初中数学三角形难题汇编

一、选择题

1．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠ADC＝∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB＝CGE．其中正确的结论是( )

1∠2

A．②③ 【答案】B 【解析】 【分析】

B．①②④ C．①③④ D．①②③④

根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案． 【详解】 ①∵EG∥BC， ∴∠CEG=∠ACB，

又∵CD是△ABC的角平分线， ∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确； ②∵∠A=90°， ∴∠ADC+∠ACD=90°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD， ∴∠ADC+∠BCD=90°． ∵EG∥BC，且CG⊥EG，

∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°， ∴∠ADC=∠GCD，故正确；

③条件不足，无法证明CA平分∠BCG，故错误； ④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，

1（∠ABC+∠ACB）=135°， 2∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，

∴∠AEB+∠ADC=90°+∴∠DFB=45°=故选B．

1∠CGE，，正确． 2【点睛】

本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理及多边形内角和，三角形外角的性质，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．

2．等腰三角形两边长分别是 5cm 和 11cm，则这个三角形的周长为（ ） A．16cm 【答案】D 【解析】 【分析】

分两种情况讨论：当5是腰时或当11是腰时，利用三角形的三边关系进行分析求解即可． 【详解】

解：当5是腰时，则5+5<11，不能组成三角形，应舍去；

当11是腰时，5+11＞11，能组成三角形，则三角形的周长是5+11×2=27cm． 故选D． 【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质, 三角形三边关系，掌握等腰三角形的性质, 三角形三边关系是解题的关键．

B．21cm 或 27cm

C．21cm

D．27cm

3．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A．2, 2,5 【答案】D 【解析】 【分析】

三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形，其实只要最小两边的和大于最大边就可判断前面的三边关系成立． 【详解】

根据三角形三边关系可知，三角形两边之和大于第三边． A、2+2=4＜5，此选项错误； B、1+3＜3，此选项错误； C、3+4＜8，此选项错误；

D、4+5=9＞6，能组成三角形，此选项正确． 故选：D． 【点睛】

此题考查三角形三边关系，解题关键在于掌握三角形两边之和大于第三边．即：两条较短的边的和小于最长的边，只要满足这一条就是满足三边关系．

B．1,3,3

C．3,4,8 D．4,5,6

4．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( )

A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm

【答案】D 【解析】 【详解】

A．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误； B．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误； C．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误； D．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确． 故选D．

5．如图，点O是ABC的内心，M、N是AC上的点，且CMCB，ANAB，若

ABC100，则MON（ ）

A．60 【答案】C 【解析】 【分析】

B．70 C．80 D．100

根据题意，连接OA，OB，OC，进而求得BOCMOC，AOBAON，即∠CBO=∠CMO，∠OBA=∠ONA，根据三角形内角和定理即可得到∠MON的度数. 【详解】

如图，连接OA，OB，OC，

∵点O是ABC的内心， ∴BCOMCO， ∵CM=CB，OC=OC， ∴BOCMOC(SAS)， ∴CBOCMO， 同理可得：AOBAON， ∴ABOANO，

∵CBACBOABO100， ∴CMOANO100，

∴MON180(CMOANO)80，

故选：C. 【点睛】

本题主要考查了三角形全等的性质及判定，三角形的内角和定理及角度的转换，熟练掌握相关辅助线的画法及三角形全等的判定是解决本题的关键.

6．下列命题是假命题的是（ ）

A．三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等

B．如果等腰三角形的两边长分别是5和6，那么这个等腰三角形的周长为16 C．将一次函数y＝3x-1的图象向上平移3个单位，所得直线不经过第四象限 D．若关于x的一元一次不等式组【答案】B 【解析】 【分析】

利用三角形外心的性质、等腰三角形的性质和三角形三边关系定理、一次函数图象的平移规律、解一元一次不等式组分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】

A. 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，正确，是真命题；

B. 如果等腰三角形的两边长分别是5和6，那么这个等腰三角形的周长为16或17，错误，是假命题；

C. 将一次函数y＝3x-1的图象向上平移3个单位，所得直线不经过第四象限，正确，是真命题；

D. 若关于x的一元一次不等式组命题； 故答案为：B 【点睛】

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形外心的性质、等腰三角形的性质和三角形三边关系定理、一次函数图象的平移规律、解一元一次不等式组．

xm0无解，则m的取值范围是m£1

2x13xm0无解，则m的取值范围是m£1，正确，是真

2x13

7．如图，在RtABC中，BCA90，CD是高，BE平分∠ABC交CD于点E，EF∥AC交AB于点F，交BC于点G．在结论：(1) EFDBCD；(2) ADCD；(3)CG=EG；(4) BFBC中，一定成立的有( )

A．1个 【答案】B 【解析】 【分析】

B．2个 C．3个 D．4个

根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CGE=∠BCA=90°，然后根据等角的余角相等即可求出∠EFD=∠BCD；只有△ABC是等腰直角三角形时AD=CD，CG=EG；利用“角角边”证明△BCE和△BFE全等，然后根据全等三角形对应边相等可得BF=BC． 【详解】

∵EF∥AC，∠BCA=90°， ∴∠CGE=∠BCA=90°， ∴∠BCD+∠CEG=90°， 又∵CD是高， ∴∠EFD+∠FED=90°，

∵∠CEG=∠FED（对顶角相等）， ∴∠EFD=∠BCD，故（1）正确；

只有∠A=45°，即△ABC是等腰直角三角形时，AD=CD，CG=EG而立，故（2）（3）不一定成立，错误； ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBC=∠EBF， 在△BCE和△BFE中，

EFD＝BCDEBC＝EBF， BE＝BE∴△BCE≌△BFE（AAS）， ∴BF=BC，故（4）正确，

综上所述，正确的有（1）（4）共2个． 故选：B． 【点睛】

本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，综合题，但难度不大，熟记性质是解题的关键．

8．如图，已知ABC，若ACBC，CDAB，12，下列结论：①AC//DE；②A3；③3EDB；④2与3互补；⑤1B，其中正确的有（ ）

A．2个 【答案】C

B．3个 C．4个 D．5个

【解析】 【分析】

根据平行线的判定得出AC∥DE，根据垂直定义得出∠ACB=∠CDB=∠CDA=90°，再根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】 ∵∠1=∠2，

∴AC∥DE，故①正确； ∵AC⊥BC，CD⊥AB， ∴∠ACB=∠CDB=90°，

∴∠A+∠B=90°，∠3+∠B=90°， ∴∠A=∠3，故②正确； ∵AC∥DE，AC⊥BC， ∴DE⊥BC，

∴∠DEC=∠CDB=90°，

∴∠3+∠2=90°（∠2和∠3互余），∠2+∠EDB=90°， ∴∠3=∠EDB，故③正确，④错误； ∵AC⊥BC，CD⊥AB， ∴∠ACB=∠CDA=90°，

∴∠A+∠B=90°，∠1+∠A=90°， ∴∠1=∠B，故⑤正确； 即正确的个数是4个， 故选：C． 【点睛】

此题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理，垂直定义，能综合运用知识点进行推理是解题的关键．

9．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为( )

A．4 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】

B．8 C．6 D．10

解：设AG与BF交点为O，∵AB=AF，AG平分∠BAD，AO=AO，∴可证△ABO≌△AFO，∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90º，AB=5，∴AO=4，∵AF∥BE，∴可证△AOF≌△EOB，

AO=EO，∴AE=2AO=8，故选B．

【点睛】

本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质．

10．如图，AB 是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8 cm，MB＝2 cm，则直径AB的长为（ ）

A．9 cm 【答案】B 【解析】 【分析】

B．10 cm C．11 cm D．12 cm

由CD⊥AB，可得DM=4．设半径OD=Rcm，则可求得OM的长，连接OD，在直角三角形DMO中，由勾股定理可求得OD的长，继而求得答案． 【详解】

解：连接OD，设⊙O半径OD为R,

∵AB 是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M ，

1CD=4cm，OM=R-2, 2在RT△OMD中，

∴DM=

OD²=DM²+OM²即R²=4²+(R-2)², 解得：R=5,

∴直径AB的长为:2×5=10cm． 故选B． 【点睛】

本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．

11．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中

AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；

1AC；③△ABD≌△CBD， 2其中正确的结论有（ ）

②AO=CO=

A．0个 【答案】D 【解析】

B．1个 C．2个 D．3个

试题解析：在△ABD与△CBD中，

ADCD{ABBC， DBDB∴△ABD≌△CBD（SSS）， 故③正确； ∴∠ADB=∠CDB， 在△AOD与△COD中，

ADCD{ADBCDB， ODOD∴△AOD≌△COD（SAS）， ∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC， ∴AC⊥DB， 故①②③正确； 故选D．

考点：全等三角形的判定与性质．

12．如图，正方体的棱长为6cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是（ ）

A．9 【答案】B 【解析】 【分析】

B．310 C．326

D．12

将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可． 【详解】

解：如图，AB=(36)232310 ．

故选：B． 【点睛】

此题求最短路径，我们将平面展开，组成一个直角三角形，利用勾股定理求出斜边就可以了．

13．如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标轴为4,1, 点D的坐标为

0,1， 则菱形ABCD的周长等于（ ）

A．5 【答案】C 【解析】 【分析】

B．43 C．45 D．20

如下图，先求得点A的坐标，然后根据点A、D的坐标刻碟AD的长，进而得出菱形ABCD的周长. 【详解】

如下图，连接AC、BD，交于点E

∵四边形ABCD是菱形，∴DB⊥AC，且DE=EB 又∵B4,1，D0,1 ∴E(2，1) ∴A(2，0) ∴AD=2001225 ∴菱形ABCD的周长为：45 故选：C 【点睛】

本题在直角坐标系中考查菱形的性质，解题关键是利用菱形的性质得出点A的坐标，从而求得菱形周长.

14．如图，在□ABCD中，延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G．下列结论中：①DE＝DF；②AG＝GF；③AF＝DF；④BG＝GC；⑤BF＝EF，其中正确的有（ ）

A．1个 【答案】B 【解析】

B．2个 C．3个 D．4个

【分析】

由AAS证明△ABF≌△DEF，得出对应边相等AF=DF，BF=EF，即可得出结论，对于①②④不一定正确． 【详解】

解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD，即AB∥CE， ∴∠ABF=∠E， ∵DE=CD， ∴AB=DE，

在△ABF和△DEF中，

ABF=E∵AFB=DFE ， AB=DE∴△ABF≌△DEF（AAS）， ∴AF=DF，BF=EF； 可得③⑤正确， 故选：B． 【点睛】

此题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．

15．如图，在△ABC中，点D为BC的中点，连接AD，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，下列说法错误的是（ ）

A．△ABD≌△ECD C．DA＝DE 【答案】D 【解析】 【分析】

B．连接BE，四边形ABEC为平行四边形 D．CE＝CD

根据平行线的性质得出∠B=∠DCE，∠BAD=∠E，然后根据AAS证得△ABD≌△ECD，得出AD=DE，根据对角线互相平分得到四边形ABEC为平行四边形，CE=AB，即可解答． 【详解】 ∵CE∥AB，

∴∠B=∠DCE，∠BAD=∠E， 在△ABD和△ECD中，

B=DCEBAD=E BD=CD∴△ABD≌△ECD（AAS）， ∴DA=DE，AB=CE， ∵AD=DE，BD=CD，

∴四边形ABEC为平行四边形， 故选：D． 【点睛】

此题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质以及平行四边形的性判定，解题的关键是证明△ABD≌△ECD．

16．在直角三角形中，自锐角顶点引的两条中线为10和35，则这个直角三角形的斜边长是( ) A．3 【答案】D 【解析】 【分析】

根据题意画出图形，利用勾股定理解答即可． 【详解】

B．23 C．25 D．6

设AC=b，BC=a，分别在直角△ACE与直角△BCD中，根据勾股定理得到：

a22b10 2 22b35,a2 两式相加得：a2b236，根据勾股定理得到斜边366. 故选:D. 【点睛】

考查勾股定理，画出图形，根据勾股定理列出方程是解题的关键.

17．如图，VABC中，ABAC5，AE平分BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则DE的长为（ ）

A．2 【答案】B 【解析】 【分析】

B．2.5 C．3

D．5 根据等腰三角形三线合一可得AE⊥BC，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求得DE的长度． 【详解】

解：∵ABAC5，AE平分BAC， ∴AE⊥BC，

又∵点D为AB的中点，

1AB=2.5， 2故选：B． 【点睛】

∴DE=本题考查等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握相关定理，并能正确识图，得出线段之间的关系是解题关键．

18．如图：ADAB，AEAC，ADAB，AEAC，连接BE与DC交于M，则：①DACBAE；②DAC≌BAE；③DCBE；正确的有（ ）个

A．0 【答案】D 【解析】 【分析】

B．1 C．2 D．3

利用垂直的定义得到DABEAC90，则ADCBAE，于是可对①进行判断；利用“SAS”可证明DACBAE，于是可对②进行判断；利用全等的性质得到

ADCABE，则根据三角形内角和和对顶角相等得到DMBDAB90，于是可对③进行判断． 【详解】

解：QADAB，AEAC， DAB90，EAC90， DABBACEACBAC， 即ADCBAE，所以①正确； 在DAC和BAE中， DAABDACBAE， ACAEDACBAE(SAS)，所以②正确；

ADCABE，

∵∠AFD=∠MFB，

DMBDAB90，

DCBE，所以③正确． 故选：D．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．

19．如图,已知AC=FE,BC=DE,点A,D,B,F在一条直线上,要利用“SSS”证明△ABC≌△FDE,还可以添加的一个条件是( )

A．AD=FB 【答案】A 【解析】 ∵AC=FE，BC=DE，

B．DE=BD C．BF=DB D．以上都不对

∴要利用“SSS”证明△ABC≌△FDE，需添加条件“AB=DF”或“AD=BF”. 故选A.

20．如图11-3-1，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60°，则一定有（ ）

A．∠ADE=20° 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】

B．∠ADE=30° C．∠ADE=

11∠ADC D．∠ADE=∠ADC 23设∠ADE=x，∠ADC=y，由题意可得，

∠ADE+∠AED+∠A=180°，∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°， 即x+60+∠A=180①，3∠A+y=360②， 由①×3-②可得3x-y=0，

11y，即∠ADE=∠ADC．

33故答案选D．

所以x

考点：三角形的内角和定理；四边形内角和定理．