立体几何 章末检测（A）
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF，GH交于一点P，则( )
A．P一定在直线BD上 B．P一定在直线AC上
C．P一定在直线AC或BD上
D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上 2．下列推理错误的是( )
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A∈l，l⊂α⇒A∈α 3．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是( )
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ 4．在空间中，下列说法中不正确的是( ) A．两组对边相等的四边形是平行四边形 B．两组对边平行的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
5．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于( ) A．30° B．45° C．60° D．90°
6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于( ) A．30° B．45° C．60° D．90°
7．已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中正确的是( ) A．若m∥α，m∥n，则n∥α B．若m⊥α，n⊥α，则n⊥m C．若m⊥α，m∥β，则α⊥β D．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
8．如图(1)所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，如图(2)所示，那么，在四面体S－EFG中必有( )
1
A．SG⊥△EFG所在平面 B．SD⊥△EFG所在平面 C．GF⊥△SEF所在平面 D．GD⊥△SEF所在平面
9．如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB、CD在原正方体中的位置关系是( )
A．平行
B．相交且垂直 C．异面直线
D．相交成60°角
10．矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为( )
125125125125A．π B．π C．π D．π
1296311．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
2
A．AC B．BD C．A1D D．A1D1
12．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________．
3
14．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．
15．如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．
16．下列四个命题：①若a∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥α，b⊂α，则a∥b；③若a∥α，则a平行于α内所有的直线；④若a∥α，a∥b，b⊄α，则b∥α．
其中正确命题的序号是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)
如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、A1D1的中点，判断MN与平面A1BC1
的位置关系，为什么？
4
18．(12分) 如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点．
求证：(1)EF∥面ACD； (2)面EFC⊥面BCD．
19．(12分) 如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于点E，过
5
E作EF⊥SC于点F．
(1)求证：AF⊥SC；
(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD．
20．(12分)如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．
(1)求证：PA∥面BDE；平面PAC⊥平面BDE；
(2)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．
6
21．(12分)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝33，BC＝3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到C′点，且C′点在平面ABD上的射影O恰在AB上．
(1)求证：BC′⊥平面AC′D； (2)求点A到平面BC′D的距离．
22．(12分) 如图，在五面体ABC－DEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD＝1，AD＝22，∠BAD＝∠CDA＝45°．
(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值； (2)证明CD⊥平面ABF；
(3)求二面角B－EF－A的正切值．
7
第二章 点、直线、平面之间的位置关系(A) 答案
1．B [(如图)，∵P∈HG，HG⊂面ACD， ∴P∈面ACD，同理P∈面BAC，
面BAC∩面ACD＝AC； ∴P∈AC，选B．]
2．C [若直线l∩α＝A，显然有l⊄α，A∈l，但A∈α．]
3．D [当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．]
4．A
8
5．D [由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°．] 6．B
7．C [A中还有可能n⊂α；B中n∥m；D中还有可能m∥β或m⊂β或相交不垂直；C中，由于m∥β，设过m的平面γ与β交于b，则m∥b，又m⊥α，则b⊥α，又b⊂β，则α⊥β，所以C正确．]
8．A [∵四边形SG1G2G3是正方形， ∴SG1⊥G1E，EG1⊥G2F，FG3⊥SG3．
当正方形折成四面体之后，上述三个垂直关系仍保持不变， EG，GF成为四面体的面EGF的相邻两条边，
因此，在四面体S－EFG中侧棱SG⊥GE，SG⊥GF， ∴SG⊥平面EFG．]
9．D [恢复成正方体(如图)， 易知△ABC为等边三角形， 所以∠ABC＝60°．选D．]
15
10．C [球心O为AC中点，半径为R＝AC＝，
22
4125
V＝πR3＝π．选C．] 36
11．B [证BD⊥面CC1E，则BD⊥CE．]
12．A [连接B′C，则△AB′C为等边三角形，设AD＝a， 则B′C＝AC＝2a，B′D＝DC＝a， 所以∠B′DC＝90°．] 13．9
解析 由面面平行的性质得AC∥BD，＝解得SD＝9． 14．a>6
ASCS， BSSD解析 (如图)
由题意知：PA⊥DE， 又PE⊥DE，
所以DE⊥面PAE，∴DE⊥AE． 易证△ABE∽△ECD．
ABBE3x设BE＝x，则＝，即＝．
CECDa－x3
9
∴x－ax＋9＝0，由Δ>0，解得a>6． 15．B1D1⊥A1C1(答案不唯一)
解析 由直四棱柱可知CC1⊥面A1B1C1D1， 所以CC1⊥B1D1，要使B1D1⊥A1C，
只要B1D1⊥平面A1CC1，所以只要B1D1⊥A1C1，
还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形，正方形等条件． 16．④
解析 ①中b可能在α内；②a与b可能异面；③a可能与α内的直线异面． 17．解 直线MN∥平面A1BC1， 证明如下：
∵MD/∈平面A1BC1，ND/∈平面A1BC1．
2
∴MN⊄平面A1BC1．
如图，取A1C1的中点O1，连接NO1、BO1．
1
∵NO1綊D1C1，
21
MB綊D1C1，∴NO1綊MB．
2
∴四边形NO1BM为平行四边形．∴MN∥BO1． 又∵BO1⊂平面A1BC1， ∴MN∥平面A1BC1．
18．证明 (1)∵E，F分别是AB，BD的中点， ∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，
∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴EF∥面ACD． (2)∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD． ∵CB＝CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD．
又EF∩CF＝F，∴BD⊥面EFC．∵BD⊂面BCD， ∴面EFC⊥面BCD．
19．证明 (1)∵SA⊥平面AC，BC⊂平面AC， ∴SA⊥BC，
∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC． ∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE． 又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC．
∴AE⊥SC．又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF． ∴AF⊥SC．
(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC．
10
又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD． ∴DC⊥AG．
又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂面AEF， ∴SC⊥AG，∴AG⊥平面SDC，∴AG⊥SD． 20．(1)证明
连接OE，如图所示．
∵O、E分别为AC、PC中点， ∴OE∥PA．
∵OE⊂面BDE，PA⊄面BDE， ∴PA∥面BDE．
∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥BD． 在正方形ABCD中，BD⊥AC， 又∵PO∩AC＝0，∴BD⊥面PAC． 又∵BD⊂面BDE，∴面PAC⊥面BDE． (2)解 取OC中点F，连接EF． ∵E为PC中点，
∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO． 又∵PO⊥面ABCD， ∴EF⊥面ABCD
∵OF⊥BD，∴OE⊥BD．
∴∠EOF为二面角E－BD－C的平面角， ∴∠EOF＝30°． 在Rt△OEF中，
112OF＝OC＝AC＝a，
244∴EF＝OF·tan 30°＝66
a，∴OP＝2EF＝a． 126
16632
∴VP－ABCD＝×a×a＝a．
3618
21．(1)证明 ∵点C′在平面ABD上的射影O在AB上， ∴C′O⊥平面ABD，∴C′O⊥DA． 又∵DA⊥AB，AB∩C′O＝O，
∴DA⊥平面ABC′，∴DA⊥BC′． 又∵BC⊥CD，∴BC′⊥C′D．
11
∵DA∩C′D＝D，∴BC′⊥平面AC′D． (2)解
如图所示，
过A作AE⊥C′D，垂足为E，连接BE． ∵BC′⊥平面AC′D，∴BC′⊥AE． ∴AE⊥平面BC′D．
故AE的长就是A点到平面BC′D的距离． ∵AD⊥AB，DA⊥BC′，
∴AD⊥平面ABC′，∴DA⊥AC′．
22
在Rt△AC′B中，AC′＝AB－BC′＝32． 在Rt△BC′D中，C′D＝CD＝33． 在Rt△C′AD中，由面积关系，得
AC′·AD32×3AE＝＝＝6．
C′D33
∴点A到平面BC′D的距离是6．
22．(1)解 因为四边形ADEF是正方形，所以FA∥ED． 所以∠CED为异面直线CE与AF所成的角．
因为FA⊥平面ABCD，所以FA⊥CD．故ED⊥CD． 在Rt△CDE中，CD＝1，ED＝22， CE＝CD2＋ED2＝3，
ED22
所以cos ∠CED＝＝．
CE322
所以异面直线CE与AF所成角的余弦值为．
3
12
(2)证明 如图，过点B作BG∥CD，交AD于点G，则∠BGA＝∠CDA＝45°． 由∠BAD＝45°，可得BG⊥AB，从而CD⊥AB． 又CD⊥FA，FA∩AB＝A，所以CD⊥平面ABF．
(3)解 由(2)及已知，可得AG＝2，即G为AD的中点． 取EF的中点N，连接GN，则GN⊥EF． 因为BC∥AD，所以BC∥EF． 过点N作NM⊥EF，交BC于点M，
则∠GNM为二面角B－EF－A的平面角． 连接GM，可得AD⊥平面GNM，故AD⊥GM， 从而BC⊥GM．
2
由已知，可得GM＝．
2
由NG∥FA，FA⊥GM，得NG⊥GM．
GM1
在Rt△NGM中，tan ∠GNM＝＝．
NG4
1
所以二面角B－EF－A的正切值为．
4
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