第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 在有理数−1，−2，0，2中，最小的是( )
A. −1 B. −2 C. 0 D. 2
2. 在如图所示的几何体中，俯视图和左视图相同的是( )
A.
B.
C.
D.
3. 为庆祝神舟十四号发射成功，学校开展航天知识竞赛活动．经过几轮筛选，本班决定从
甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数(单位：分)及方差(单位：分 2)如表所示：
平均数 方差 甲 96 2 乙 98 0.4 丙 95 0.4 丁 98 1.6 如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择( ) A. 甲 B. 乙
𝑘
C. 丙 D. 丁
4. 已知反比例函数𝑦=(𝑘≠0)的图象经过点(−2,4)，那么该反比例函数图象也一定经过
𝑥
点( )
A. (4,2) B. (1,8) C. (−1,8) D. (−1,−8)
−𝑥−1≤2
5. 不等式组{的解集，在数轴上表示正确的是( )
0.5𝑥−1<0.5
A. C.
B. D.
𝐴，𝐵，𝐶是⊙𝑂上的三点，6. 如图，若∠𝐶=35°，则∠𝐴𝐵𝑂的度数是( )
A. 35° B. 55° C. 60° D. 70°
7. 如图，是由12个全等的等边三角形组成的图案，假设可以随机
在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是( )
A. 4
1
B. 4
3
C. 3
2
D. 2
1
8. 我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是
原计划的1.2倍，结果提前20天完成了这项工作．设原计划每天接种𝑥万人，根据题意，所列方程正确的是( )
A.
3030
−𝑥1.2𝑥30
30
𝑥
=20 =20
B.
3030−𝑥𝑥−2030
30
𝑥
=1.2 =1.2
C. 1.2𝑥−
D. 𝑥−20−
9. 下列关于二次函数𝑦=3(𝑥+1)(2−𝑥)的图象和性质的叙述中，正确的是( )
A. 点(0,2)在函数图象上 C. 对称轴是直线𝑥=1
B. 开口方向向上
D. 与直线𝑦=3𝑥有两个交点
10. 如图，平面直角坐标系中，在直线𝑦=𝑥+1和𝑥轴之间由小到大依次画出若干个等腰直
角三角形(图中所示的阴影部分)，其中一条直角边在𝑥轴上，另一条直角边与𝑥轴垂直，则第100个等腰直角三角形的面积是( )
A. 298 B. 299 C. 2197
第II卷（非选择题）
D. 2198
二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 计算：2−2−√4=______．
12. 一副三角板如图摆放，直线𝐴𝐵//𝐶𝐷，则∠𝛼的度数是
______．
𝐸是𝐴𝐷边上一点，𝐵𝐷与𝐶𝐸13. 如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，且𝐴𝐸=2𝐷𝐸，
相交于点𝐹，若△𝐷𝐸𝐹的面积是3，则△𝐵𝐶𝐹的面积是______．
14. 在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学(两名男生，两名女生)中随机抽取
两名同学担任本周的值周长，那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是______．
15. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=90°，𝐴𝐵=𝐵𝐶=4，将△𝐴𝐵𝐶绕点𝐴逆时
针旋转60°，得到△𝐴𝐷𝐸，则点𝐷到𝐵𝐶的距离是______．
16. 快递员经常驾车往返于公司和客户之间．在快递员完成某次投递业务时，他与客户的距
离𝑠(𝑘𝑚)与行驶时间𝑡(ℎ)之间的函数关系如图所示(因其他业务，曾在途中有一次折返，且快递员始终匀速行驶)，那么快递员的行驶速度是______𝑘𝑚/ℎ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. (本小题6.0分)
先化简，再求值：18. (本小题6.0分)
当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时，直线的左右位置也发生着变化．下面是关于“一次函数图象平移的性质”的探究过程，请补充完整．
(1)如图1，将一次函数𝑦=𝑥+2的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向右平移了______个单位长度；
(2)将一次函数𝑦=−2𝑥+4的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向______(填“左”或“右”)平移了______个单位长度；
(3)综上，对于一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)的图象而言，将它向下平移𝑚(𝑚>0)个单位长度，相当于将它向______(填“左”或“右”)(𝑘>0时)或将它向______(填“左”或“右”)(𝑘<0时)平移了𝑛(𝑛>0)个单位长度，且𝑚，𝑛，𝑘满足等式．
𝑎2−6𝑎+91
÷(1−)，其中𝑎𝑎2−2𝑎𝑎−2
=4．
19. (本小题8.0分)
如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝑂是𝐵𝐶边上一点，以𝑂为圆心，𝑂𝐵为半径的圆与𝐴𝐵相交于点𝐷，连接𝐶𝐷，且𝐶𝐷=𝐴𝐶． (1)求证：𝐶𝐷是⊙𝑂的切线；
⏜的长． (2)若∠𝐴=60°，𝐴𝐶=2√3，求𝐵𝐷
20. (本小题8.0分)
某校为提高学生的综合素质，准备开设“泥塑”“绘画”“书法”“街舞”四门校本课
程，为了解学生对这四门课程的选择情况(要求每名学生只能选择其中一门课程)，学校从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你依据图中信息解答下列问题：
(1)参加此次问卷调查的学生人数是______人，在扇形统计图中，选择“泥塑”的学生所对应的扇形圆心角的度数是______； (2)通过计算将条形统计图补充完整；
(3)若该校七年级共有600名学生，请估计七年级学生中选择“书法”课程的约有多少人？
21. (本小题10.0分)
如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度𝐴𝐵，在居民楼前方有一斜坡，坡长𝐶𝐷=15𝑚，斜坡的倾斜角为𝛼，𝑐𝑜𝑠𝛼=.小文在𝐶点处测得楼𝐵，𝐶，𝐷在同一平面内)． 顶端𝐴的仰角为60°，在𝐷点处测得楼顶端𝐴的仰角为30°(点𝐴，(1)求𝐶，𝐷两点的高度差； (2)求居民楼的高度𝐴𝐵．
(结果精确到1𝑚，参考数据：√3≈1.7)
4
5
22. (本小题10.0分)
某公司引入一条新生产线生产𝐴，𝐵两种产品，其中𝐴产品每件成本为100元，销售价格为120元，𝐵产品每件成本为75元，销售价格为100元，𝐴，𝐵两种产品均能在生产当月全部售出．
(1)第一个月该公司生产的𝐴，𝐵两种产品的总成本为8250元，销售总利润为2350元，
求这个月生产𝐴，𝐵两种产品各多少件？
(2)下个月该公司计划生产𝐴，𝐵两种产品共180件，且使总利润不低于4300元，则𝐵产品至少要生产多少件？ 23. (本小题12.0分)
△𝐷𝐸𝐹绕点𝐷旋转(𝐷𝐸<𝐴𝐵)，∠𝐸𝐷𝐹=90°，𝐷𝐸=𝐷𝐹，已知，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，连接𝐴𝐸，𝐶𝐹．
(1)如图1，求证：△𝐴𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐹； (2)直线𝐴𝐸与𝐶𝐹相交于点𝐺．
①如图2，𝐵𝑀⊥𝐴𝐺于点𝑀，𝐵𝑁⊥𝐶𝐹于点𝑁，求证：四边形𝐵𝑀𝐺𝑁是正方形； ②如图3，连接𝐵𝐺，若𝐴𝐵=4，𝐷𝐸=2，直接写出在△𝐷𝐸𝐹旋转的过程中，线段𝐵𝐺长度的最小值．
24. (本小题12.0分)
𝐵(5,0)，如图，已知二次函数𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象交𝑥轴于点𝐴(−1,0)，交𝑦轴于点𝐶． (1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图1，点𝑀从点𝐵出发，以每秒√2个单位长度的速度沿线段𝐵𝐶向点𝐶运动，点𝑁从点𝑂出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段𝑂𝐵向点𝐵运动，点𝑀，𝑁同时出发．设运动时间为𝑡秒(0<𝑡<5).当𝑡为何值时，△𝐵𝑀𝑁的面积最大？最大面积是多少？ (3)已知𝑃是抛物线上一点，在直线𝐵𝐶上是否存在点𝑄，使以𝐴，𝐶，𝑃，𝑄为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点𝑄坐标；若不存在，请说明理由．
答案
1-10 BCBCA BDADC
11.【答案】−4 12.【答案】15° 13.【答案】27 14.【答案】3 15.【答案】2 16.【答案】35
17.【答案】解：原式=(𝑎−3)÷(𝑎−2−1)
𝑎(𝑎−2)𝑎−2𝑎−2
==
(𝑎−3)𝑎−3
÷
𝑎(𝑎−2)𝑎−2(𝑎−3)𝑎−2
⋅𝑎(𝑎−2)𝑎−3𝑎−3
22
2
7
2
=𝑎，
当𝑎=4时，原式=
4−3
4
=4．
1
18.【答案】1 左 1 右 左
【解析】解：(1)∵将一次函数𝑦=𝑥+2的图象向下平移1个单位长度得到𝑦=𝑥+2−1=(𝑥−1)+2，
∴相当于将它向右平移了1个单位长度， 故答案为：1；
(2)将一次函数𝑦=−2𝑥+4的图象向下平移1个单位长度得到𝑦=−2𝑥+4−1=−2(𝑥+1)+4，
∴相当于将它向左平移了1个单位长度； 故答案为：左；；
(3)综上，对于一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)的图象而言，将它向下平移𝑚(𝑚>0)个单位长度，相当于将它向右(填“左”或“右”)(𝑘>0时)或将它向左(填“左”或“右”)(𝑘<0时)平移了𝑛(𝑛>0)个单位长度，且𝑚，𝑛，𝑘满足等式𝑚=𝑛|𝑘|．
1
2
19.【答案】(1)证明：连接𝑂𝐷．
∵𝐴𝐶=𝐶𝐷， ∴∠𝐴=∠𝐴𝐷𝐶． ∵𝑂𝐵=𝑂𝐷， ∴∠𝐵=∠𝐵𝐷𝑂． ∵∠𝐴𝐶𝐵=90°， ∴∠𝐴+∠𝐵=90°． ∴∠𝐴𝐷𝐶+∠𝐵𝐷𝑂=90°．
∴∠𝑂𝐷𝐶=180°−(∠𝐴𝐷𝐶+∠𝐵𝐷𝑂)=90°． 又∵𝑂𝐷是⊙𝑂的半径， ∴𝐶𝐷是⊙𝑂的切线．
(2)解：∵𝐴𝐶=𝐶𝐷=2√3，∠𝐴=60°， ∴△𝐴𝐶𝐷是等边三角形． ∴∠𝐴𝐶𝐷=60°．
∴∠𝐷𝐶𝑂=∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐴𝐶𝐷=30°．
在𝑅𝑡△𝑂𝐶𝐷中，𝑂𝐷=𝐶𝐷𝑡𝑎𝑛∠𝐷𝐶𝑂=2√3⋅𝑡𝑎𝑛30°=2． ∵∠𝐵=90°−∠𝐴=30°，𝑂𝐵=𝑂𝐷， ∴∠𝑂𝐷𝐵=∠𝐵=30°．
∴∠𝐵𝑂𝐷=180°−(∠𝐵+∠𝐵𝐷𝑂)=120°． ⏜的长=120𝜋×2=4𝜋． ∴𝐵𝐷1803
20.【答案】50 64.8°
【解析】解：(1)参加此次问卷调查的学生人数是：7÷14%=50； 选择“泥塑”的学生所对应的扇形圆心角的度数是：360°×故答案为：50，64.8°；
(2)“绘画”的人数为：50−9−18−7=16(人)， 补全条形统计图如图所示．
9
50
=64.8°．
(3)50×600=216(名)．
答：七年级学生中选择“书法”课程的约有216人．
18
(1)根据“街舞”的人数和所占的百分比，求出调查的学生总人数；用选择“泥塑”课程的学生数除以总人数，再乘以360°即可得出选择“泥塑”的学生所对应的扇形圆心角的度数； (2)用总人数减去其它课程的人数，求出“绘画”的人数，从而补全统计图； (3)用样本估计总体即可．
21.【答案】解：(1)过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，交𝐵𝐶的延长线于点𝐸，
∵在𝑅𝑡△𝐷𝐶𝐸中，𝑐𝑜𝑠𝛼=，𝐶𝐷=15𝑚，
5∴𝐶𝐸=𝐶𝐷⋅𝑐𝑜𝑠𝛼=15×=12(𝑚)． ∴𝐷𝐸=√𝐶𝐷2−𝐶𝐸2=√152−122=9(𝑚)． 答：𝐶，𝐷两点的高度差为9𝑚． (2)过点𝐷作𝐷𝐹⊥𝐴𝐵于𝐹， 由题意可得𝐵𝐹=𝐷𝐸，𝐷𝐹=𝐵𝐸， 设𝐴𝐹=𝑥 𝑚，
在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐹中，tan∠𝐴𝐷𝐹=𝑡𝑎𝑛30°=𝐴𝐹=𝑥=√3，
𝐷𝐹𝐷𝐹3解得𝐷𝐹=√3𝑥，
在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐹+𝐹𝐵=𝐴𝐹+𝐷𝐸=(𝑥+9)𝑚，𝐵𝐶=𝐵𝐸−𝐶𝐸=𝐷𝐹−𝐶𝐸=(√3𝑥−12)𝑚， 𝑡𝑎𝑛60°=
𝐴𝐵
𝐵𝐶454
=
𝑥+9√3𝑥−1292=√3，
解得𝑥=6√3+，
∴𝐴𝐵=6√3+2+9≈24(𝑚)． 答：居民楼的高度𝐴𝐵约为24𝑚．
9
22.【答案】解：(1)设生产𝐴产品𝑥件，𝐵产品𝑦件，
100𝑥+75𝑦=8250,
根据题意，得{ (120−100)𝑥+(100−75)𝑦=2350.𝑥=30,解这个方程组，得{，
𝑦=70.所以，生产𝐴产品30件，𝐵产品70件．
(2)设𝐵产品生产𝑚件，则𝐴产品生产(180−𝑚)件，
根据题意，得(100−75)𝑚+(120−100)(180−𝑚)≥4300， 解这个不等式，得𝑚≥140． 所以，𝐵产品至少生产140件．
23.【答案】(1)证明：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，
∴𝐴𝐷=𝐷𝐶，∠𝐴𝐷𝐶=90°． ∵𝐷𝐸=𝐷𝐹，∠𝐸𝐷𝐹=90°． ∴∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐸𝐷𝐹， ∴∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐶𝐷𝐹， 在△𝐴𝐷𝐸和△𝐶𝐷𝐹中， 𝐷𝐴=𝐷𝐶
{∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐶𝐷𝐹 𝐷𝐸=𝐷𝐹
∴△𝐴𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐹(𝑆𝐴𝑆)；
(2)①证明：如图2中，设𝐴𝐺与𝐶𝐷相交于点𝑃．
∵∠𝐴𝐷𝑃=90°， ∴∠𝐷𝐴𝑃+∠𝐷𝑃𝐴=90°． ∵△𝐴𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐹， ∴∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐷𝐶𝐹． ∵∠𝐷𝑃𝐴=∠𝐺𝑃𝐶，
∴∠𝐷𝐴𝐸+∠𝐷𝑃𝐴=∠𝐺𝑃𝐶+∠𝐺𝐶𝑃=90°． ∴∠𝑃𝐺𝑁=90°， ∵𝐵𝑀⊥𝐴𝐺，𝐵𝑁⊥𝐺𝑁， ∴四边形𝐵𝑀𝐺𝑁是矩形， ∴∠𝑀𝐵𝑁=90°． ∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，
∴𝐴𝐵=𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝑀𝐵𝑁=90°．
∴∠𝐴𝐵𝑀=∠𝐶𝐵𝑁． 又∵∠𝐴𝑀𝐵=∠𝐵𝑁𝐶=90°， ∴△𝐴𝑀𝐵≌△𝐶𝑁𝐵． ∴𝑀𝐵=𝑁𝐵．
∴矩形𝐵𝑀𝐺𝑁是正方形；
②解：作𝐷𝐻⊥𝐴𝐺交𝐴𝐺于点𝐻，作𝐵𝑀⊥𝐴𝐺于点𝑀，
此时△𝐴𝑀𝐵≌△𝐴𝐻𝐷． ∴𝐵𝑀=𝐴𝐻．
∵𝐴𝐻2=𝐴𝐷2−𝐷𝐻2，𝐴𝐷=4，
∴𝐷𝐻最大时，𝐴𝐻最小，𝐷𝐻最大值=𝐷𝐸=2． ∴𝐵𝑀最小值=𝐴𝐻最小值=2√3．
由(2)①可知，△𝐵𝐺𝑀是等腰直角三角形， ∴𝐵𝐺最小值=√2𝐵𝑀=2√6．
24.【答案】解：(1)将点𝐴(−1,0)，𝐵(5,0)代入𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥+𝑐中，
0=−1−𝑏+𝑐得{， 0=−25+5𝑏+𝑐𝑏=4
解这个方程组得{，
𝑐=5
∴二次函数的表达式为𝑦=−𝑥2+4𝑥+5； (2)过点𝑀作𝑀𝐸⊥𝑥轴于点𝐸，如图：
设△𝐵𝑀𝑁面积为𝑆，
根据题意得：𝑂𝑁=𝑡，𝐵𝑀=√2𝑡． ∵𝐵(5,0)， ∴𝐵𝑁=5−𝑡，
在𝑦=−𝑥2+4𝑥+5中，令𝑥=0得𝑦=5， ∴𝐶(0,5)， ∴𝑂𝐶=𝑂𝐵=5， ∴∠𝑂𝐵𝐶=45°．
∴𝑀𝐸=𝐵𝑀𝑠𝑖𝑛45°=√2𝑡⋅2=𝑡，
∴𝑆=2𝐵𝑁⋅𝑀𝐸=2(5−𝑡)⋅𝑡=−2𝑡2+2𝑡=−2(𝑡−2)2+8， ∵0<𝑡<5，
∴当𝑡=时，△𝐵𝑀𝑁的面积最大，最大面积是；
28(3)存在点𝑄，使以𝐴，𝐶，𝑃，𝑄为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 由𝐵(5,0)，𝐶(0,5)得直线𝐵𝐶解析式为𝑦=−𝑥+5，
设𝑄(𝑚,−𝑚+5)，𝑃(𝑛,−𝑛2+4𝑛+5)，又𝐴(−1,0)，𝐶(0,5)， ①当𝑃𝑄，𝐴𝐶是对角线，则𝑃𝑄，𝐴𝐶的中点重合， ∴{
𝑚+𝑛=−1+0
，
−𝑚+5−𝑛2+4𝑛+5=0+5
5
25
1
1
1
5
1
5
25
√2解得𝑚=0(与𝐶重合，舍去)或𝑚=−7， ∴𝑄(−7,12)；
②当𝑄𝐴，𝑃𝐶为对角线，则𝑄𝐴，𝑃𝐶的中点重合， ∴{
𝑚−1=𝑛+0
，
−𝑚+5+0=−𝑛2+4𝑛+5+5
解得𝑚=0(舍去)或𝑚=7， ∴𝑄(7,−2)；
③当𝑄𝐶，𝑃𝐴为对角线，则𝑄𝐶，𝑃𝐴的中点重合， ∴{
𝑚+0=𝑛−1
，
−𝑚+5+5=−𝑛2+4𝑛+5+0
解得𝑚=1或𝑚=2， ∴𝑄(1,4)或(2,3)，
综上所述，𝑄的坐标为(−7,12)或(7,−2)或(1,4)或(2,3)．
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