知识讲解 机械能复习与巩固 提高

机械能复习与巩固

编稿：周军 审稿：隋伟

【学习目标】

1.做功的计算方法。

2.动能定理的内容及其应用

3.机械能守恒定律内容及其与其他运动形式的综合应用 4.能量守恒定律及应用 【知识网络】

【要点梳理】 要点一、功 要点诠释： 1．功的概念

（1）定义：物体受到力的作用，并且在力的方向上发生了一段位移，我们说力对物体做了功。 （2）功的定义式：W=Flcosα

（3）功的单位：国际制单位是焦耳，符号J。 （4）功是标量，只有大小，没有方向。 2．关于总功的计算 楊老师联系电话（微信）无

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一个物体往往同时在若干个力作用下发生位移，每个力都可能做功，它们所做的功产生的效果，即是总功产生的效果。

总功的计算一般有两个途径：

（1）对物体受力分析，求合力，再求合力做功——总功。

（2）对物体受力分析，确定每个力的方向（或反方向）上的位移，求出每个力所做的功，然后再求它们的代数和——总功。

要点二、功率 要点诠释： 1．物理意义

功率是表示做功快慢的物理量。所谓做功快慢的实质是物体（或系统）能量转化的快慢。 2．功率的大小

力做的功和做这些功所用时间的比值叫功率，即：P=这两种表达形式在使用中应注意： (1)PW=Fvcosα，其中α是力与速度间的夹角 tW是求一个力在t时间内做功的平均功率。 t(2)P= Fvcosα有两种用法：

①求某一时刻的瞬时功率。这时F是该时刻的作用力大小，v取瞬时值，对应的P为F在该时刻的瞬时功率；

②求某一段时间内的平均功率。当v为某段时间（位移）内的平均速度时，要求在这段时间（位移）内F为恒力，对应的P为F在该段时间内的平均功率。 3.机车启动的两种方式

（1）恒定功率P0（一般以额定功率）的加速

依公式P=Fv可知，P不变，随着汽车速度v的增加，F只能逐渐减小；物体的加速度aFf，尽m管F减小，但F＞f，故汽车做加速度逐渐减小的加速运动，直到a=0；以后汽车做匀速直线运动。 当牵引力F=f（a=0）时，汽车具有最大速度vm（2）恒定牵引力的加速（即恒定加速度启动）

P0。 f

要点三、重力势能 要点诠释： 1.重力势能

EPmgh

2.重力做功跟重力势能变化的关系

重力势能的变化过程，也是重力做功的过程，二者的关系为WGEP1EP2mgh1mgh2，EP1表示楊老师联系电话（微信）无

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在初位置的重力势能，EP2表示在末位置的重力势能

（1）当物体由高处运动到低处时，WG0,Ep1Ep2，表明重力做正功时，重力势能减少，减少的重力势能等于重力所做的功。

（2）当物体由低处运动到高处时，WG0,Ep1Ep2，表明重力做负功时（即物体克服重力做功），重力势能增加，增加的重力势能等于克服重力所做的功。

要点四、动能定理 要点诠释： 1.内容

力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。这个结论叫动能定理。 另一表述：合外力对物体所做的总功等于物体动能的变化。 2.表达式

WEK2EK11212mv2mv1 22W是外力所做的总功，EK1、EK2分别表示初、末状态的动能。

要点五、机械能守恒定律

要点诠释： 1.机械能

物体的动能和势能之和称为物体的机械能。（势能包含重力势能和弹性势能） 2.机械能守恒定律

（1）机械能守恒定律的内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变，这叫做机械能守恒定律。 3.机械能守恒定律的三种表达式

（1）守恒的观点：Ek1Ep1Ek2Ep2，即初状态的动能与势能之和等于末状态的动能与势能之和。 （2）转化的观点：Ek减Ep增，即动能的减少量等于势能的增加量。

（3）转移观点：EA减 EB增，即由A、B两个物体组成的系统中，A物体的机械能的减少量等于B物体机械能的增加量。

要点六、能量转化和守恒定律 要点诠释： 1.内容

能量既不会消灭，也不会创生，它只会从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到另一个物体，而在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变。 2.定律的表达式

E初E末；E增E减

3.注意

（1）某种形式的能减少，一定存在其他形式的能增加，且减少量一定和增加量相等。 （2）某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。 4.功是能量转化的量度。做了多少功就有多少能量发生了转化。 楊老师联系电话（微信）无

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重力做功等于重力势能的变化； 合外力做功等于物体动能的变化。

【典型例题】

类型一、功的计算问题

例1、如图所示，物体以一定的初速度沿水平面，由A点滑到B点，摩擦力做功为W1，若该物体从沿两斜面滑到。摩擦力做功为W2，已知物体与各接触面的滑动摩擦因数均相同，则（ ） A．

B．

C．

D．不能确定

思路点拨：物体由A滑到B还是由程，

解析：

得摩擦力共做负功：

滑到 由

。滑动摩擦力是阻力，对物体做负功。由A滑到B的过滑到

的过程，摩擦力是变力，只能分段求，再求总功。

∴

正确选择：A。

答案：A

总结升华：摩擦力做功和路程有关系。 举一反三

【高清课程：机械能复习与巩固 例题1】

【变式】如图所示，子弹水平射入木块，在射穿前的某时刻，子弹进入木块深度为d，木块位移为s，设子弹与木块相互作用力大小为f，则此过程中 木块对子弹做功Wf子=；子弹对木块做功Wf木=；一对作用力与反作用力f对系统做功Wf系=；

答案：-f(s+d)；fs；-fd

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例2、成年人的正常的心跳每分钟为75次，一次血液循环中左心室的血压(可以看成心脏送血的压强)的平均值为1.37×104 Pa，左、右心室收缩时射出的血量均为70 mL，右心室对肺动脉的压力为左心室的0.2倍，由此估算心脏工作时每分钟做的总功．

【解析】一次心跳左心室做的功为W1pV1.37×104×70×106J＝0.959 J。 一次心跳右心室做的功为W2W10.1918J．

故每分钟做的总功为W＝n(W1+W2)＝86.31 J．

类型二、机车启动问题 例3、汽车发动机的额定功率为Pm＝60 kW，汽车质量为m＝5t，运动时与地面间的动摩擦因数为μ＝0.1．求：

(1)汽车所能达到的最大速度vm；

(2)若汽车以a＝0.5 m/s2的加速度由静止开始做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间?(取g＝10m/s2)

(3)当速度v1＝4 m/s时，汽车的加速度a1，是多大？功率P1是多大? (4)当速度v2＝10 m/s时，汽车的加速度a2是多大?功率P2是多大?

【思路点拨】分析汽车匀加速运动物理过程，理解P与F之间的变化关系，是本题的难点． 【解析】(1)当汽车达最大速度vm时，a＝0，牵引力F等于阻力f，f＝μmg．

15PmPm60103m/s12m/s． 由Pm＝Fvm得最大速度大小为：vm3Fmg0.151010(2)汽车从静止开始匀加速启动，牵引力F恒定且由F-f＝ma， 得：F＝f+ma＝μmg +ma．

由于速度不断增大，因此发动机功率P也不断增大(因P＝Fv∝v)，当功率增至额定功率Pm时，匀加速运动结束，其匀速运动阶段的最大速度为：

PmPm60103vm/s＝8 m/s． 33Fmgma0.1510105100.5 故可知加速运动维持的时间为tv8s16s． a0.5(3)由于速度v1＝4 m/s＜v′，因此汽车仍处于匀加速运动阶段，故加速度

a1＝a＝5 m/s2，

功率：P1＝Fv1＝(f+ma)v1＝(0.1×5×103×10+5×103×0.5)×4W＝3×104 W＝30kW． (4)由于速度v2＝10 m/s＞v′，且v2＜v1，因此汽车做变加速运动，其功率P2＝Pm＝60 kW．

P260103 由P2＝F2v2得牵引力F2N6103N．

v210F2f61030.1510310m/s20.2m/s2． 加速度a23m510 【总结升华：】当汽车加速度为零时，速度增至最大，此时所受合力为零；当汽车功率还没有达到额

定功率时，汽车维持匀加速运动，实际功率随速度增大而增大；当汽车实际功率达到额定功率以后，随着速度的增大，汽车牵引力不断减小，汽车做变加速运动，直到最终匀速运动． 举一反三

【高清课程：机械能复习与巩固 例题2】

32

【变式1】一质量为4.010kg的汽车从静止开始以加速度a = 0.5m/s做匀加速直线运动，其发动机楊老师联系电话（微信）无

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2

的额定功率P = 60kW，汽车所受阻力为车重的0.1倍，g = 10m/s，求： (1)启动后2s末发动机的输出功率 (2)匀加速直线运动所能维持的时间 (3)汽车所能达到的最大速度

【答案】(1)6000W；（2）20s；（3）15m/s

【变式2】汽车发动机的额定功率60千瓦，汽车的质量5吨，汽车在水平路面上行驶时，阻力是车重的0.1倍。问：

（1）汽车保持以额定功率从静止起动后能达到的最大速度是多少？

2

（2）汽车从静止开始，保持以0.5m/s的加速度做匀加速运动，这一过程能维持多长时间？

解析：（1）

（2）汽车以恒定的加速度起动：

结论：以恒定加速度起动、到速度达到最大值，经历两个过程，匀加速直线运动和变加速直线运动，维持匀加速直线运动到输出功率等于额定功率时：

Fmaf

F51030.551030.17.5103N

P60103PFvv8m/s 3F7.510tv816s a0.5

类型三、动能定理的应用

例4、假定地球、月球都静止不动，用火箭从地球沿地月连线向月球发射一探测器．假定探测器在地球表面附近脱离火箭．用W表示探测器从脱离火箭处飞到月球的过程中克服地球引力做的功，用Ek表示探测器脱离火箭时的动能，若不计空气阻力，则()

A．Ek必须大于或等于W，探测器才能到达月球 B．Ek小于W，探测器也可能到达月球

1W，探测器一定能到达月球 21D．EkW，探测器一定不能到达月球

2C．Ek 【答案】B、D

【解析】探测器从地球向月球运动的过程中，有地球引力与月球引力做功，设月球对探测器做的功为

W月，当探测器刚好能到达月球表面时，由动能定理可得0EkW月W，因为月球对探测器做功，所

以Ek小于W，探测器也可能到达月球，B正确；因探测器在地球与月球的引力作用下先做减速运动，再楊老师联系电话（微信）无

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做加速运动，故探测器能到达地球对探测器的引力与月球对探测器的引力相等处，则可以到达月球．设探

因为W月测器刚好能到达该处，由动能定理有：0EkW月W，

所以当EkW月EW，W，故应有Ekk，2221W时，探测器不可能到达月球．正确答案为B、D． 2 【总结升华】本题考查了动能定理的灵活应用，本题中虽然不能定量求得地球引力对探测器做的功，但可以比较地球引力与月球引力做功的大小关系，从而应用动能定理得出结论． 举一反三

【高清课程：机械能复习与巩固 例题7】

【变式1】一质量 m=2kg的物块，放在高h=2m的平台上，现受一水平推力F=10N ，由静止开始运动，物块与平台间的动摩擦因数μ=0.2。当物块滑行了s1= 5m 时撤去F ，继续向前滑行s2=5m 后飞出平台，不计空气阻力，求物块落地时速度的大小?

【答案】52m/s 【变式2】一辆汽车的质量是5×10 kg，发动机的额定功率为60 kW,汽车所受阻力恒为5 000 N，如

2

果汽车从静止开始以0. 5 m/s的加速度做匀加速直线运动，功率达到最大后又以额定功率运动了一段距离后汽车达到了最大速度，在整个过程中，汽车运动了125 m．问在这个过程中，汽车发动机的牵引力做功多少？

下面是甲、乙两位同学的解法：

甲同学：t3

2sa2125s22.36s 0.5WPt610422.361.34106J

乙同学：F=ma＋f=7500 N.

5

W=Fs=7 500×125 J =9. 375×10 J.

请对上述两位同学的解法做出评价，若都不同意请给出你的解法． 解析：甲、乙两位同学的解法都不正确． 甲同学把125 m全部当做匀加速直线运动的位移，求出运动时间t，这一步就错了，然后又用公式W=Pt来求牵引力做功，而汽车在做匀加速运动的过程中功率是逐渐变大的，这一步骤又错了．

而乙同学的做法中，第一步是正确的，但力F是汽车做匀加速运动时的牵引力，当汽车以额定功率行驶时，牵引力是变力，做功不能用W=Fs来计算．

P6104m/s12m/s 正确的解法是：汽车行驶的最大速度为vf5000根据动能定理得Wfs12mv0， 2W12mvfs9.85105J。 2【变式3】杂技演员在进行“顶杆”表演时，用的是一根质量可忽略不计的长竹竿，质量为30 kg的演员自杆顶由静止开始下滑，滑到杆底时速度正好为零．已知竹竿底部与下面顶杆人肩部之间有一传感器，

2

传感器显示顶杆人肩部的受力情况如图所示，取g= 10 m/s。求： (1)杆上的人下滑过程中的最大速度； (2)竹竿的长度．

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解析：(1)以人为研究对象，人加速下滑过程中受重力mg和杆对人的作用力F1，由题图可知，人加速下滑过程中杆对人的作用力F1为180 N．由牛顿第二定律得

2

mg一F1 =ma，则a=4 m/s.

1s末人的速度达到最大，则v=at1=4 m/s.

(2）加速下降时位移为：s112at1=2 m. 212mv, 2减速下降时，由动能定理得(mgF2)s20代入数据解得s24m,ss1s26m.

类型四、功能关系

例5、面积很大的水池，水深为H，水面上浮着一正方体木块，木块边长为a，密度为水的一半，质量为a．开始时，木块静止，有一半没入水中，如图所示．现用力F将木块缓慢地压到池底，不计水的阻力，求：

(1)从木块刚好完全没入水中到停在池底的过程中，池水势能的改变量； (2)从开始下压到木块刚好完全没入水的过程中，力F所做的功．

【思路点拨】本题中因水池的水面面积很大，所以浮在水面上的木块完全没入水中时，不考虑池中水深的变化，这是个重要的隐含条件．

【解析】(1)如图中1和2分别表示木块在刚没入水中时和到达池底对的位置．本块从l移到2，相当于使等体积的水从2移到1，所以池水势能的改变量等于这部分水在位置1和位置2的势能之差．因为木块密度为水的一半，木块的质量为m，所以与木块等体积的水的质量为2m，故池水势能的改变量为

aa△EP2mgH2mg2mg(Ha)．

22

(2)因为水池面积很大，可忽略因木块压入水中所引起的水深变化．木块刚好完全没入水中时，图中原来处于划斜线区域的水被排开，后果等效于使这部分水平铺于水面，这部分水的质量为m，其势能的改变量

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33△Ep1mgHmgHamga．

44木块势能的改变量为

a1△Ep2mgHmgHmga．

22根据功能原理，力F所做的功为

W△Ep1△Ep2311mgamgamga． 424举一反三

【高清课程：机械能复习与巩固 例题2】

【变式】一质量为m的物体以某一速度从A点冲上一个倾角为30°的斜面，其运动的加速度为3g/4。这个物体在斜面上上升的最大高度为h，则在这过程中（ ） A．物体的重力势能增加了3mgh/4 B．物体的机械能损失了mgh/2 C．物体的动能损失了mgh

D．物体的重力势能增加了mgh 【答案】BD

类型五、机械能、能量守恒问题

例6、如图所示，水平传送带AB为L=21m，以6m/s顺时针匀速转动，台面传送带平滑连接于B点，半圆形光滑轨道半径R=1.25m，与水平台面相切于C点， BC长S=5.5m，一质量为m=1kg的小物块（可视为质点），从A点无初速释放，物块与带及台面间的动摩擦因数0.1.求： （1）物块从A点一直向右运动到C点所用时间。

（2）试分析物块能否越过与圆心O等高的P点？若能，物块做斜抛还是平抛；若不能，最终将停在离C点多远处？

思路点拨：此题过程比较复杂，属于单物体多过程问题，要注重过程的分解，定律、定理的选取。 解析：（1）开始物块在传送带上做匀加速运动，由牛顿第二定律：

umgma ①

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设经时间t1达到与带同速，此时物块对地面前进x,vat1 ②

x12at1 ③ 2得t1=6s x=18m，因x=18m<21m，故后段在带上匀速用时t2

Lxvt2 t2=0.5s ④

从B至C过程减速运动用时t3，到达C点速度为vc， 由动能定理 mgs而vcvat3 ⑥ 解得：vc5m/s1212mvcmv ⑤ 22t31s ⑦

故从A点一直向右运动到C点的时间为tt1t2t37.5s ⑧ （2）设物块不能越过P点，由机械能守恒定律：

12mvcmgh ⑨ 2解得h=1.25m，因h=R，故物块不能越过P点 ⑩

物体将沿圆周返回C点，在BC上减速后冲上传送带再返回，返回B时动能同冲上B时一样，物块从第一次返回C至停止运动的过程，动能减少在BC之间的往复运动上 对该过程由功能关系：mgS故物体停在距C点1.5m处。

总结升华：在解决这类问题时，首先要分清物体的运动过程，做好受力分析，把多过程分解为多个单过程，注意每个单过程的连接点。 举一反三

【变式】如图所示，倾角θ=30°的光滑斜面固定于光滑水平面上，斜面与水平面的连接处是光滑圆弧，在斜面上距水平面高分别为h=0.2m和H=0.8m的两个位置同时由静止释放两个物体A和B（均可看成是质点）。g取10m/s，求：

（1）A、B两物体滑到水平面时的速度大小vA和vB；

（2）从开始释放A、B两物体到B的物体上追上A物体所用的总时间t。

2

12mvc2S12.5m

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解析：（1）设A物体的质量为m，B物体的质量为M。A、B两物体下滑过程机械能守恒：

mgh12mvA2MgH12 MvB2 解得：vA2gh2m/s

vB2gH4m/s

（2）设A、B两物体下滑的时间分别为为tA、tB。由牛顿第二定律求得A、B两物体下滑的加速度均为：agsin

由运动学公式：vAatA 解得：tAvA/a0.4svBatB tBvB/a0.8s

在水平面上两物体均做匀速运动，所以当B物体追上A物体时，有

vA(ttA)vB(ttB)

解得：t1.2s

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