2014中考复习专题-三角形相似

相似三角形证明

1、（2013•益阳）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．

考点： 相似三角形的判定． 专题： 证明题． 分析： 根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明． 解答： 证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BC， ∵CE⊥AB， ∴∠ADB=∠CEB=90°， 又∵∠B=∠B， ∴△ABD∽△CBE． 点评： 本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质，比较简单，确定出两组对应相等的角是解题的关键．

2、（2013年佛山市）网格图中每个方格都是边长为1的正方形．

若A，B，C，D，E，F都是格点， 试说明△ABC∽△DEF．

E

D

C

F

A B

第17题图

分析：利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△ABC∽△DEF． 解：证明：∵AC=ED=8， ∴

=

=

=2，

，BC=

=

，AB=4，DF=

=2

，EF=

=2

，

∴△ABC∽△DEF．

点评：本题考查了相似三角形的判定、勾股定理．相似三角形相似的判定方法有：

（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；

这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形； （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；

（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．

BDBE，AC90，3、（2013成都市）如图，点Ｂ在线段AC上，点D,E在AC同侧，

AD=BC.

（1）求证：AC=AD+CE;

（2）若AD=3,CE=5，点P为线段AB上的动点，作PQDP，交直线BE于点Q.

i)若点P与A,B两点不重合，求

DP的值； PQii)当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长。

解析：

（1）证明：∠A=∠C=90°DB⊥BE

有∠ADB+∠ABD=90°以及∠ABD+∠EBC=90° ∴∠ADB=∠EBC 又AD=BC ∴Rt△ADB≌Rt△EBC ⇒AB=EC ∴AC=AB+BC=EC+AD （2）

ⅰ）连结DQ, ∠DPQ=∠DBQ=90°, ∴D,PB,Q四点共圆. 且DQ为该圆直径，那么就有∠DQP=∠DBP ∴Rt△DPQ∽Rt△DAB

DPDA3 PQAB5

ⅱ)P到AC中点时，AP=4，AD=3，由勾股定理得DP=5 由

25DP3534⇒PQ.DQ 又DB34 3PQ53

BQ4341234 ∴MMBQ MM即为中点运动轨迹。 323

4、（2013•巴中）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B （1）求证：△ADF∽△DEC；

（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．

考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质． 分析： （1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC； （2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度． 解答： （1）证明：∵▱ABCD，∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC． ∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B， ∴∠AFD=∠C． 在△ADF与△DEC中， ∴△ADF∽△DEC． （2）解：∵▱ABCD，∴CD=AB=8． 由（1）知△ADF∽△DEC， ∴，∴DE===12． ==6． 在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=点评： 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理三个知识点．题目难度不大，注意仔细分析题意，认真计算，避免出错． 5、（2013•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上） （1）若△CEF与△ABC相似． ①当AC=BC=2时，AD的长为 ； ②当AC=3，BC=4时，AD的长为 1.8或2.5 ； （2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．

考点： 相似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）． 分析： （1）若△CEF与△ABC相似． ①当AC=BC=2时，△ABC为等腰直角三角形； ②当AC=3，BC=4时，分两种情况： （I）若CE：CF=3：4，如答图2所示，此时EF∥AB，CD为AB边上的高； （II）若CF：CE=3：4，如答图3所示．由相似三角形角之间的关系，可以推出∠A=∠ECD与∠B=∠FCD，从而得到CD=AD=BD，即D点为AB的中点； （2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似．可以推出∠CFE=∠A，∠C=∠C，从而可以证明两个三角形相似． 解答： 解：（1）若△CEF与△ABC相似． ①当AC=BC=2时，△ABC为等腰直角三角形，如答图1所示． 此时D为AB边中点，AD=AC=． ②当AC=3，BC=4时，有两种情况： （I）若CE：CF=3：4，如答图2所示． ∵CE：CF=AC：BC，∴EF∥BC． 由折叠性质可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高． 在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴BC=5，∴cosA=． AD=AC•cosA=3×=1.8； （II）若CF：CE=3：4，如答图3所示．

∵△CEF∽△CAB，∴∠CEF=∠B． 由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD=90°， 又∵∠A+∠B=90°， ∴∠A=∠ECD，∴AD=CD． 同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD， ∴此时AD=AB=×5=2.5． 综上所述，当AC=3，BC=4时，AD的长为1.8或2.5． （2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似．理由如下： 如答图3所示，连接CD，与EF交于点Q． ∵CD是Rt△ABC的中线，∴CD=DB=AB，∴∠DCB=∠B． 由折叠性质可知，∠CQF=∠DQF=90°，∴∠DCB+∠CFE=90°， ∵∠B+∠A=90°，∴∠CFE=∠A， 又∵∠C=∠C，∴△CEF∽△CBA． 点评： 本题是几何综合题，考查了几何图形折叠问题和相似三角形的判定与性质．第（1）②问需要分两种情况分别计算，此处容易漏解，需要引起注意． 6、（2013•滨州）某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA=CD，BC=20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm、8cm．为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50cm，那么横梁EF应为多长？（材质及其厚度等暂忽略不计）．

考点： 相似三角形的应用；等腰梯形的性质． 分析： 根据等腰梯形的性质，可得AH=DG，EM=NF，先求出AH、GD的长度，再由△BEM∽△BAH，可得出EM，继而得出EF的长度． 解答： 解：由题意得，MH=8cm，BH=40cm，则BM=32cm， ∵四边形ABCD是等腰梯形，AD=50cm，BC=20cm， ∴AH=（AD﹣BC）=15cm． ∵EF∥CD， ∵△BEM∽△BAH， ∴=，即=，

解得：EM=12， 故EF=EM+NF+BC=2EM+BC=44cm． 答：横梁EF应为44cm． 点评： 本题考查了相似三角形的应用及等腰梯形的性质，解答本题的关键是熟练掌握等腰梯形的性质，这些是需要我们熟练记忆的内容． 7、（2013•眉山）在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．

（1）求证：△DEC∽△FDC；

（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．

考点： 相似三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形． 分析： （1）根据题意可得∠DEC=∠FDC，利用两角法即可进行相似的判定； （2）根据F为AD的中点，可得FB=FC，根据AD∥BC，可得FE：EC=FD：BC=1：2，再由sin∠FBD=EF：BF=EF：FC，即可得出答案，设EF=x，则EC=2x，利用（1）的结论求出x，在Rt△CFD中求出FD，继而得出BC． 解答： 解：（1）∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD， ∴△DEC∽△FDC． （2）∵F为AD的中点，AD∥BC， ∴FE：EC=FD：BC=1：2，FB=FC， ∴FE：FC=1：3， ∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC=； 设EF=x，则FC=3x， ∵△DEC∽△FDC， ∴=，即可得：6x=12， 2解得：x=， 则CF=3， 在Rt△CFD中，DF==，

∴BC=2DF=2． 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性质：对应边成比例． 8、（2013•株洲）已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P． （1）当点P在线段AB上时，求证：△APQ∽△ABC； （2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．

考点： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理． 分析： （1）由两对角相等（∠APQ=∠C，∠A=∠A），证明△APQ∽△ABC； （2）当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论． （I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．由三角形相似（△APQ∽△ABC）关系计算AP的长； （II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．利用角之间的关系，证明点B为线段AP的中点，从而可以求出AP． 解答： （1）证明：∵∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°， ∴∠APQ=∠C． 在△APQ与△ABC中， ∵∠APQ=∠C，∠A=∠A， ∴△APQ∽△ABC． （2）解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5． ∵∠BPQ为钝角， ∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ． （I）当点P在线段AB上时，如题图1所示． 由（1）可知，△APQ∽△ABC， ∴，即，解得：PB=， ∴AP=AB﹣PB=3﹣=； （II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示． ∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P， ∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，

∴∠AQB=∠A， ∴BQ=AB， ∴AB=BP，点B为线段AB中点， ∴AP=2AB=2×3=6． 综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6． 点评： 本题考查相似三角形及分类讨论的数学思想，难度不大．第（2）问中，当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论，避免漏解． 9、（2013福省福州21）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，P是BC边上一点，△PAD的面积为，设AB=x，AD=y （1）求y与x的函数关系式； （2）若∠APD=45°，当y=1时，求PB•PC的值； （3）若∠APD=90°，求y的最小值．

考点：相似形综合题． 专题：综合题． 分析：（1）如图1，过A作AE垂直于BC，在直角三角形ABE中，由∠B=45°，AB=x，利用锐角三角函数定义表示出AE，三角形PAD的面积以AD为底，AE为高，利用三角形面积公式表示出，根据已知的面积即可列出y与x的函数关系式； （2）根据∠APC=∠APD+∠CPD，以及∠APC为三角形ABP的外角，利用外角性质得到关系式，等量代换得到∠BAP=∠CPD，再由四边形ABCD为等腰梯形，得到一对底角相等及AB=CD，可得出三角形ABP与三角形PDC相似，由相似得比例，将CD换为AB，由y的值求出x的值，即为AB的值，即可求出PB•PC的值；

（3）取AD的中点F，过P作PH垂直于AD，由直角三角形PF大于等于PH，当PF=PH时，PF最小，此时F与H重合，由三角形APD为直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到PF等于AD的一半，表示出PF即为PH，三角形APD面积以AD为底，PH为高，利用三角形面积公式表示出三角形APD面积，由已知的面积求出y的值，即为最小值． 解答：解：（1）如图1，过A作AE⊥BC于点E， 在Rt△ABE中，∠B=45°，AB=x， ∴AE=AB•sinB=∵S△APD=

x，

11AD•AE=， 2211∴•y•x=， 22则y=

；

（2）∵∠APC=∠APD+∠CPD=∠B+∠BAP，∠APD=∠B=45°，

∴∠BAP=∠CPD， ∵四边形ABCD为等腰梯形， ∴∠B=∠C，AB=CD， ∴△ABP∽△PCD， ∴=

，

2

∴PB•PC=AB•DC=AB，

当y=1时，x=，即AB=，

2

则PB•PC=（）=2；

（3）如图2，取AD的中点F，连接PF， 过P作PH⊥AD，可得PF≥PH， 当PF=PH时，PF有最小值， ∵∠APD=90°， ∴PF=AD=y， ∴PH=y，

11•AD•PH=， 221112

∴•y•y=，即y=2， 222∵S△APD=

∵y＞0，∴y=， 则y的最小值为．

点评：此题考查了相似形综合题，涉及的知识有：等腰梯形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，以及三角形的面积求法，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 10、（2013•衢州）【提出问题】 （1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN． 【类比探究】

（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由． 【拓展延伸】

（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．

考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 分析： （1）利用SAS可证明△BAM≌△CAN，继而得出结论； （2）也可以通过证明△BAM≌△CAN，得出结论，和（1）的思路完全一样． （3）首先得出∠BAC=∠MAN，从而判定△ABC∽△AMN，得到=，根据∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，从而判定△BAM∽△CAN，得出结论． 解答： （1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形， ∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°， ∴∠BAM=∠CAN， ∵在△BAM和△CAN中， ∴△BAM≌△CAN（SAS）， ∴∠ABC=∠ACN． （2）解：结论∠ABC=∠ACN仍成立． 理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形， ∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°， ∴∠BAM=∠CAN， ∵在△BAM和△CAN中， ∴△BAM≌△CAN（SAS）， ∴∠ABC=∠ACN．

（3）解：∠ABC=∠ACN． 理由如下：∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN， ∴底角∠BAC=∠MAN， ∴△ABC∽△AMN， ∴=， 又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC， ∴∠BAM=∠CAN， ∴△BAM∽△CAN， ∴∠ABC=∠ACN． 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是仔细观察图形，找到全等（相似）的条件，利用全等（相似）的性质证明结论． 11、（2013•绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．

（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD． （2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．

考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 分析： （1）根据同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根据AC：AB=1：2及点E为AB的中点，得出AC=BE，再利用AAS证明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD； （2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先证明四边形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，则∠FEQ=∠GEH，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ∽△EGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在△BEQ中，根据正弦函数的定义得出EQ=BE，在△AEH中，根据余弦函数的定义得出EH=AE，又BE=AE，进而求出EF：EG的值． 解答： （1）证明：如图1， 在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于点D， ∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB． ∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC， ∵点E为AB的中点，∴AB=2BE， ∴AC=BE． 在△ACD与△BEF中，

， ∴△ACD≌△BEF， ∴CD=EF，即EF=CD； （2）解：如图2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q， ∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC， ∴四边形EQDH是矩形， ∴∠QEH=90°， ∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG， 又∵∠EQF=∠EHG=90°， ∴△EFQ∽△EGH， ∴EF：EG=EQ：EH． ∵AC：AB=1：，∠CAB=90°， ∴∠B=30°． 在△BEQ中，∵∠BQE=90°， ∴sin∠B==， ∴EQ=BE． 在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°， ∴cos∠AEH=∴EH==， AE． ∵点E为AB的中点，∴BE=AE， ∴EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：．

点评： 本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形EQDH是矩形． 12、（2013泰安）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，

（1）求证：AC=AB•AD； （2）求证：CE∥AD； （3）若AD=4，AB=6，求

的值．

2

考点：相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线． 分析：（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形

2

的对应边成比例，证得AC=AB•AD；

（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=AB=AE，继而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD； （3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得解答：（1）证明：∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC=∠CAB， ∵∠ADC=∠ACB=90°， ∴△ADC∽△ACB， ∴AD：AC=AC：AB，

2∴AC=AB•AD； （2）证明：∵E为AB的中点， ∴CE=AB=AE， ∴∠EAC=∠ECA， ∵∠DAC=∠CAB，

的值．

∴∠DAC=∠ECA， ∴CE∥AD； （3）解：∵CE∥AD， ∴△AFD∽△CFE， ∴AD：CE=AF：CF， ∵CE=AB， ∴CE=×6=3， ∵AD=4， ∴∴

， ．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

13、（2013•包头）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F． （1）如图①，当

时，求

的值；

OA；

（2）如图②当DE平分∠CDB时，求证：AF=

（3）如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=BG．

考点： 相似形综合题． 分析： （1）利用相似三角形的性质求得EF于DF的比值，依据△CEF和△CDF同高，则面积的比就是EF与DF的比值，据此即可求解； （2）利用三角形的外角和定理证得∠ADF=∠AFD，可以证得AD=AF，在直角△AOD中，利用勾股定理可以证得； （3）连接OE，易证OE是△BCD的中位线，然后根据△FGC是等腰直角三角形，易证△EGF∽△ECD，利用相似三角形的对应边的比相等即可证得． 解答： （1）解：∵=， ∴=．

∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴△CEF∽△ADF， ∴=∴=， =， ∴==； （2）证明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF， 又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线． ∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD，而∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF， ∴∠ADF=∠AFD，∴AD=AF， 在直角△AOD中，根据勾股定理得：AD=∴AF=OA． （3）证明：连接OE． ∵点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点． ∴点O是BD的中点． 又∵点E是BC的中点， ∴OE是△BCD的中位线， ∴OE∥CD，OE=CD， ∴△OFE∽△CFD． ∴==， =OA， ∴=． 又∵FG⊥BC，CD⊥BC， ∴FG∥CD， ∴△EGF∽△ECD， ∴==． 在直角△FGC中，∵∠GCF=45°． ∴CG=GF， 又∵CD=BC， ∴==， ∴=．

∴CG=BG． 点评： 本题是勾股定理、三角形的中位线定理、以及相似三角形的判定与性质的综合应用，理解正方形的性质是关键．

14、（2013•遵义）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．

（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？

（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．

考点： 相似形综合题． 分析： 根据勾股定理求得AB=5cm． （1）分类讨论：△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC两种情况．利用相似三角形的对应边成比例来求t的值； （2）如图，过点P作PH⊥BC于点H，构造平行线PH∥AC，由平行线分线段成比例求得以t表示的PH的值；然后根据“S=S△ABC﹣S△BPH”列出S与t的关系式S=（t﹣）2+（0＜t＜2.5），则由二次函数最值的求法即可得到S的最小值． 解答： 解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．

∴根据勾股定理，得=5cm． （1）以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况： ①当△AMP∽△ABC时，解得t=； ②当△APM∽△ABC时，=，即=， =，即=， 解得t=0（不合题意，舍去）； 综上所述，当t=时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似； （2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下： 假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值． 如图，过点P作PH⊥BC于点H．则PH∥AC， ∴=，即=， ∴PH=t， ∴S=S△ABC﹣S△BPH， =×3×4﹣×（3﹣t）•t， =（t﹣）+∵＞0， ∴S有最小值． 当t=时，S最小值=． ． 2（0＜t＜2.5）． 答：当t=时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是 点评： 本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例，二次函数最值的求法以及三角形面积公式．解答（1）题时，一定要分类讨论，以防漏解．另外，利用相似三角形的对应边成比例解题时，务必找准对应边．

15、（2013•泰州）如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ中点． （1）求证：△ADP∽△ABQ；

2

（2）若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x，BM=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM的最小值；

（3）若AD=10，AB=a，DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化．当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围．

考点： 相似形综合题． 分析： （1）由对应两角相等，证明两个三角形相似； （2）如解答图所示，过点M作MN⊥QC于点N，由此构造直角三角形BMN，利用勾股定理求出y与x的函数关系式，这是一个二次函数，求出其最小值； （3）如解答图所示，当点M落在矩形ABCD外部时，须满足的条件是“BE＞MN”．分别求出BE与MN的表达式，列不等式求解，即可求出a的取值范围． 解答： （1）证明：∵∠QAP=∠BAD=90°， ∴∠QAB=∠PAD， 又∵∠ABQ=∠ADP=90°， ∴△ADP∽△ABQ． （2）解：∵△ADP∽△ABQ， ∴，即，解得QB=2x． ∵DP=x，CD=AB=20，∴PC=CD﹣DP=20﹣x． 如解答图所示，过点M作MN⊥QC于点N， ∵MN⊥QC，CD⊥QC，点M为PQ中点，∴点N为QC中点，MN为中位线， ∴MN=PC=（20﹣x）=10﹣x， BN=QC﹣BC=（BC+QB）﹣BC=（10+2x）﹣10=x﹣5． 在Rt△BMN中，由勾股定理得：BM=MN+BN=（10﹣x）+（x﹣5）=x﹣20x+125， 2∴y=x﹣20x+125（0≤x≤20）． 22∵y=x﹣20x+125=（x﹣4）+45， ∴当x=4即DP=4时，y取得最小值为45，BM的最小值为=． （3）解：设PQ与AB交于点E． 如解答图所示，点M落在矩形ABCD外部，须满足的条件是BE＞MN． ∵△ADP∽△ABQ， 222222

∴，即，解得QB=a． ∵AB∥CD，∴△QBE∽△QCP， ∴，即，解得BE=． ∵MN为中位线，∴MN=PC=（a﹣8）． ∵BE＞MN，∴＞（a﹣8），解得a＞12.5． ∴当点M落在矩形ABCD外部时，a的取值范围为：a＞12.5． 点评： 本题综合考查了相似三角形的判定与性质、中位线、勾股定理、二次函数的最值、解一元一次不等式等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．解题关键是：第（2）问2中，由BM=y，容易联想到直角三角形与勾股定理；由最值容易联想到二次函数；第（3）问中需要明确“点M落在矩形ABCD外部”所要满足的条件． 16、（2013•苏州）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）． （1）当t= 2.5 s时，四边形EBFB′为正方形；

（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值； （3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

考点： 相似形综合题． 分析： （1）利用正方形的性质，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可； （2）△EBF与△FCG相似，分两种情况，需要分类讨论，逐一分析计算； （3）本问为存在型问题．假设存在，则可以分别求出在不同条件下的t值，它们互相矛盾，所以不存在． 解答： 解：（1）若四边形EBFB′为正方形，则BE=BF， 即：10﹣t=3t， 解得t=2.5； （2）分两种情况，讨论如下： ①若△EBF∽△FCG， 则有，即， 解得：t=2.8； ②若△EBF∽△GCF， 则有，即， 解得：t=﹣14﹣2（不合题意，舍去）或t=﹣14+2． ∴当t=2.8s或t=（﹣14+2）s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似． （3）假设存在实数t，使得点B′与点O重合． 如图，过点O作OM⊥BC于点M，则在Rt△OFM中，OF=BF=3t，FM=BC﹣BF=6﹣3t，OM=5， 由勾股定理得：OM+FM=OF， 222即：5+（6﹣3t）=（3t） 解得：t=； 222 过点O作ON⊥AB于点N，则在Rt△OEN中，OE=BE=10﹣t，EN=BE﹣BN=10﹣t﹣5=5﹣t，ON=6， 222由勾股定理得：ON+EN=OE， 222即：6+（5﹣t）=（10﹣t） 解得：t=3.9． ∵≠3.9， ∴不存在实数t，使得点B′与点O重合．

点评： 本题为运动型综合题，考查了矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、解方程等知识点．题目并不复杂，但需要仔细分析题意，认真作答．第（2）问中，需要分类讨论，避免漏解；第（3）问是存在型问题，可以先假设存在，然后通过推导出互相矛盾的结论，从而判定不存在．