精品教案模板

〖学情分析〗

学生姓名 教师姓名 个 性 知识点情况分析 教法设计 学法指导 陈心怡 薛磊 性 别 课 题 女 年 级 高一 函数的对称性与图像的变换 学习刻苦认真，不过学校里学到的知识和题型有限 对称性与图像的变换属于较难的知识点 〖教学重点〗

函数的两种对称性：双函数的对称，单函数的对称 图像的四种变换 〖教学难点〗

区分双函数与但函数的对称问题 图像的翻折变换 〖考点分析〗

一般出现在选择题中，会与函数的单调性、周期性、奇偶性结合。也有可能仅仅对称性出一道题，会占5分。学透了函数这一章，对于之后的导数与函数相关内容，也有助于理解。

【龙文教育一对一个性化辅导教案】

学生 陈心怡 科目 数学 课题 学校 广雅 教师 薛磊 年级 日期 高一 11月10号 次数 第 2 次 时段 5:00-7:00 函数的对称性与图像的变换 教学函数的对称性与图像变换 重点 教学函数的对称性。 难点 教学掌握单函数与两个函数的对称性与图像的四种变换。 目标 教 学 步 骤 及 教 学 内 容 一、课前热身： 回顾上次课的内容与本节课练习 二、内容讲解： 单函数的对称性与两个函数的对称性 图像的平移变换 图像的伸缩变换 图像的对称变换 图像的翻折变换 三、课堂小结： 四、作业布置： 对称与变换 作业 1、学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 备注： 管理人员签字： 日期： 年 月 日 2、本次课后作业： 置 布 课 堂 小 结 家长签字： 日期： 年 月 日

函数图像的对称性与图像变换

C 3.函数图像的对称性

(1)一个函数图像自身的对称性

性质1：对于函数yf(x)，若存在常数a,b,使得函数定义域内的任意x，都有

f(ax)f(bx)，则函数yf(x)的图像关于直线xab2对称.

【特例】，当ab时，f(ax)f(ax)f(x)的图像关于直线xa对称.

性质2：对于函数yf(x)，若存在常数a,b,使得函数定义域内的任意x，都有f(ax)f(bx)f(x)的图像关于点(,0)对称.

2【特例】：当ab时，f(ax)f(ax)f(x)的图像关于点(a,0)对称.

ab事实上，上述结论是广义奇(偶)函数的性质.

性质3：设函数yf(x)，如果对于定义域内任意的x，都有

f(amx)f(bmx)(a,b,mR,且m0)，则yf(x)的图像关于直线xab2对

称.(这实际上是偶函数的一般情形)广义偶函数.

性质4：设函数yf(x)，如果对于定义域内任意的x，都有

f(amx)f(bmx)(a,b,mR,且m0)，则yf(x)的图像关于点(ab2,0)对

称.(实际上是奇函数的一般情形)广义奇函数. 【小结】函数对称性的充要条件 函数关系式(xR) f(x)f(x) f(x)f(x) f(x)f(2ax)或f(ax)f(ax) f(x)2bf(2ax)或f(ax)2bf(ax) 对称性 函数f(x)图像是奇函数 函数f(x)图像是偶函数 函数f(x)图像关于直线xa对称 函数f(x)图像关于点P(a,b)对称 (2)两个函数图像之间的对称性

1.函数yf(x)与yf(x)的图像关于直线y0对称. 2.函数yf(x)与yf(x)的图像关于直线x0对称. 3.函数yf(x)与yf(x)的图像关于原点(0,0)对称.

4.函数yf(amx)与yf(bmx)的图像(a,b,mR,m0)关于直线x对称.

特别地，函数yf(ax)与yf(bx)的图像关于直线xba2ba2m对称.

（2010江苏卷5）设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数a=_________

C4.几个函数方程的周期(约定a0) (1)若f(x)f(xa)，或f(xa)2f(xa2)，则f(x)的周期Ta；

(2)若f(x)f(xa)0，或f(xa)1f(x)，或f(x)f(x) ，或

1f(x)fxafxa，

a2a2或fxa1fx(f(x)0)，则f(x)的周期T2a；

【说明】函数yfx满足对定义域内任一实数x（其中a为常数）,都有等式成立.上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.

C5.对称性与周期性的关系（可与三角函数类比） 定理1：若定义在R上的函数f(x)的图像关于直线xa和xb(ab)对称，则

f(x)是周期函数，且2ab是它的一个周期.

推论1：若函数f(x)满足f(ax)f(ax)及f(bx)f(bx)(ab)，则

f(x)是以2ab为周期的周期函数. 定理2：若定义在R上的函数f(x)的图像关于点(a,0)和直线xb(ab)对称，

则f(x)是周期函数，且4ab是它的一个周期. 推论2：若函数f(x)满足f(ax)f(ax)及f(bx)f(bx)(ab)，

则f(x)是以4ab为周期的周期函数. 定理3：若定义在R上的函数f(x)的图像关于点(a,y0)和(b,y0)(ab)对称，

则f(x)是周期函数，且2ab是它的一个周期.

推论3：若函数f(x)满足f(ax)f(ax)2y0及

f(bx)f(bx)2y0(ab)，则f(x)是以2ab为周期的周期函数.

C6. 1、若函数yf(xa)为偶函数，则函数yf(x)的图像关于直线xa对称.

2、若函数yf(xa)为奇函数，则函数yf(x)的图像关于点(a,0)对称. 3、定义在R上的函数f(x)满足f(ax)f(ax)，且方程f(x)0恰有2n个实根，则这2n个实根的和为2na.

C7.关于奇偶性与单调性的关系.

①

如果奇函数yf(x)在区间0,上是递增的,那么函数yf(x)在区间,0上也是递增的;

② 如果偶函数yf(x)在区间0,上是递增的,那么函数yf(x)在区间

,0上是递减的;

函数图像变换

（主要有平移变换、翻折变换、对称变换和伸缩变换等）.

1.平移变换

（1）函数yf(xa)的图象是把yf(x)的图象沿x轴向左(a0)或向右(a0)平移a个单位得到的．

（2）函数yf(x)+a的图象是把yf(x)助图象沿y轴向上(a0)或向下(a0)平移a个单位得到的 2.翻折变换

(1)由yf(x)得到y|f(x)|，就是把yf(x)的图像在x轴下方的部分作关于x轴对称的图像，即把x轴下方的部分翻到x轴上方，而原来x轴上方的部分不变. (2)由yf(x)得到yf(|x|)，就是把yf(x)的图像在y轴右边的部分作关于y轴对称的图像，即把y轴右边的部分翻到y轴的左边，而原来y轴左边的部分去掉，右边的部分不变.

3.伸缩变换：将yf(x)的横坐标变为原来的a倍，纵坐标变为原来的m倍，

x得到ymf

a4.对称变换

(1)函数yf(x)的图像可以将函数yf(x)的图像关于y轴对称即可得到；

y轴yfxyf(x)

(2)函数yf(x)的图像可以将函数yf(x)的图像关于x轴对称即可得

到；

x轴yfxyfx

(3)函数yf(x)的图像可以将函数yf(x)的图像关于原点对称即可得

到；

原点yfxyf(x)

(4)函数xf(y)的图像可以将函数yf(x)的图像关于直线yx对称得到.

直线yxyfxxfy

(5)函数yf(2ax)的图像可以将函数yf(x)的图像关于直线xa对称

即可得到；

直线xayfxyf(2ax).

【注意】：函数图像平移和伸缩变换应注意的问题

(1) 观察变换前后位置变化：.函数图像的平移、伸缩变换中，图像的特殊点、

特殊线也作相应的变换.

(2) 观察变换前后量变化：直线、双曲线、抛物线通过伸缩变换后仍分别为直线、双曲线、抛物线，但可以改变直线的倾斜角，双曲线的离心率、抛物线的开口大小及它们的位置；

(3)图像变换应重视将所研究函数与常见函数（正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、对数函数、指数函数、三角函数、“函数yxkk0”及函数yxkk0等）相互转化.

xx

函数的对称性

1、(2010广东)若函数fx33xx与gx33xx的定义域为R，则( )

A、fx与gx均为偶函数 B、fx为偶函数，gx为奇函数 C、fx与gx均为奇函数 D、fx为奇函数，gx为偶函数 2、(2011辽宁)若函数fxx为奇函数，则a( ) (注：试判断

2x1xax的奇偶性) 2x1123A、 B、 C、 D、1

234fx

3、(2012皖南二联)已知函数fx是R上的单调增函数且为奇函数，则f1的值为( ) A、恒为正数 B、恒为负数 C、恒为0 D、可正可负

4、(2012安徽二模★)已知函数fx是R上的单调增函数且为奇函数，数列an为等差数列

，

a30，则

fa1fa3fa5的值( )

A、恒为正数 B、恒为负数 C、恒为0 D、可正可负

上单调递增的函数是( ) 5、(2011全国)下列函数中，既是偶函数又在0，32A、fxx B、yx1 C、yx1 D、

y2

x

6、(2012宁夏★)函数fx在定义域R内可导，若fxf2x，且当x,1时，

x1fx0，设af0，b1f，cf3，则( ) 2A、abc B、cba C、cab D、bca

7、(2012山东★)设偶函数fx对任意xR，都有fx3时，fx4x，则f107.5( ) A、10 B、

8、(2011全国★)已知函数yfx的周期为2，当x1,1时fxx，那么函数

21，且当x3,2fx11 C、10 D、 1010yfx的图像与函数ylgx的图像的交点个数为( ) (注：1、通过

图像，2、注意ylgx与ylgx)

A、10 B、9 C、8 D、1

函数的图像

1、将y2的图象………………………………………………………… ( )

(A) 先向上平行移动一个单位 (B) 先向右平行移动一个单位

(C) 先向左平行移动一个单位 (D) 先向下平行移动一个单位

再作关于直线y=x对称的图象,可得到函数ylog2(x1)x的图象.

2、y=f(x+1)－1的图象可由函数y=f(x)的图象经过下述哪一种变换得到…………… ( )

(A) 向左再向上各平行移动一个单位式各样 (B) 向左再向下各平行移动一个单位

(C) 向右再向上各平行移动一个单位 (D) 向右再向下各平行移动一个单位 3、函数y=f(x)的图象与一条直线x=a有交点个数是………………………………… ( ) (A)至少有一个 (B) 至多有一个 (C) 必有一个 (D) 有一个或两个 4、在同一直角坐标系中, 图象是同一条曲线的是…………………………………… ( ) (A)yf(x)与yf1(x) (B)xf(y)与xf1(y)

(C) yf(x)与xfx21(y) (D) yf(x)与xf(y)

5、方程ax2(0a1)的解的个数………………………………………（ ） (A)0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无法确定

x2y21与mx+ny=1在同一坐标系内的图象为………………………………6、方程mny y y y （ ）

O x O x O x O x

7、函数y=f(x)与函数y=f(a－x)的定义域都为R，这两个函数图象之间…………………（ ） (A)关于y轴对称 (B)关于直线x=a对称 (C)关于直线x=

a对称 (D) 关于直线x=2a对称 2

8、函数y= f(x)的图象关于直线x=1对称，当x≤1时，f(x) =x2+1，则x＞1时，f(x)= .

9、y=f(x)满足f(2x)f(2x)，且f(x)=0有且只有17个根，则这些实数根的和为 .

10、定义在R上的奇函数y=f(x)满足当x<0时，f(x)=x＋1，解不等式：f(x－1)<0

【课后训练】

1、f(x＋1)=2x＋1,则f(x)= .

2、如果函数f(x)满足：f(x＋y)=f(x)·f(y)，f(x)恒不为0，那么f(0)= . 3、f(x)=2x＋3,g(x＋2)=f(x),则g(x)=………………………………………………………………（ ）

(A)2x＋1 (B)2x－1 (C)2x－3 (D)2x＋7 4、函数y=g(x)的图象关于直线x=－1对称，且x∈（0，＋∞）时，g(x)=∈（－∞，－2）时g(x)= .

5、如果函数f(x)的定义域为R+且满足：f(xy)=f(x) ＋f(y)，f(8)=3，那么f(2)= .

1，那么xxx5x66、已知f(x)，那么f（3）=……………………………………（ ）

f(x2)x6 （A）5 （B）4 （C）3 （D）2

二、典型例题分析：

1121、 ⑴如果f(x)x2，求函数f(x)的表达式.

xx1x⑵如果f(1)，求函数f(x)的表达式.

x1x2

2、二次函数y=f(x)满足：f(x)=f(2－x)并且x>1时f(x)为增函数，如果a=f(0)，b=f(log2c=f(log3)，试比较a、b、c的大小

3、对一切实数x、y，关系式：f(x－y)=f(x)－(2x－y＋1)y，且f(0)1，求函数f(x)的表达式.

1)，4

4、定义在（0，+∞）上的增函数f（x）满足：f()f(x)f(y) ⑴求证：f（1）=0

⑵求证：f（xn）=nf（x）

⑶如果f（3）=1，解不等式：f(x)f(xy1)2 x5

5、设函数f（x）的定义域为R且满足x1≠x2则f（x1）≠f（x2），又对任何实数x、y总有：f(x＋y)=f(x) f(y)，证明：⑴f（0）=1 ⑵f（x）＞0恒成立.

6、对一切非0实数x、y满足：f(xy)=f(x) ＋f(y) ⑴求证：f(1)=f(－1)=0 ⑵判断f(x)的奇偶性

⑶如果f(x)在(0,＋)上递增，解不等式f(x)f(x)0

7、对任意实数x，若y=f（x）是y=2－x2和y=x这两个函数中的较小者，求函数y=f（x）的解析式.

12

〖教学反思〗

因为学生基础是比较好的，所以准备了很多内容，而且也比较艰深，难以理解，很容易混淆。在说明对称性问题上，双函数对称性主要是举例，举一些熟悉的函数进行说明，学生理解了，并能够举一反三， 至于单函数的对称性，由于很少函数自身很少是轴对称图形，所学过的函数中，仅仅有二次函数是的，所以举例时都是举得二次函数的例子，显得说服力不够强，之后又换了个角度，运用中点公式去进行说明，终于明白了一些。

至于周期性，虽说书上没有这方面的讲解，但是学校肯定会讲得，所

以打算一带而过，没想到学校完全没讲，学生完全不清楚，所以得从概念讲起，周期性的概念不是很好讲，因为没有学过一个函数是周期函数，所以我只能搬上正弦函数和余弦函数，用以说明。