楚雄市第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 已知数列｛an｝满足an8和m，则Mm（ ）

2n7（nN）.若数列｛an｝的最大项和最小项分别为M n21127259435 B． C． D． 2232321x2,x1,312． 若函数f(x)则函数yf(x)x的零点个数为（ ）

32lnx,x1,A．

A．1 B．2 C．3 D．4 3． “ab3”是“圆x2y22x6y5a0关于直线yx2b成轴对称图形”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【命题意图】本题考查圆的一般方程、圆的几何性质、常用逻辑等知识，有一定的综合性，突出化归能力的考查，属于中等难度．

4． 设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＜0}=（ ）

A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|0＜x＜4}

5． 在等差数列{an}中，a1+a2+a3=﹣24，a10+a11+a12=78，则此数列前12项和等于（ ） A．96

B．108 C．204 D．216

﹣

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线l⊥x轴交双曲线C

6． 已知双曲线C：

的渐近线于点A，B若以AB为直径的圆恰过点F2，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2 D．

7． 已知直线x﹣y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2的值为（ ） A．

或﹣

B．

或3

C．

或5

D．3

或5

8． 下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m表示．若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m的可能取值集合为（ ）

A．

B．

C．

D．

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x﹣4y+7=0相交于A，B两点，且•=4，则实数a

9． 圆心在直线2x＋y＝0上，且经过点（－1，－1）与（2，2）的圆，与x轴交于M，N两点，则|MN|＝（ ） A．42 C．22

题的个数为（ ） A．0

B．1

C．2

D．3

（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为 B．

C．

D．

=

+x

+y

，

，则双曲线的离心率为（ ）

B．45 D．25

10．直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”的逆命题、否命题、逆否命题中真命

11．已知双曲线 A．

12．如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为上底面对角线A1C1的中点，若则（ ）

A．x=﹣ B．x= C．x=﹣ D．x=

二、填空题

13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AC所成的角是 °．

y2x14．设x,y满足约束条件xy1，则zx3y的最大值是____________．

y1015．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是2，另一组数据ax1，ax2，ax3，ax4，ax5（a0） 的标准差是22，则a ． 16．若圆

与双曲线C：

的渐近线相切，则

_____；双曲线C的渐近线方程是

____．

17．当a＞0，a≠1时，函数f（x）=loga（x﹣1）+1的图象恒过定点A，若点A在直线mx﹣y+n=0上，则4m+2n的最小值是 ．

18．已知f（x）＝x（ex＋ae－x）为偶函数，则a＝________．

三、解答题

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19．【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】为了制作广告牌，需在如图所示的铁片上切割出一个直角梯形，已知铁片由两部分组成，半径为1的半圆O及等腰直角三角形EFH，其中FEFH，为裁剪出面积尽可能大的梯形铁片ABCD（不计损耗），将点A,B放在弧EF上，点C,D放在斜边EH上，且AD//BC//HF，设AOE.

（1）求梯形铁片ABCD的面积S关于的函数关系式；

（2）试确定的值，使得梯形铁片ABCD的面积S最大，并求出最大值.

20．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求圆C的极坐标方程； （Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+的交点为Q，求线段PQ的长．

）=3

（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极

，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l

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21．（本题满分13分）已知函数f(x)（1）当a0时，求f(x)的极值；

（2）若f(x)在区间[,2]上是增函数，求实数a的取值范围.

【命题意图】本题考查利用导数知识求函数的极值及利用导数来研究函数单调性问题，本题渗透了分类讨论思想，化归思想的考查，对运算能力、函数的构建能力要求高，难度大.

22．已知一个几何体的三视图如图所示． （Ⅰ）求此几何体的表面积；

（Ⅱ）在如图的正视图中，如果点A为所在线段中点，点B为顶点，求在几何体侧面上从点A到点B的最短路径的长．

12ax2xlnx. 213

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23．已知函数f（x）=

（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间； （2）当

24．（本小题满分16分）

在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量hx（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式hxfxgx（3x7，m为常数），其中fx与x3成反比，gx与x7的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套. （1） 求hx的表达式；

（2） 假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）

时，求f（x）的最大值，并求此时对应的x的值．

．

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楚雄市第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】D 【解析】

2n72n52n52n7a8aa，， n1n1nnn1n12222n2n522n72n9，当1n4时，an1an,即a5a4a3a2a1；当n5时,an1an,

2n12n111259a1,最小即a5a6a7....因此数列an先增后减,n5,a5为最大项，n,an8，

2321111259435项为，mM的值为．故选D.

223232试题分析：数列an8考点：数列的函数特性. 2． 【答案】D 【

解

析

】

考点：函数的零点．

【易错点睛】函数零点个数的判断方法：（1）直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：要求函数在[a,b]上是连续的曲线，且f(a)f(b)0.还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点．（3）图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

3． 【答案】A

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【

解析】

4． 【答案】D

【解析】解：∵偶函数f（x）=2x﹣4（x≥0），故它的图象 关于y轴对称，

且图象经过点（﹣2，0）、（0，﹣3），（2，0）， 故f（x﹣2）的图象是把f（x）的图象向右平移2个 单位得到的，

故f（x﹣2）的图象经过点（0，0）、（2，﹣3），（4，0）， 则由f（x﹣2）＜0，可得 0＜x＜4， 故选：D．

【点评】本题主要考查指数不等式的解法，函数的图象的平移规律，属于中档题．

5． 【答案】B

【解析】解：∵在等差数列{an}中，a1+a2+a3=﹣24，a10+a11+a12=78， ∴3a2=﹣24，3a11=78，解得a2=﹣8，a11=26， ∴此数列前12项和

=

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=6×18=108， 故选B．

【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式，以及等差数列的性质，属于基础题．

6． 【答案】D

【解析】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），则l的方程为x=﹣c， 双曲线的渐近线方程为y=±x，所以A（﹣c， c）B（﹣c，﹣ c） ∵AB为直径的圆恰过点F2 ∴F1是这个圆的圆心 ∴AF1=F1F2=2c ∴c=2c，解得b=2a ∴离心率为=故选D．

【点评】本题考查了双曲线的性质，如焦点坐标、离心率公式．

7． 【答案】C

22

【解析】解：圆x+y+2

=

x﹣4y+7=0，可化为（x+

2

）+（y﹣22

）=8．

∵•=4，∴2•2cos∠ACB=4

∴cos∠ACB=， ∴∠ACB=60°

∴圆心到直线的距离为∴∴a=

或5

．

=

， ，

故选：C．

8． 【答案】C

【解析】【知识点】样本的数据特征茎叶图 【试题解析】由题知：所以m可以取：0，1，2． 故答案为：C 9． 【答案】

【解析】选D.设圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）．

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2a＋b＝0

由题意得（－1－a）＋（－1－b）＝r，

（2－a）＋（2－b）＝r

2

2

2

2

2

2

解之得a＝－1，b＝2，r＝3，

∴圆的方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝9， 令y＝0得，x＝－1±5，

∴|MN|＝|（－1＋5）－（－1－5）|＝25，选D. 10．【答案】B

【解析】解：∵直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”， ∴命题P是真命题，∴命题P的逆否命题是真命题； ￢P：“若直线m不垂直于α，则m不垂直于l”，

∵￢P是假命题，∴命题p的逆命题和否命题都是假命题． 故选：B．

11．【答案】A

【解析】解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x轴上， ∴设双曲线的方程为

，（a＞0，b＞0）

由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x，结合题意一条渐近线方程为y=x， 得=，设b=4t，a=3t，则c=∴该双曲线的离心率是e==． 故选A．

=5t（t＞0）

，

【点评】本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．

12．【答案】A

【解析】解：根据题意，得； ===又∵

+﹣=+（+++x+

） ， +y

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∴x=﹣，y=， 故选：A．

a，

【点评】本题考查了空间向量的应用问题，是基础题目．

二、填空题

13．【答案】 60° °．

【解析】解：连结BC1、A1C1，

∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A平行且等于C1C， ∴四边形AA1C1C为平行四边形，可得A1C1∥AC，

因此∠BA1C1（或其补角）是异面直线A1B与AC所成的角， 设正方体的棱长为a，则△A1B1C中A1B=BC1=C1A1=∴△A1B1C是等边三角形，可得∠BA1C1=60°， 即异面直线A1B与AC所成的角等于60°． 故答案为：60°．

【点评】本题在正方体中求异面直线所成角和直线与平面所成角的大小，着重考查了正方体的性质、空间角的定义及其求法等知识，属于中档题．

14．【答案】【解析】

试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点A,

7 3712处取得最大值为. 333第 10 页，共 18 页

考点：线性规划． 15．【答案】2 【解析】

试题分析：第一组数据平均数为x,(x1x)2(x2x)2(x3x)2(x4x)2(x5x)22，

(ax1ax)2(ax2ax)2(ax3ax)2(ax4ax)2(ax5ax)28,a24,a2．

考点：方差；标准差． 16．【答案】

，

【解析】【知识点】圆的标准方程与一般方程双曲线 【试题解析】双曲线的渐近线方程为：圆

的圆心为（2，0），半径为1．

因为相切，所以

所以双曲线C的渐近线方程是：

故答案为：， 17．【答案】 2 ．

【解析】解：整理函数解析式得f（x）﹣1=loga（x﹣1），故可知函数f（x）的图象恒过（2，1）即A（2，1），

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故2m+n=1．

mn∴4+2≥2

=2=2．

mn

当且仅当4=2，即2m=n，

即n=，m=时取等号．

mn

∴4+2的最小值为2

．

故答案为：2

18．【答案】

【解析】解析：∵f（x）是偶函数，∴f（－x）＝f（x）恒成立， 即（－x）（e－x＋aex）＝x（ex＋ae－x）， ∴a（ex＋e－x）＝－（ex＋e－x），∴a＝－1. 答案：－1

三、解答题

19．【答案】（1）S21sincos，其中02.（2）6时，Smax【解析】试题分析：（1）求梯形铁片ABCD的面积S关键是用表示上下底及高，先由图形得

33 2AOEBOF，这样可得高AB2cos，再根据等腰直角三角形性质得AD1cossin，

BC1cossin最后根据梯形面积公式得S0ADBCAB221sincos，交代定义域

6，

2．（2）利用导数求函数最值：先求导数f'22sin1sin1，再求导函数零点列表分析函数单调性变化规律，确定函数最值

试题解析：（1）连接OB，根据对称性可得AOEBOF且OAOB1， 所以AD1cossin，BC1cossin，AB2cos， 所以SADBCAB221sincos，其中02．

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考点：利用导数求函数最值

【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′（x）＞0或f′（x）＜0求单调区间；第二步：解f′（x）＝0得两个根x1、x2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小． 20．【答案】

【解析】解：（I）圆C的参数方程

22

（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）+y=1．

把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程． （II）如图所示，由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+可得普通方程：直线l联立

，解得

，射线OM，即Q

． ．

）=3

，射线OM：θ=

．

联立，解得或．

∴P∴|PQ|=

．

=2．

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21．【答案】

【解析】（1）函数的定义域为(0,)，因为f(x)12ax2xlnx，当a0时，f(x)2xlnx，则2111.令f'(x)20，得x.…………2分 xx2所以x,f'(x),f(x)的变化情况如下表：

111(0,) (,) x 222f'(x) 0 － ＋ f'(x)2f(x) 所以当x↘ 极小值 ↗ 11时，f(x)的极小值为f()1ln2，函数无极大值.………………5分

22第 14 页，共 18 页

22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由三视图知：几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体，且圆锥与圆柱的底面半径为2，母线长分别为2

、4，

其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和． S圆锥侧=×2π×2×2S圆柱底=π×22=4π． ∴几何体的表面积S=20π+4则AB=

=

π；

=2

，

．

（Ⅱ）沿A点与B点所在母线剪开圆柱侧面，如图： ∴以从A点到B点在侧面上的最短路径的长为2

=4

π；

S圆柱侧=2π×2×4=16π；

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23．【答案】

【解析】解：（1）f（x）==sin2x+=

=sin（2x﹣周期T=π，

因为cosx≠0，所以{x|x≠当2x﹣

∈，即

+kπ，k∈Z}…5分

+kπ，x≠

+kπ，k∈Z时函数f（x）单调递减，

sinxcosx﹣ +

sin2x﹣ ）…3分

﹣

+kπ≤x≤

所以函数f（x）的单调递减区间为，，k∈Z…7分 （2）当sin（2x﹣故当x=

，2x﹣

∈，…9分

时取最大值，

）∈（﹣，1），当x=

时函数f（x）取最大值为1…12分

【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数最值的解法，属于基础题．

24．【答案】（1） hx101324x7 （3x7）（2） x4.3 x33第 16 页，共 18 页

试

题解析：（1） 因为fx与x3成反比，gx与x7的平方成正比， 所以可设：fx则hxfxgxk12 ，gxk2x7，.k10，k20，x3k12k2x7则 ………………………………………2分 x3因为销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为2.5元/套时，每日可售出套题69千套 k14k221k1102所以，h521,h3.569，即，解得：， ……………6分

k44922kk691241024x7 （3x7） ………………………………………8分 所以，hxx31024x7， （2） 由（1）可知，套题每日的销售量hxx3第 17 页，共 18 页

答：当销售价格为4.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.…………16分 考点：利用导数求函数最值

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