直线与圆知识点总结

1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，如果把x轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线l与x轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围0,。如（1）直线xcos3y20的倾斜角的范围是____（答：52；（2）过点P(3,1),Q(0,m)的直线的倾斜角的范围[,],那么m[0，]U[，)）

6633值的范围是______（答：m2或m4）

2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即k＝tan(≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的斜率为kry1y2x1x2；（3）直线的x1x2方向向量a(1,k)，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线： kABkBC。如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件（答：既不充分也不必要）；（2）实数x,y满足3x2y50 (1x3)，则小值分别为______（答：,1）

3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点(x0,y0)斜率为k，则直线方程为yy0k(xx0),它不包括垂直于x轴的直线。（2）斜截式：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线方程为ykxb,它不包括垂直于x轴的直线。（3）两点式：已知直线经过P1(x1,y1)、P2(x2,y2)两点，则直线方程为

yy1xx1，它不包括垂直y2y1x2x123y的最大值、最x于坐标轴的直线。（4）截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a,b,则直线方程为

xy（5）一般式：任何直线均1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。

ab可写成AxByC0(A,B不同时为0)的形式。如（1）经过点（2，1）且方向向量为；（2）直线v=(－1,3)的直线的点斜式方程是___________（答：y13(x2)）

；（3）(m2)x(2m1)y(3m4)0，不管m怎样变化恒过点______（答：(1,2)）

若曲线ya|x|与yxa(a0)有两个公共点，则a的取值范围是_______（答：a1） 提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点。如过点A(1,4)，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3）

4.设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b，常设其方程为ykxb；（2）知直线横截距x0，常设其方程为xmyx0(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点(x0,y0)，当斜率k存在时，常设其方程为yk(xx0)y0，当斜率k不存在时，则其方程为xx0；（4）与直线l:AxByC0平行的直线可表示为AxByC10；（5）与直线l:AxByC0垂直的直线可表示为BxAyC10.

提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。

5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：

（1）点P(x0,y0)到直线AxByC0的距离dAx0By0CAB22；

C1C2AB22（2）两平行线l1:AxByC10,l2:AxByC20间的距离为d。

6、直线l1:A1xB1yC10与直线l2:A2xB2yC20的位置关系： （1）平行A1B2A2B10（斜率）且B1C2B2C10（在y轴上截距）； （2）相交A1B2A2B10；

（3）重合A1B2A2B10且B1C2B2C10。 提醒：（1）

A1B1C1ABABC、11、111仅是两直线平行、相交、重合A2B2C2A2B2A2B2C2的充分不必要条件！为什么？（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有

可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（3）直线l1:A1xB1yC10与直线l2:A2xB2yC20垂直A1A2B1B20。如（1）设直线l1:xmy60和l2:(m2)x3y2m0，当m＝_______时l1∥l2；当m＝________时l1l2；当m_________时l1与l2相交；当m＝_________时l1与l2重合（答：－1；；；（2）已知直线l的方程为3x4y120，则与l平行，且过点（—m3且m1；3）

1，3）的直线方程是______（答：；（3）两条直线axy40与xy203x4y90）

相交于第一象限，则实数a的取值范围是____（答：1a2）；（4）设a,b,c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线sinAgxayc0与bxsinBgysinC0P2(x2,y2)的位置关系是____（答：垂直）；（5）已知点P1(x1,y1)是直线l:f(x,y)0上一点，

是直线l外一点，则方程f(x,y)f(x1,y1)f(x2,y2)＝0所表示的直线与l的关系是____（答：平行）；（6）直线l过点（１，０），且被两平行直线3xy60和3xy30所截得的线段长为9，则直线l的方程是________（答：4x3y40和x1）

7、到角和夹角公式：（1）l1到l2的角是指直线l1绕着交点按逆时针方向转到和直线l2重合所转的角，0,且tan=

2k2k1(k1k21)；（2）l1与l2的夹角是指不

1k1k212kk大于直角的角,(0,]且tan=︱21︱(k1k21)。提醒：解析几何中角的问

1k1k2题常用到角公式或向量知识求解。如已知点M是直线2xy40与x轴的交点，把直线l绕点M逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是______（答：3xy60）

8、对称（中心对称和轴对称）问题——代入法：如（1）已知点M(a,b)与点N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线xy0对称，则点Q的坐标为_______（答：(b,a)）；（2）已知直线l1与l2的夹角平分线为yx，若l1的方程为axbyc0(ab0)，那么l2的方程是___________（答：bxayc0）；（3）点Ａ（４，５）关于直线l的对称点为Ｂ(－2,7)，则l的方程是_________（答：y=3x＋3）；（4）已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线l:3x－4y+4=0反射。如果反射光

18x＋y510）线通过点Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方程是_________（答：；

（5）已知ΔABC顶点A(3，－１)，ＡＢ边上的中线所在直线的方程为6x+10y－59=0，∠B的平分线所在的方程为x－4y+10=0，求ＢＣ边所在的直线方程（答：2x9y650）；（6）直线2x―y―4=0上有一点Ｐ，它与两定点Ａ（4,－1）、Ｂ（3,4）的距离之差最大，则Ｐ的坐标是______（答：（5,6））；（7）已知Ax轴，Bl:yx，C（2，1），VABC周长的最小值为______（答：10）。提醒：在解几中遇到角平分线、

光线反射等条件常利用对称求解。

9、简单的线性规划：

（1）二元一次不等式表示的平面区域：①法一：先把二元一次不等式改写成ykxb或ykxb的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域；法二：用特殊点判断；②无等号时用虚线表示不包含直线l，有等号时用实线表示包含直线l；③设点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，若Ax1By1C与Ax2By2C同号，则P，Q在直线l的同侧，异号则在直线l的异侧。如已知点A（—2，4），B（4，2），且直线l:ykx2与线段AB恒相交，则k的取值范围是__________（答：－，－3U1，＋） （2）线性规划问题中的有关概念：

①满足关于x,y的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。

②关于变量x,y的解析式叫目标函数，关于变量x,y一次式的目标函数叫线性目标函数；

③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题； ④满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；

⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解； （3）求解线性规划问题的步骤是什么？①根据实际问题的约束条件列出不等式；②作出可行域，写出目标函数；③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解。如（1）

|1下，线性目标函数z=2x－y在线性约束条件||x取最小值的最优解是____（答：（－y|11，1））；（2）点（－２，t）在直线2x－3y+6=0的上方，则t的取值范围是_________

（答：t）；（3）不等式|x1||y1|2表示的平面区域的面积是_________（答：

xy208）；（4）如果实数x,y满足xy40，则z|x2y4|的最大值_________（答：

2xy502321）

（4）在求解线性规划问题时要注意：①将目标函数改成斜截式方程；②寻找最优解时注意作图规范。

10、圆的方程：

22⑴圆的标准方程：xaybr2。

⑵圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2＋E2－4F0)，特别提醒：只有当

D2＋E2－4F0时，方程x2y2DxEyF0才表示圆心为(DE,)，半径为221D2E24F的圆（二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件2是什么？ （AC0,且B0且D2E24AF0））；

arcos（为参数）⑶圆的参数方程：x，其中圆心为(a,b)，半径为r。圆的ybrsin参数方程的主要应用是三角换元：x2y2r2xrcos,yrsin；x2y2t

xrcos,yrsin(0rt)。

⑷Ax1,y1,Bx2,y2为直径端点的圆方程xx1xx2yy1yy20 如（1）圆C与圆(x1)2y21关于直线yx对称，则圆C的方程为____________（答：x2(y1)21）；（2）圆心在直线2xy3上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________（答：(x3)2(y3)29或(x1)2(y1)21）；（3）已知

P(1,3)是圆xrcos（为参数，02)上的点，则圆的普通方程为________，

yrsin2x2y2＝4；；P点对应的值为_______，过P点的圆的切线方程是___________（答：

322

x3y40）；（4）如果直线l将圆：x+y-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l的

斜率的取值范围是____（答：[0，2]）；（5）方程x+y－x+y+k=0表示一个圆，则实

13cos数k的取值范围为____（答：（6）；若M{(x,y)|x（为参数，k）0)}，y3sin2

2２

N(x,y)|yxb，若MN，则b的取值范围是_________（答：－3,32）

11、点与圆的位置关系：已知点Mx0,y0及圆C：（1）x-aybr2r0，点M在圆C外CMrx0ay0br2；（2）点M在圆C内 （3）点M在圆C上CMrx0a CMrx0ay0br2；

y0br2。如点P(5a+1,12a)在圆(x－１)＋y=1的内部,则a的取值范围是

２

2

22222222______（答：|a|1） 132212、直线与圆的位置关系：直线l:AxByC0和圆C：xaybr2 （1）代数方法（判断r0有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：

直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：0相交；0相离；0相切；（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d，则dr相交；dr相离；dr相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般

用几何方法较简捷。如（1）圆2x22y21与直线xsiny10(R,k，kz)2的位置关系为____（答：相离）；（2）若直线axby30与圆x2y24x10切于点

；（3）直线x2y0被曲线x2y26x2y150所P(1,2)，则ab的值____（答：2）

截得的弦长等于 （答：45）；（4）一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是 （答：4）；（5）已知M(a,b)(ab0)是圆O:x2y2r2内一点，现有以M为中点的弦所在直线m和直线l:axbyr2，则

A．m//l，且l与圆相交 B．lm，且l与圆相交 C．m//l，且l与圆相离 D．且l与圆相离（答：C）；（6）已知圆C：x2(y1)25，直线L：mxy1m0。lm，①求证：对mR，直线L与圆C总有两个不同的交点；②设L与圆C交于A、B两点，若AB17，求L的倾斜角；③求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. （答：②60o或120o ③最长：y1，最短：x1）

13、圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1,r2，则（1）当|O1O2r1r2时，两圆外离；（2）当|O1O2r1r2时，两圆外切；（3）当r1r2<|O1O2r1r2时，两圆相交；（4）当|O1O2r1r2|x2y2时，两圆内切；（5）当0|O1O2r1r2|时，两圆内含。如双曲线221的左焦点

ab为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的

两圆位置关系为 （答：内切）

14、圆的切线与弦长：

(1)切线：①过圆x2y2R2上一点P(x0,y0)圆的切线方程是：xx0yy0R2，过圆(xa)2(yb)2R2上一点P(x0,y0)圆的切线方程是：(xa)(x0a)(ya)(y0a)R2，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）；②从圆外一点

引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；③过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；③切线长：过圆x2y2DxEyF0（(xa)2(yb)2R2）外一点

22；如设AP(x0,y0)所引圆的切线的长为x0y0Dx0Ey0F（(x0a)2(y0b)2R2）为圆(x1)2y21上动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为__________

（答：(x1)2y22）；

（2）弦长问题：①圆的弦长的计算：（垂径定理）常用弦心距d，半弦长a及圆的半径r所构成的直角三角形来解：r2d2(a)2；②过两圆C1:f(x,y)0、

C2:g(x,y)0交点的圆(公共弦)系为f(x,y)g(x,y)0，当1时，方程f(x,y)g(x,y)0为两圆公共弦所在直线方程.。

121215.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!