高等数学不定积分讲义

课程安排：1学期，周学时 2 , 共 48学时. 主要内容：不定积分，定积分，微分方程 本次课题：不定积分的概念与性质 教学要求：1. 理解不定积分的概念 2. 理解不定积分的性质；3. 熟记基本积分表。 重 点：不定积分的性质和基本积分表 难 点：不定积分的概念 教学手段及教具：讲授法 讲授内容及时间分配： 1. 不定积分的概念 （25） 2. 不定积分的性质 （30） 3. 基本积分表 （30） 4. 习题 （90） 课后作业 参考资料 精选文库

不定积分的概念与性质

1、复习13个基本导数公式. 2、原函数与不定积分的概念.

（1）定义1 在区间I上，如果可导函数Fx的导函数为f(x)，即对任一xI，都有

F'xf(x)或dF(x)=f(x)dx， 那么函数Fx就称为f(x)(或fxdx)在区间I上的原函数.

（2）原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I上连续, 那么在区间I上存在可导函数

Fx, 使对任一x I 都有F (x)f(x).

注： 1、如果函数f(x)在区间I上有原函数Fx, 那么f(x)就有无限多个原函数.

F(x)C都是f(x)的原函数. (其中C是任意常数)

2、f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果(x)和Fx都是f(x)的原函数,则

(x)FxC(C为某个常数).

简单地说就是,连续函数一定有原函数.

定义2 在区间I上, 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分. 记作 f(x)dx, 其中记号称为积分号, f(x)称为被积函数,

f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量.

3、例题讲解.

例1 因为sinx是cosx的原函数,所以cosxdxsinxC.

因为x是1的原函数, 所以 1dxxC.

2x2x1例2. 求函数f(x)的不定积分

x解：当x0时，(ln x)11， dxlnxC(x0).xx

111当x0时，[ln(x)](1)， dxln(x)C(x0).合并上面两式,得到

xxx-- 2

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x dxln|x|C(x0).

例3. 求x2dx.

1

x3x3x3222C. 解 由于x，所以是x的一个原函数，因此xdx333'4、变式练习

5、积分曲线 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线,从不定积分的定义,即可知下述关系

d[f(x)dx]f(x)dx' 或 d[f(x)dx]f(x)dx.

又由于F(x)是Fx的原函数,所以F(x)dxF(x)C或记作dF(x)F(x)C.

6、基本积分表（略）.

例4. 13dxx3dx1x31C12C.

312xx x例5. 2

xdx5x2dx517122xCx2C2x3xC. 517727、不定积分的性质.

性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和，即 [f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx.

这是因为, [f(x)dxg(x)dx][f(x)dx][g(x)dx]f(x)g(x).

性质2 求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即 kf(x)dxkf(x)dx(k是常数,k0)例6. x(x5)dx5

25(x2115x2)dx.

51 x2dx5x2dxx2dx5x2dx 22 x25x2C.

7373例7. (x1)3x33x23x1dx(x331)dx dxxx2x2x21111 xdx3dx3dx2dxx23x3ln|x|C.

x2xx8.变式练习

-- 3

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(1)

xdx2x (2)

3(x1x)dx (3)（2xx2）dx

(4)

3x43x21x2dx (6)dx x(x3)dx (5)x211x232x134)dx (9)xxxdx -+3-4）dx (8)(2(7)（2xxx(10)1x2(1x2)dx (13)

cot2xdx

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1x1x2 e2x1(11)ex1dx

(12)3xexdx

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第 5 次课 2 学时

课程安排：1学期，周学时 2 , 共 48学时. 主要内容：不定积分，定积分，微分方程 本次课题：第一类换元积分法 教学要求：1. 掌握第一类换元积分法 重 点：第一类换元积分法 难 点：凑微分 教学手段及教具：讲授法 讲授内容及时间分配： 1. 第一类换元积分法理论 （25） 2. 练习 （65） 课后作业 参考资料

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第一类换元积分法

1、回顾旧知

（1）复习13个常见积分公式

（2）思考：cos2xdxsin2xC对吗？

2、第一类换元法.

设f(u)有原函数F(u)u(x) 且(x)可微 那么 根据复合函数微分法 有

dF[(x)]dF(u)F'(u)duF'[(x)]d(x)F'[(x)]'(x)dx 

即

f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)[f(u)du]u(x)[F(u)C]u(x)F[(x)]C

定理1 设f(u)具有原函数 u(x)可导 则有换元公式

f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)f(u)duF(u)CF[(x)]C 

3、讲授例题.

例1 cos2xdx12cos2x(2x)dx12cos2xd(2x) 令u2x1112cosudu2sinuC2sin2xC 例2 132xdx12132x(32x)dx12132xd(32x)

令u32x1112udu2ln|u|C12ln|32x|C 例3 tanxdxsinxcosxdx1cosxdcosx= ln|cosx|C 例4求sec6xdx.

解 sec6xdx(tan2x1)2sec2xdx

(tan4x2tan2x1)dtanx

15tan5x23tan3xtanxC 4、变式练习.

１）(32x)3dx ２）

dx323x

--  6

３）

sinttdt ４）dxxlnxln(lnx)

５）

dxcosxsinx ６）dxexex

3７）xcos(x2)dx ８）3x1x4dx

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第 6 次课 2 学时

课程安排：1学期，周学时 2 , 共 48学时. 主要内容：不定积分，定积分，微分方程 本次课题：第一类换元积分法 教学要求：1. 掌握第一类换元积分法 重 点：第一类换元积分法 难 点：凑微分 教学手段及教具：讲授法 讲授内容及时间分配： 1. 练习 （90） 课后作业 参考资料

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第一类换元积分法

1、复习旧知.

（1）13个常见的积分公式. （2）第一类换元积分法.

2、例题讲解（较难的积分）.

例1. sin3xdxsin2xsinxdx(1cos2x)dcosx

dcosxcos2xdcosxcosx1cos3xC

3例2. cos2xdx1cos2xdx1(dxcos2xdx)1dx1cos2xd2x1x1sin2xC

222424dxdtanx122ln|tanx|C 例3. cscxdx1dxdxsinx2tanxcos2xtanx2sinxcosx22222ln |csc x cot x |C 

即 cscxdxln |csc x cot x |C 

例4. secxdxcsc(x)dxln|csc(x )cot(x )|C ln |sec x  tan x |  C

222即 secxdxln |sec x  tan x |  C

3、变式练习.

1）

1xsinx 2）dx94x2dx cos3x3）

dx3 4）cos2x21xdx

5)sin2xcos3xdx 6)tan3xsecxdx

x31dx7)  8)dx 2229x3cosx4sinx9)

102arccosx1x2dx 10)arctanxx(1x)dx

4、小结

（1）分项积分：利用积化和差; 分式分项;1sinxcosx等；

22(1cos2x);sinx1（2）降低幂次：利用倍角公式 , 如cosx122(1cos2x).

22（3）统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法.

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（4）巧妙换元或配元

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第 7 次课 2 学时

课程安排：1学期，周学时 2 , 共 48学时. 主要内容：不定积分，定积分，微分方程 本次课题：第二类换元积分法 教学要求：1. 理解第二类换元积分法 重 点：第二类换元积分法 难 点：第二类换元积分法 教学手段及教具：讲授法 讲授内容及时间分配： 1. 第二类换元积分法理论 （25） 2. 练习 （65） 课后作业 参考资料

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第二类换元积分法

1、复习第一类换元积分法. 2、第二类换元法.

（1）定理1 设xt是单调的、可导的函数 并且t0 又设f [t]t具有原函数Ft 则有换元公式f(x)dxf[(t)](t)dtF(t)F[1(x)]C 其中

t1x是

x

t的反函数 这是{F[1(x)]}F(t)dtdxf[(t)](t)1dxf[(t)]f(x)

dt3、例题讲解.

例1. 求a2x2dx(a>0)

解: 设xasinx， 2t 2 那么a2x2a2a2sin2tacost

dxacostdt 于是a2x2dxacostacostdta2cos2tdta2(12t14sin2t)C

因为tarcsinxa, sin2t2sintcost2x22aaxa 所以

a2x2dxa2(1t1sin2t)Ca2arcsinx1xa2242a2x2C.

例2 求

dx4x29.

解 原式1d(2x)12(2x)2322ln2x4x29C. 例3 求

dx.

1ex解 为了消去根号，设1ext，则xln(t21),dx2tt21dt.所以 dx1ex2tt(t21)dt21t21dt11t1t1dt lnt1t1Cln1ex11ex1C.

4、变式练习.

-- 为

12

因精选文库

１）

x11x2dx ２）sinxdx

３）

x24x2dx ４）dx,(a0)

22xax５）

dx ６）

dx

(x21)3７）dx x1x2

--

12xdx11x2

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８）

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第 8 次课 2 学时

课程安排：1学期，周学时 2 , 共 48学时. 主要内容：不定积分，定积分，微分方程 本次课题：分部积分法1 教学要求：1. 掌握分部积分法 重 点：分部积分法 难 点：分部积分法 教学手段及教具：讲授法 讲授内容及时间分配： 1. 分部积分法理论 （25） 2. 练习 （65） 课后作业 参考资料

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分部积分法

1、提出问题：求解xexdx（让学生试着求解）. 2、分部积分公式.

设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数.那么,两个函数乘积的导数公式为 (uv)uvuv,移项得 uv(uv)uv.

对这个等式两边求不定积分 得uvdxuvuvdx

或udvuvvdu

这个公式称为分部积分公式 思路分析：严格按照“‘反、对、幂、三、指’顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。”的原则进行分部积分的练习。

3、例题讲解.

例1 求xexdx.

解 设ux,dvedx,那么dudx,ve.于是

xxxxxxxedxxdexeedxxeeC. xx例2 求 xlnxdx.

11,vx2. x21211212原式xlnxxdxxlnxxC.

2224'解 令ulnx,vx,则u'例3 求exsinxdx.

解 设usinx,ve.ucosx,ve.则原式exsinxexcosxdx.

xx再令ucosx,ve.则usinx,ve. 故原式exsinxexcosxexsinxdx.

xxx故exsinxdx1. 2e(sinxcosx)C说明: 也可设ue,v为为三角函数 , 但两次所设类型必须一致 . 注：(1)

xf(x)dx凑微分udv公式uvvduuvvu'dx.

(2)vudx应较

'f(x)dx易积分.

(3)熟悉了分部积分的步骤后，可以不明确写出u,dv，而是直接用公式来做.

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例5 求xcosxdx.

解 cosxdxxdsinxxsinxsinxdxxsinxcosxC. 例6 求x2exdx.

解 x2exdxx2dexx2exexdx2x2ex2xexdxx2ex2xdex

x2ex2xex2exdxx2ex2xex2exC

exx22x2C.

4、变式练习.

１）xsinxdx ２）arcsinxdx ３）x2lnxdx ４）e2xsinx2dx

５）x2arctanxdx ６）x2cosxdx

７）ln2xdx ８）

x2cos2x2dx

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第 9 次课 2 学时

课程安排：1学期，周学时 2 , 共 48学时. 主要内容：不定积分，定积分，微分方程 本次课题：分部积分法 教学要求：1. 会应用分部积分法求积分 重 点：分部积分法 难 点：分部积分法 教学手段及教具：讲授法 讲授内容及时间分配： 1. 习题 （90） 课后作业 参考资料

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分部积分法

1、复习分部积分法. 2、例题讲解.

例1 求exsinxdx

解 因为exsinxdxsinxdexexsinxexdsinx exsinxexcosxdxexsinxcosxdex exsinxexcosxexdcosxexsinxexcosxexdcosx exsinxexcosxexsinxdx 所以exsinxdx1ex(sinxcosx)C

2 例2 求sec3xdx

解 因为sec3xdxsecxsec2xdxsecxdtanxsecxtanxsecxtan2xdx secxtanxsecx(sec2x1)dxsecxtanxsec3xdxsecxdx secxtanxln|secxtanx|sec3xdx 所以 sec3xdx1(secxtanxln|secxtanx|)C

2 例3 arccosxdxxarccosxxdarccosxxarccosxx11dx 1x2 xarccosx1(1x2)2d(1x2)xarccosx1x2C

2

解题技巧：选取u及v的一般方法：

把被积函数视为两个函数之积，按“反对幂三指”的顺序，前者为u后者为v.

111dx1x2arctanx1(11)dx 例4 xarctanxdx1arctanxdx2x2arctanxx2

22221x221x2 1x2arctanx1x1arctanxC

222例5 求In 解 I1dx 其中n为正整数

(xa2)n22dx1arctanxC axa2a 当n1时，用分部积分法 有

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dxxx2dxx1a2]dx 2(n1)2(n1)[22n122n122n22n122n22n1(xa)(xa)(xa)(xa)(xa)(xa)即 Ixn1(x2a2)n12(n1)(I2n1aIn) 于是

I1n2a2(n1)[x(x2a2)n1(2n3)In1] 以此作为递推公式 并由I1x1aarctanaC即可得In 例6 求exdx

解 令x t 2

 则  dx2tdt 于

exdx2tetdt2et(t1)C2ex(x1)C exdxexd(x)22xexdx2xdex2xex2exdx

2xex2exC2ex(x1)C 例7

x2a2dx(a0).

解 设ux2a2,v1,则uxx2a2,vx.

x2a2dxxx2a2x2x2a2dx

xx2a2(x2a2)a2x2a2dx

xx2a2x2a2dxa2dxx2a2.

所以原式122a22xxa2ln(xx2a2)C. 注：（第一换元法与分部积分法的比较）共同点是第一步都是凑微分

f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)令(x)uf(u)du u(x)v(x)dxu(x)dv(x) u(x)v(x)v(x)du(x)

3、变式练习.

１）

xexex1dxdxarctanex 2)sin(2x)2sinx ３）e2xdx x5x5xsinx ４）

4x31dxdxcosxdx ５）x81 ６）sinxcosx

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