之一，然后分别对2×2方格的四个数求和。在这些和中，至少有（ ）个相同。
11. 水果店有一批苹果，若每千克卖1.2元，就会亏40元，若每千克卖1.5元，就能赚80元，为尽快卖出，老板决定降价出售，结果赚得40元钱，每千克苹果应以（ ）元出售。
12. 在一次数学竞赛中甲答错题目总数的1，乙答对7道题，两人都对的题目是
9题目总数的，问：甲答对了 （ ）道题
6113. 甲、乙、丙、丁均买了奖券，他们中只有1个人中奖，而中奖号码的最后四位数字组成的四位数（不变顺序）恰是一个完全平方数，已知甲的奖券最后四位数是1 □□ 8，乙的奖券最后四位数是□ □4 5,丙的奖券最后四位数是3 4 □ 1，丁的奖券的最后四位数是□ □ 4 0，则中奖号码的后四位数字组成的四位数是（ ）
14. 王小明从家到学校上学。他以每分钟50米的速度走了2分钟后，发觉如果这样走下去要迟到8分钟，于是他加快速度，每分钟多走10米，结果到学校时离上课还有5分钟。王小明家离学校有（ ）米远
二、计算题（每题5分，共25分）
1. 如图，BD、CF将长方形ABCD分成4块，红色三角形（三角形EFD）面积是4平方厘米，黄色三角形（三角形CFD）面积是6平方厘米，求绿色四边形ABEF的面积是（ ）
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A 绿 B F 红 E 黄 D
C
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2. 把一个长、宽、高分别是8、7、4厘米的长方体截成两个长方体，使这两个长方体表面积之和最大是（ ）最小是（ ）
3. 规定3△2=3+33=36，2△3=2+22+222=246，1△4=1+11+111+1111=1234，那么6△7等于（ ）
4. 甲、乙两人在与铁路平行的马路上背向而行，甲骑车每小时行36千米，乙步行每小时行3.6千米，一列火车匀速向甲驶来，列车在甲旁开过用了10秒钟，而在乙旁开过用了21秒钟，问这列火车的长是（ ）米
5. 8 □ □ □ □ 2是3个相邻偶数相乘的积，求这三个偶数的积是（ ）、
三、解答题（每题8分，共56分）
1. 等边三角形ABC周长为360米，D是BC上一点，CD=30米，甲从A点出发每分钟走55米，逆时针前进，乙从D点顺时针出发，每分钟行50米。问：两个人同时出发，几分钟相遇？当乙到达A时，甲在哪条边上，离乙多远？
2. 甲、乙两人玩下面的游戏；有两堆玻璃球，一堆8个，另一堆9个，甲、乙两人轮流从中拿取，每次只能从同一堆中拿，个数（>0）不限，规定拿到最后一个球的人为输。问如果甲先拿，他有无必胜的策略？（说明理由）
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C D 乙 A 甲 B
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3. 如图，四边形ABCD的面积是3平方厘米，将BA、CB、DC、AD分别延长一倍到E, F, G, H，联结E, F, G, H,求四边形EFGH的面积
E
F
A B D H C G 4. 黑板上写着1，2，3，4，„，498，共498个数，每次任意擦去其中两个数，并写上它们的差，若干次后，黑板上只剩下一个数字0，这种情况有可能吗？为什么？
5. 如图，一个正方形木块棱长12厘米，在这个木块的六个面的中心位置各挖去一个边长为2厘米的正方体孔，直通对面，问这个立体图形的体积、表面积各是多少？
6. 南京在举办“十运会”期间，有157吨比赛器械要从奥体中心运到市郊的比赛场地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，它们的耗油量分别是10公升和5公升，用大、小卡车各几辆耗油量最少？
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7. 某水库有10个泄洪闸，若水库的水位已经超过安全线，且上游河水还在按不变的速度增加。为了防洪，需调节泄洪速度。假设每个闸门泄洪速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸30小时，水位降至安全线；若打开两个泄洪闸，10个小时水位降至安全线，现在抗洪指挥部要求在5.5个小时使水位降至安全线以下，至少要同时打开多少个闸门？.
四、趣味数学（每题8分，共24分）
1. 有10个村庄，分别用A1，A2,„，A10表示，某人从A1出发按箭头方向绕一圈最后经由A10再回到A1，有多少种不同走法？注：每点（村）至多过一次，两村之间，可走直线，也可走圆周上弧线，但都必须按箭头方向走。
A7 A6 A8 A10 A9 A1 A5 A4 A2 A3
2. 有红球3个，白球2个，黄球1个，每次可取两个异色球，把它们改为另一种颜色，问：能否经过有限次改色，最后使全部球同色?
3. 只修改21475的某一位数字，就可以使修改后的数能被225整除，怎么修改？
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一、填空题 1. 12千克 2. 1650种 3. 星期五 4. N=3 5. 4624 6. 不可行 7. 11
109121分钟
8. 18，45，90，99 9. 125立方分米；60块 10. 7（个） 11. 1.4元 12. 32道题 13. 3481 14. 4000米 二、计算题
1. 11平方厘米 2. 344（平方厘米）；288（平方厘米） 3. 7407402 4. 210米 5. 884352
三、解答题 1. 相遇时间：（360÷3×2-30）÷（55+50）=2（分钟），乙从D到A用时（360÷3×2-30）÷50=4.2（分
钟），乙到A时，甲行55×4.2=231（米），即离乙231米；甲到C距离：360÷3×2-231=9（米），在
BC边上。
2. 解：如果甲先拿，甲有必胜的策略，甲的具体做法是：从9个球的那一堆中拿1个，使两堆球数相等，
都是8个。
此后，乙从一堆中拿球，甲就从另一堆中拿，如果乙把一堆中的球全拿走，那么甲就比乙少拿一个即可（即就剩下一个球）；如果乙使得一堆球就剩下一个球，那么甲就把另一堆球都拿走；否则，当乙拿几个时，甲也拿同样多的个数。在前两种情形，因为只剩下一堆球，并且这堆中只有一个球，因此乙必输；在后一种情形两堆球的个数相同，只是必原来少了。
这样，如果每次都是后一种情形，那么甲总能使得乙面临两堆各有2个球的局面，这时，乙只有两种选择：拿2个或拿1个，然后，甲拿一个或拿2个，乙也必输 3. DC=24×
2323=16（厘米），AE=24-9=15（厘米），EF=×15=10（厘米），阴影部分长：15-9=6（厘米），
阴影部分宽：10-（16-10）=4（厘米），阴影部分面积：6×4=24（平方厘米）
4. 不可能剩下0.1+2+3+„+498=（1+498）×498÷2=124251（奇数），设擦去两个数为a，b（令a>b），擦去后写上a-b，总和减少了（a+b）-（a-b）=2b，显然2b是个偶数，每次擦去两个数后剩下数的总
和减少了一个偶数，奇-偶=奇，经若干次后黑板上剩下的是一个奇数，不可能是0. 5. 体积=12×12×12-2×2×12-2×2×5×4=1600（立方厘米）
表面积：12×12×6-2×2×6+2×5×4×6=1080（立方厘米）
6. 用大卡车运货，每吨耗油量10÷5=2（公升）；用小卡车运货，每吨耗油量5÷2=2.5（公升），因此要
使耗油量最少，应尽量安排用大卡车运输，剩下不足5吨的，在考虑用小车运输，157÷5=31„2，所以用31辆大卡车和1辆小卡车运输这批货物耗油量最少 7. 假设1个闸门1小时泄洪量为“1”份
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（1） 每分钟上游的涌入量：（1×30-1×2×10）÷（30-10）=0.5； （2） 超过安全线的原有水量：1×30-0.5×30=15
（3） 5.5小时泄洪总量：15+0.5×5.5=17.75； （4） 至少打开闸门数：17.75÷（5.5+1）≈4（个）（用进一法）
四、趣味数学
1. 解：设从A1按箭头方向走到An+1的走法数为an，n=1，2，„，9，则a9即为所求（因为A10回到A1
A5 只有一种方式），可见，a1=1，a2=2，ak+1=ak+ak-1为递推公式
8 5 3 ∴an（n=1，2，„9）依次为1，2，3，5，8，13，21，34，55，即共55种不同的走法。
A6 A4 A7 A也可以用图来表示解答过程。 13 2 A8 A2 21 134 A10 A9 A1 55 每一个村（点）旁边的数字就是到这村的不同走法个数，正好符合斐波那契数列的特点。 从A1出发走到A2点只有一种方式，A2点标有数目1，从A1到A3，一种直接沿圆弧走，另一种途径
A2走，所以共有1+1=2种方式，从A1到A4，有两种方式，一种途径A2再沿从A2到A4的直线走，另一种途径A3到A4，所以总方式数目等于A1到A2的方式数加A1到A3的方式数 也即 （A1→→A4）方式数
=（A1→→A2）方式数+（A1→→A3）方式数 =1+2 =3
其余类推
2.不能，用“○”表示一个红球，用“ⅹ”表示白球，用“√”表示一个黄球，下面的改色没有用处因为
→
三种球数目仍分别是1、2、3。如果按下列方式改色则又回到“1、2、3”的情形，可见，上述改色方式也不能使
→ →
所有球同色，如第一次先取○和√改为ⅹⅹ，最后仍回到1个○，2个√，3个ⅹⅹⅹ，也失败了 综上所述，不能使所有球同色
3.因为225=25×9，所以修改后数要能被225整除，就是既能被25整除，又能被9整除，能被25整除，末两位不必修改，只要改前三位数。2+1+4+7+5=19，19=18+1=27-8.可以有如下答案：把“1”改为“0”，或把“4”改为“3”，或把“1”改为“9”，或把“2”改
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