2016年全国卷3理科数学试题及参考答案(WORD版)

试题类型：新课标Ⅲ

2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共24题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：

1.答题前，考生先将自己的XX、XX填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，不准使用涂改液、修正液、刮纸刀。

第I卷

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1)设集合Sx|(x2)(x3)0,Tx|x0，则S

A. 2,3 B. ,2【答案】D

【解析】易得S,2T=

3, C. 3, D. 0,23,

3,，ST0,23,，选D

【考点】解一元二次不等式、交集 (2)若z12i，则

4i zz1A. 1 B. 1 C. i D. i 【答案】C

【解析】易知z12i，故zz14，【考点】共轭复数、复数运算

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4ii，选C zz11(3)已知向量BA2,313，=(，)，则ABC BC222A. 30° B. 45° C. 60°D.120° 【答案】A

yAC3BABC32【解析】法一：cosABC，ABC30 112BABCBx法二：可以B点为坐标原点建立如图所示直角坐标系，易知ABx60,CBx30,ABC30 【考点】向量夹角的坐标运算

(4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15C，B点表示四月的平均最低气温约为5C.下面叙述不正确的是

A. 各月的平均最低气温都在0C以上 B. 七月的平均温差比一月的平均温差大 C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同 D. 平均最高气温高于20C的月份有5个 【答案】D

【解析】从图像中可以看出平均最高气温高于20C的月份有七月、八月，六月为20C左右，故最多3个 【考点】统计图的识别 (5)若tanA.

3，则cos22sin2 4166448 B. C. 1 D. 252525【答案】A

cos24sincos14tan64【解析】cos2sin2 cos2sin21tan2252【考点】二倍角公式、弦切互化、同角三角函数公式 (6)已知a2,b3,c25，则

A. bac B. abc C. bca D. cab 【答案】A

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432313【解析】a24,b3,c255，故cab 【考点】指数运算、幂函数性质

(7)执行右面的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=

A. 3 B. 4 C. 5D. 6 【答案】B 【解析】列表如下 a 43232313234 6 0 0 2 4 6 6 1 -2 6 4 10 2 2 4 6 16 3 -2 6 4 20 4 b s n 【考点】程序框图

1π(8)在△ABC中，B，BC边上的高等于BC,则cosA

34AA.1031010310B. C.D. 

10101010BDC【答案】C

【解析】如图所示，可设BDAD1，则AB2，DC2，AC5，由余弦定理知，cosA25922510 10【考点】解三角形

(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为

A. 18365B. 54185C. 90D. 81 【答案】B

【解析】由三视图可知该几何体是一个平行六面体，上下底面为俯视图的一半，各个侧面平行四边形，故表面积为 2332362393654185 【考点】三视图、多面体的表面积

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(10)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是

A. 4πB. 【答案】B

【解析】由题意知，当球为直三棱柱的内接球时，体积最大，选取过球心且平行于直三棱柱底面的截面，如图所示，则由切线长定理可知，内接圆的半径为2， 又AA1322，所以内接球的半径为【考点】内接球半径的求法

493，即V的最大值为R3

32232π9πC. 6πD.

321068x2y2(11)已知O为坐标原点，F是椭圆C：221(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.

abP为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为 1213A. B. C. D.

3324yPEMAON【答案】A

ONOBaMFMFAFac,【解析】易得 MFBFacOE2ONAOa1aacac 2acaacec1 a3BFx【考点】椭圆的性质、相似

(12)定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（ ） A．18个 B．16个 C．14个 D．12个 【答案】C 【解析】

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01111011101011110100111010111011 0011101010111010111010110011101【考点】数列、树状图

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

xy10(13)设x，y满足约束条件x2y0，则zxy的最大值为________.

x2y20【答案】

3 231【解析】三条直线的交点分别为2,1,1,,0,1，代入目标函数可得3,,1，故最小值为10

22【考点】线性规划

(14)函数ysinx3cosx的图像可由函数ysinx3cosx的图像至少向右平移______个单位长度得到. 【答案】

2 3【解析】ysinx3cosx2sinx,ysinx3cosx2sinx，故可前者的图像可由后者向

33右平移

2个单位长度得到 3【考点】三角恒等变换、图像平移

(15)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)lnx3x，则曲线yfx在点1,3处的切线方程是______

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【答案】2xy10 【解析】法一：f'(x)1133，f'12，f'12，故切线方程为2xy10 xx13,f'12，故切线方程为2xy10 x法二：当x0时，fxfxlnx3x，f'x【考点】奇偶性、导数、切线方程

mxy3m30与圆x2y212交于A,B两点，(16)已知直线l：过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点，若AB23，则|CD|__________. 【答案】3

【解析】如图所示，作AEBD于E，作OFAB于F，

AB23,OA23,OF3，即

3m3m213，m33 ∴直线l的倾斜角为30°

CDAE23323 【考点】直线和圆、弦长公式

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)

已知数列an的前n项和Sn=1+λan，其中λ≠0． (1) 证明an是等比数列，并求其通项公式； (2) 若S53132，求λ． 【答案】(1) ；(2) 【解析】 解：(1) Sn1an,0

an0

当n2时，anSnSn11an1an1anan1 即1anan1，

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yBFAECDx0,an0,10,即1

即

an,n2， an11∴an是等比数列，公比q1，

当n=1时，S11a1a1， 即a11 1n11an11

（2）若S531 32

51151131则S5132 1111

【考点】等比数列的证明、由Sn求通项、等比数列的性质 (18)(本小题满分12分)

下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.

(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注：

参考数据：yi9.32，tiyi40.17，i1i177(yi17iy)20.55，7≈2.646.

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参考公式：r(ti1nit)(yiy)n(ti1n ，it)2(yiy)2i1回归方程yabt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

b(ti1nit)(yiy)aybt ，i(ti1nt)2【答案】(1)见解析；(2)y0.920.10t，1.82亿吨 【解析】

12345674，y(1) 由题意得t7yi17i71.331

r(ti17it)(yiy)7(ti17tyii1ninty7it)2(yiy)2i1(ti1740.17741.33280.550.99

it)2(yiy)2i1因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归方程来拟合y与t的关系

(2) b(ti1nit)(yiy)i(ti1nt)22.890.103 28aybt1.330.10340.92

所以y关于t的线性回归方程为yabt0.920.10t 将t9代入回归方程可得，y1.82

预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨

【考点】相关性分析、线性回归 (19)(本小题满分12分)

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点. (1)证明MN∥平面PAB；

(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

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【答案】(1) 见解析；(2)

85 252AD2，取BP的中点T，连接AT,TN， 3【解析】(1) 由已知得AM由N为PC中点知TN//BC，TN1BC2. ......3分 2又AD//BC，故TN平行且等于AM，四边形AMNT为平行四边形， 于是MN//AT.

因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN//平面PAB. ........6分

(2) 取BC中点E，连接AE，则易知AEAD，又PA面ABCD，故可以A为坐标原点，以AE为x轴，以AD为y轴，以AP为z轴建立空间直角坐标系，

则A0,0,0、P0,0,4、C55,2,0、N,1,22、M0,2,0

55AN,1,2,PM0,2,4,PNN,1,222



故平面PMN的法向量n0,2,1

455285 25cosAN,n直线AN与平面PMN所成角的正弦值为85 25【考点】线面平行证明、线面角的计算 (20)(本小题满分12分)

已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.

(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；

(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程. 【答案】(1) 见解析；(2) y2x1 【解析】

(1)法一：

1由题设F(,0).设l1:ya,l2:yb，则ab0，且

2a2b2111abA(,a),B(,b),P(,a),Q(,b),R(,). 222222.

记过A,B两点的直线为l，则l的方程为2x(ab)yab0. .....3分 由于F在线段AB上，故1ab0. 记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则

k1ab1a2aba2ab1aababk2. 所以AR∥FQ. ......5分 法二：

证明：连接RF，PF，

由AP=AF，BQ=BF与AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°， ∴∠PFQ=90°， ∵R是PQ的中点， ∴RF=RP=RQ， ∴△PAR≌△FAR，

∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，

∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR， ∴∠FQB=∠PAR， ∴∠PRA=∠PQF， ∴AR∥FQ．

(2)设l与x轴的交点为D(x1,0)， 则S1ABF2baFD12bax1ab12,SPQF2. 由题设可得

12bax1ab122，所以x10(舍去)，x11. 设满足条件的AB的中点为E(x,y). 当AB与x轴不垂直时，由k2ABkDE可得abyx1(x1). 而

ab2y，所以y2x1(x1). 当AB与x轴垂直时，E与D重合.所以，所求轨迹方程为y2x1. 【考点】抛物线、轨迹方程 (21)(本小题满分12分)

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....12分 设函数fxacos2xa1cosx1，其中a0，记fx的最大值为A. (1)求f'x； (2)求A；

(3)证明：f'x2A. 【答案】见解析 【解析】

(1)f'x2asin2xa1sinx

(2)当a1时，|f(x)||acos2x(a1)(cosx1)|a2(a1)3a2f(0) 因此，A3a2．

当0a1时，将f(x)变形为f(x)2acosx(a1)cosx1． 令g(t)2at(a1)t1，则A是|g(t)|在[1,1]上的最大值，

22g(1)a，g(1)3a2，且当t1a时，g(t)取得极小值， 4a1a(a1)2a26a1)1极小值为g(． 4a8a8a令11a11，a． 1，解得a（舍去）

4a351时，g(t)在(1,1)内无极值点，|g(1)|a，|g(1)|23a，|g(1)||g(1)|，所以5①当0aA23a．

②当

11aa1时，由g(1)g(1)2(1a)0，知g(1)g(1)g()． 54a1aa26a11a(1a)(17a))|又|g(． )||g(1)|0，所以A|g(4a8a4a8a123a,0a52a6a11,a1． 综上，A8a53a2,a1(3)由(1)得|f(x)||2asin2x(a1)sinx|2a|a1|. 当0a'1'时，|f(x)|1a24a2(23a)2A. 5.

当

1a13a1时，A1，所以|f'(x)|1a2A. 588a4''当a1时，|f(x)|3a16a42A，所以|f(x)|2A. 【考点】导函数讨论单调性、不等式证明

请考生在22、23、24题中任选一题作答,作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做,则按所做的第一题计分。

(22)(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲

如图，⊙O中AB的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点。 (I)若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；

(II)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD。

【答案】见解析 【解析】

(1)连结PB,BC，则BFDPBABPD,PCDPCBBCD.

因为APBP，所以PBAPCB，又BPDBCD，所以BFDPCD. 又PFDBFD180,PFB2PCD，所以3PCD180， 因此PCD60.

(2)因为PCDBFD，所以PCDEFD180，由此知C,D,F,E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C,D,F,E四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上，因此OGCD. 【考点】几何证明选讲

(23)(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程

x3cos在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为(为参数)。以坐标原点为极点，x轴正半轴为极

ysin轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin22. 4(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求PQ的最小值与此时P的直角坐标.

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【答案】见解析 【解析】

x2(1)C1的普通方程为y21，C2的直角坐标方程为xy40. ……5分

3(2)由题意，可设点P的直角坐标为(3cos,sin)，因为C2是直线，所以|PQ|的最小值， 即为P到C2的距离d()的最小值，d()|3cossin4|22|sin()2|.

3………………8分

当且仅当2k31(kZ)时，d()取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为(,). 622………………10分

【考点】坐标系与参数方程

(24)(本小题满分10分)，选修45：不等式选讲 已知函数fx2xaa.

(1)当a=2时，求不等式fx6的解集；

(2)设函数gx2x1.当xR时，fxgx3，求a的取值范围。 【答案】(1){x|1x3}；(2)[2,) 【解析】

(1)当a2时，f(x)|2x2|2. 解不等式|2x2|26，得1x3.

因此，f(x)6的解集为{x|1x3}. ………………5分 (2)当xR时，f(x)g(x)|2xa|a|12x| |2xa12x|a |1a|a，

当x1时等号成立， 2所以当xR时，f(x)g(x)3等价于|1a|a3. ① ……7分 当a1时，①等价于1aa3，无解. 当a1时，①等价于a1a3，解得a2. 所以a的取值范围是[2,). ………………10分 【考点】不等式选讲

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