云南师大附中2021届高考数学适应性月考试题（一）理（含解析）

理科数学

【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和大体技术为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的大体能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重骨干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、复数、向量、三视图、导数、简单的线性计划、直线与圆、圆锥曲线、立体几何、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、命题、程序框图、排列组合、概率与随机变量散布列与期望、不等式选讲、几何证明选讲、参数方程极坐标等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.

选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的) 【题文】一、已知全集U和集合A如图1所示，那么

CUAB=

A.{3} B.{5,6} C.{3,5,6} D.{0,4,5,6,7,8} 【知识点】集合及其运算A1 【答案解析】B解析：由图易知(UA)B{5,6}.那么选B.

【思路点拨】此题要紧考查的是利用韦恩图表示集合之间的关系，明白得集合的补集与交集的含义是解题的关键. 【题文】二、设复数

z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称，

z11i，那么

z1z2=

A.－2i B.2i C.－2 D.2 【知识点】复数的概念与运算L4

【答案解析】A解析：z11i在复平面内的对应点为(1,1)，它关于原点对称的点为(1,1)，故z21i，

2因此z1z2(1i)2i.那么选A.

【思路点拨】通过复数的几何意义先得出【题文】3、已知向量

z2，再利用复数的代数运算法那么进行计算.

a,b 知足ab6，a•b1，那么ab=

A.6 B.22 C.10 D.10 【知识点】向量的数量积及其应用F3 【答案解析】C解析：由已知得

ab(ab)2a2b22aba2b226222，即ab8 ，因此

ab(ab)2a2b22ab10ab10.，即那么选C.

2【思路点拨】碰到求向量的模时，一样利用向量的模的平方等于向量的平方转化求解.

【题文】4、曲线

yeax1x1在点(0,2)处的切线与直线y=x+3平行，那么a=

A.1 B.2 C.3 D.4 【知识点】导数的应用B12

yaeax1(x1)2，由题意得y【答案解析】B解析：

x0a11，因此a2.那么选B.

【思路点拨】明白得导数与其切线的关系是解题的关键.

【题文】五、在△ABC中，假设sinC=2sinAcosB,那么此三角形必然是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 【知识点】解三角形C8

a2c2b2c2a222ac【答案解析】C解析：由已知及正、余弦定理得，，因此ab，即ab.那么选C. 【思路点拨】判定三角形形状，能够用正弦定理及余弦定理把角的关系转化为边的关系，也可利用三角形内角和的关系进行转化求解.

,fxsin2x3sinxcosx【题文】六、函数在区间42上的最大值是 133A.1 B.2 C.2 D.13 【知识点】函数yAsin(x)的图象与性质C4

f(x)sin2x3sinxcosx1cos2x31πsin2xsin2x2226, 【答案解析】C解析：函

ππ5πππ3∵x,,∴2x,636, f(x)的最大值是2.那么选C. 42【思路点拨】一样研究三角函数的性质，通常先化成一个角的三角函数再进行解答.

【题文】7、已知实数x,y知足约束条件

x0y02xy40xy30x2y20，那么z=x+3y的取值范围是

A.[1,9] B.[2,9] C.[3,7] D.[3,9] 【知识点】简单的线性计划问题E5

【答案解析】B解析：依照线性约束条件作出可行域， 如图1所示阴影部份．

作出直线l：x3y0，将直线l向上平移至过点 M(0,3)和N(2,0)位置时，zmax0339， zmin2302.那么选B.

【思路点拨】此题先正确的作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数的几何意义进行解答.

【题文】八、如图，网格纸上小方格的边长为1(表示1cm)，图中粗线和虚线是某零件的三视图，该零件是由一个底面半径为4cm，高为3cm的圆锥毛坯切割取得，那么毛坯表面积与切削得的零件表面积的比值为

3579A.10 B.10 C.10 D.10

【知识点】三视图G2

【答案解析】D解析：圆锥毛坯的底面半径为r4cm，高为h3cm，那么母线长l5cm，因此圆锥毛坯的表

面积

S原表πrlπr36π2，切削得的零件表面积

S零件表9S原表2π2140π，因此所求比值为10．那么选D.

【思路点拨】由三视图求几何体的表面积，关键是正确的分析原几何体的特点.

2yx【题文】九、假设任取x,y∈[0,1]，那么点P(x,y)知足的概率为

2113A.3 B.3 C.2 D.4

【知识点】定积分 几何概型K3 B13

2yxP(x,y)【答案解析】A解析：该题属几何概型，由积分知识易患点知足的面积为

131222(1x)dxxx0033，因此所求的概率为3．那么选A.

1【思路点拨】当整体个数有无穷多时的概率问题为几何概型，假设事件与两个变量有关时，可归结为面积问题进行解答.

x2y221ab02ab【题文】10、已知椭圆的左核心为F，右极点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线

AB交y轴于点P，假设AP2PB，那么椭圆的离心率是

3211A.2 B.2 C.3 D.2

【知识点】椭圆的几何性质H5

1OA2OF,∴a2c,∴e．2那么选D. 【答案解析】D解析：因为AP2PB，那么

【思路点拨】求椭圆的离心率一样先结合条件寻求a,b,c关系，再结合离心率的概念解答即可.

【题文】1一、把边长为2的正三角形ABC沿BC边上的高AD折成直二面角，设折叠后BC中点为M，那么AC与DM所成角的余弦值为

3322A.3 B.4 C.2 D.3

【知识点】异面直线所成的角G11

【答案解析】B解析：成立如图2所示的空间直角坐标系Dxyz， 则A(0,0,3),B(1,0,0),C(0,1,0),

2那么AC与DM所成角的余弦值为4.因此选C. 此题也可用几何法：在△ABC中过点M作AC的平行线，再

解三角形即得．

【思路点拨】求异面直线所成角时，可先考虑用概念法作出其平面角，再利用三角形解答，假设作其平面角不方便时，可采取向量法求解.

【题文】1二、函数

fxxxxR3当

02时，fasinf1a0恒成立，那么实数a的取

值范围是

A.(﹣∞，1] B.(﹣∞,1) C.(1, ＋∞) D.(1, ＋∞) 【知识点】奇函数 函数的单调性B3 B4

3(x)13x20ff(x)xx(xR)在R上单调递增，且为奇函数，因此由【答案解析】A解析：，故

f(asin)f(1a)0得f(asin)f(a1)，从而asina1，即当

0π1a2时，sin1恒成立，因此

a≤1．那么选A.

【思路点拨】此题可先利用奇函数及函数的单调性进行转化，再把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题进行解答.

二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)

【题文】13、概念一种新运算“”：Sab，其运算原理如图3的程序框图所示，那么3654=_______. 【知识点】程序框图L1

a(b1),ab,Sb(a1),a≤b. 从而得36546(31)5(41)3．【答案解析】﹣3解析：由框图可知

【思路点拨】读懂程序框图，明白得所概念的新运算，即可解答. 【题文】14、等比数列

an的前n项和为Sn，且4a1,2a2,a3成等差数列，假设a11，那么S4=_____.

【知识点】等比数列与等差数列D2 D3 【

答

案

解

析

】

15

解

析

：

∵4a1,2a2,a3成等差数列,

∴4a1a34a2,即4a1a1q24a1q,∴q24q40,∴q2,S415．

【思路点拨】碰到等差数列与等比数列，假设无性质特点，那么用其公式转化为首项与公比关系进行解答.

1sinx【题文】1五、关于sinx的二项式

52，当x∈[0, π]时，x=___________.

【知识点】二项式定理J3

n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为

π5π．66【答案解析】或

解析：Cn1nCn17，故n6，因此第4项的系数最大，于是

nn3C36sinx511sin3xsinx2，因此，8，即2，

又x[0,π]，因此

xπ5π．6或6

【思路点拨】一样碰到二项展开式某项或某项的系数问题，通常结合展开式的通项公式进行解答.

【题文】1六、已知函数

fxa3b2abcxxcxd32(a＜b)在R上单调递增，那么ba的最小值为______.

【知识点】导数的应用 大体不等式B12 E6

b2c≥(x)ax2bxc≥0fba04a，于是R【答案解析】3解析：由题意在上恒成立，故，b21b1baba4a4at24t4abcbbbag(t)1≥t(t1)4(t1)(t1)的最小值，aba，设a，那么问题等价于求函数

2t24t4191g(t)t166634(t1)4t14又，由此可得g(t)ming(4)3．

【思路点拨】先由函数的单调性结合导数取得abc的关系，再通过换元法转化为熟悉函数的最小值问题. 三、解答题(共70分，解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤) 【题文】17、(本小题总分值12分)

一个口袋内有5个大小相同的球，其中有3个红球和2个白球.

(1)假设有放回的从口袋中持续的取3次球(每次只取一个球)，求在3次摸球中恰好取到两次红球的概率； (2)假设不放回地从口袋中随机掏出3个球，求取到白球的个数ξ的散布列和数学期望E(ξ). 【知识点】概率 离散随机变量的散布列和数学期望K6 K7

546E()5 【答案解析】(1) 125(2)

解析：(1)设在3次有放回的摸球中恰好取到两次红球的概率为P，由题设知， 3PC523254315125．

1(2)白球的个数可取0，1，2，

212C3C3C23C11333C2P(0)3,P(1),P(2)C510C35C31055．

因此的散布列如下表：

 P E()0 1 2 110 35 310 1336012105105．

【思路点拨】求离散随机变量的散布列一样先确信随机变量的所有取值，再计算各个取值的概率，最后得散布列并计算期望.

【题文】1八、(本小题总分值12分) 如图4，在斜三棱柱

ABCA1B1C1.

；

中，点O、E别离是

A1C1,AA1的中点，

AO平面A1B1C1，已知∠BCA=90°，

AA1ACBC2(1)证明：OE∥平面(2)求直线

AB1C1A1C1与平面

AA1B1所成角的正弦值.

【知识点】直线与平面平行，线面所成的角G4 G11

217解析：方式一：（1）证明：∵点O、E别离是A1C1、AA1的中点，

【答案解析】(1) 略(2)

∴OE∥AC1，又∵OE平面AB1C1，AC1平面AB1C1， ∴OE∥平面AB1C1．

（2）解：设点C1到平面AA1B1的距离为d，∵

VAA1B1C1VC1AA1B1，

221111dACS11B1C1AO7，∴A1C13△AA1B1d．又∵在△AA1B1中，A1B1AB122, ∴S△AA1B17．∴即3221与平面AA1B1所成角的正弦值为7．

方式二：建立如图3所示的空间直角坐标系Oxyz，

13A1(0,1,0),E0,,223)， ，

则A(0,0,C1(0,1,0)，B1(2,1,0)，C(0,2,3)．

130,,22， OE（1）证明：∵AC1(0,1,3)，

1OEAC12∴，∴OE∥AC1，又∵OE平面AB1C1，AC1平面AB1C1，∴OE∥平面AB1C1． （2）解：设A1C1与平面AA1B1所成角为，∵A1C1(0,2,0)，A1B1(2,2,0)，A1A(0,1,设平面AA1B1的一个法向量为n(x,y,z)，

A1B1n0,2x2y0,3则即n1,1,3y3z0,AAn0,1，  不妨令x1，可得sincosAC11,n22732173).

∴，

21∴A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值为7．

【思路点拨】证明直线与平面平行通常利用线面平行的判定定理，求线面所成角能够先作出其平面角，再利用三角形求解，假设直接作角不方便时可考虑用向量的方式求解.

【题文】1九、设数列

an知足a10且

an11.nN*2an.

11an是等差数列，并求数列an的通项公式； (1)求证数列bn1an1n,Sn(2)设为数列

bn的前n项和，证明：Sn＜1.

【知识点】等差数列 数列求和D2 D4

1an1．n (2)略 【答案解析】(1)

an112an111an11an1111an11an11an解析：（1）解：将代入可得，即数列是公差为1的等差数

列．又

111,故n,1a11an

1an1．n 因此

bn1an1nn1nn1n1n1,（2）证明：由（Ⅰ）得

nnn1

111Snbk11kk1n1k1k1．

【思路点拨】证明数列为等差数列通常利用等差数列的概念证明，碰到与数列的和有关的不等式可先考虑可否求和再证明.

【题文】20、已知函数

fxax1lnxaR.

(1)讨论函数f(x)在概念域内的极值点的个数； (2)假设函数f(x)在x=1处取得极值，对【知识点】导数的应用B12

x0,,fxbx2恒成立，求实数b的取值范围.

【答案解析】(1) 当a≤0时，没有极值点；当a0时，有一个极值点． (2)

b≤11e2

解析：（1）

f(x)a1ax1xx，

当a≤0时，f(x)0在(0,)上恒成立，函数f(x)在(0,)上单调递减，

∴f(x)在(0,)上没有极值点；

当a0时，由f(x)0得

0x11xa，由f(x)0得a，

1110,,x上单调递增，即f(x)在a处有极小值． ∴f(x)在a上单调递减，在a∴当a≤0时，f(x)在(0,)上没有极值点；当a0时，f(x)在(0,)上有一个极值点． （2）∵函数f(x)在x1处取得极值，∴a1，

∴

f(x)≥bx211lnx1lnx≥bg(x)122xxxx，可得g(x)在(0,e]上递减，在[e,)上递增， ，令11b≤1e2，即e2．

∴

g(x)ming(e2)1【思路点拨】一样碰到不等式恒成立求参数范围问题，通常分离参数转化为函数的最值问题进行解答. 【题文】2一、如图5，已知抛物线C:

y22pxp0和圆

x4M：

2y21，过抛物线C上一点

17x,yy01作两条直线与圆M相切于A,B两点，圆心M到抛物线准线的距离为4. H00(1)求抛物线C的方程；

(2)假设直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值. 【知识点】抛物线 直线与圆锥曲线H8 H7

2yx (2) tmin11 【答案解析】(1)

解析：（1）∵点M到抛物线准线的距离为

4p171

p224，∴2，即抛物线C的方程为yx． y14x1kHAx14，∴y1，

（2）方式一：设A(x1,y1),B(x2,y2)，∵

kMA可得，直线HA的方程为(4x1)xy1y4x1150，同理，直线HB的方程为(4x2)xy2y4x2150，

2222(4x)yyy4x150(4x)yyy4x150(4y)xyy4y150，1010120202000∴，，∴直线AB的方程为

令x0，可得

t4y015(y0≥1)y0，∵t关于y0的函数在[1,)上单调递增，

∴tmin11．

2H(m,m)(m≥1)，HM2m47m216，HA2m47m215． 方式二：设点

22242(xm)(ym)m7m15，① HAH以为圆心，为半径的圆方程为22(x4)y1．② ⊙M方程为

2242①②整理得直线AB的方程为：(2xm4)(4m)(2ym)mm7m14．

当x0时，直线AB在y轴上的截距

t4m15m(m≥1)，

∵t关于m的函数在[1,)上单调递增， ∴tmin11．

【思路点拨】求抛物线的方程关键是利用圆心到其准线的距离求p，求两切点所在直线方程，可利用两圆的公共

弦所在直线方程的方式进行解答.

请考生在第2二、23、24三题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题计分，作答时请写清题号. 【题文】2二、(本小题10分)[选修4-1：几何证明选讲]

如图6，直线AB通过圆O上一点C，且OA=OB,CA=CB,圆O交直线OB于E,D. (1)求证：直线AB是圆O的切线；

(2)假设

tanCED12，圆O的半径为3，求OA的长.

【知识点】几何证明选讲N1 【答案解析】(1)略； (2)5

解析：（1）证明：如图4，连接OC，∵OAOB,CACB, ∴OCAB，∴AB是⊙O的切线. （2）解：∵ED是直径，∴ECD90，

在Rt△ECD中，∵

tanCED1CD12, ∴EC2.

∵AB是⊙O的切线， ∴BCDE， 又∵CBDEBC，∴ △BCD∽△BEC,

BDCD1∴BC=EC=2，设BDx,则BC2x，

22(2x)x(x6)， BCBDBE 又，∴

解得：x10,x22, ∵BDx0, ∴BD2， ∴OAOBBDOD235.

【思路点拨】证明直线是圆的切线，只需证明圆心到直线的距离等于圆的半径，假设直线与圆有公共点，那么公共点为切点；第二问利用三角形相似解答即可.

【题文】23、(本小题10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]

2tx32y52t2 (t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为25sin. (1)求圆C的圆心到直线l的距离；

3,5PAPB(2)设圆C与直线l交于点A,B，假设点P的坐标为，求.

【知识点】坐标系与参数方程N3 32【答案解析】(1)2(2)32 22解析：（1）由25sin，可得xy25y0，

x2(y5)25C即圆的方程为．

2t,x32y52t,2 （t为参数）可得直线l的方程为xy530． 由0553 因此，圆C的圆心到直线l的距离为2322．

22223tt522（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，

2即t32t40．

由于

(32)24420．故可设t1、t2是上述方程的两个实根，

t1t232，t1t24．又直线l过点P(3，5)， 因此故由上式及t的几何意义得|PA||PB||t1||t2|t1t232．

【思路点拨】一样由参数方程或极坐标方程研究曲线之间的位置关系不方便时，可转化为直角坐标方程进行解答；第二问可利用直线参数的几何意义进行解答. 【题文】24、(本小题10分)[选修4-5：不等式选讲] 已知一次函数f(x)=ax－2.

(1)解关于x的不等式(2)假设不等式

fx4；

fx3对任意的x∈[0,1]恒成立，求实数a的范围.

【知识点】不等式选讲N4

2xxa【答案解析】(1) 当a0时，不等式的解集为62xxaaa0当时，不等式的解集为.

6a；

(2) 1≤a≤5且a0． 解析：（1）

f(x)4ax244ax242ax6，

6a2xxa当a0时，不等式的解集为；

62xxaa当a0时，不等式的解集为.

ax≤5,f(x)≤3ax2≤33≤ax2≤31≤ax≤5ax≥1,（2）

∵x[0,1]，∴当x=0时，不等式组恒成立； 5a≤,xa≥1,x 当x0时，不等式组转化为51≥5,≤1x又∵x，因此1≤a≤5且a0．

【思路点拨】解绝对值不等式的关键是去绝对值，可利用性质、分段讨论等方式，关于不等式恒成立求参数范围问题，通常分离参数转化为函数的最值问题进行解答.