二面角经典例题讲解

二面角求法归纳

第一课时（用定义法和三垂线法解决问题）

通常是立体几何（12-14分），本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查二面角的求法以及利用向量知识解决几何问题的能力，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。 定义法：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S—AM—B中半平面ABM上的一已知点（B）向棱AM作垂线，得垂足（F）；在另一半平面ASM内过该垂足（F）作棱AM的垂线（如GF），这两条垂线（BF、GF）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD底面

ABCD，AD2 DCSD2，点M在侧棱SC上，ABM=60°

（I）证明：M在侧棱SC的中点 （II）求二面角SAMB的大小。

例2. （2010全国I理，19题，12分）如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，

ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC . （Ⅰ）证明：SE=2EB；

（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 .

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二、三垂线法

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。

本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如（例2）过二面角B-FC1-C中半平面BFC上的一已知点B作另一半平面FC1C的垂线，得垂足O；再过该垂足O作棱FC1的垂线，得垂足P，连结起点与终点得斜线段PB，便形成了三垂线定理的基本构图（斜线PB、垂线BO、射影OP）。再解直角三角形求二面角的度数。

例1．(2009山东卷理) 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，

D1 A1 C1

B1

D E

A

F

B

E1 C

AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA1=2, E、E1、F分别是棱AD、AA1、AB的中点。 （1） 证明：直线EE1//平面FCC1； （2） 求二面角B-FC1-C的余弦值。

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例2（2010安徽卷理18题）（本小题满分13分） 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，

EF∥AB，EF⊥FB，AB =2EF，∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的中点．

（Ⅰ）求证：FH∥平面EDB； （Ⅱ）求证：AC⊥平面EDB； （Ⅲ）求二面角B—DE—C的大小．

巩固练习

1．山坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是60°，山坡上有一条直道CD，它和坡脚的水平线AB的夹角是30°，沿这条路上山，行走100米后升高多少米？

2.在正方体AC1中，E为BC中点 （1）求证：BD1∥平面C1DE； （2）求二面角B—C1D—E的余弦值。

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3.如图：Rt∠ABC中，斜边AB在平面α内，C不属于α,AC、BC与α所成角分别为45°

C 和30°，求平面ABC与α所成角。

α D

H B

A

4.（2010全国II理，,19题，12分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，AA1AB，

D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE3EB1．

（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线； （Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角

A1AC1B1的大小．

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5.矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．

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