人教版八上-完全平方公式-教学设计(正式)

教学目标

（一）教学知识点

1．完全平方公式的推导及其应用． 2．完全平方公式的几何解释． （二）能力训练要求

1．经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力．

2．重视学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力． （三）情感与价值观要求

在灵活应用公式的过程中激发学生学习数学的兴趣，培养创新能力和探索精神． 教学重点 完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用． 教学难点 理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算．

教学过程

开场白：很高兴今天能和同学们一起学习，说明我们很有缘分哦！老师这里给同学们准备了一点小小的礼物，今天的课堂我们将开展小组竞争，看看哪些组收获多，前四名评为一等奖，后四名评为二等奖，奖品有区别的哦！

温馨提示：

1、耐心听取同学的讲解，有补充意见先举手再回答； 2、本节课的问题分为必答题和抢答题,抢答题问题出示后，先独立思考，然后开始讨论，在老师的示意下再起立，站起来人数最多的组将获得答题资格，老师再从该组任选一位同学先回答，其他同学可以接着补充；

3、获得必答题或者抢答题的机会后，本组要尽可能的全面回答，不留机会给其他组的同学.

Ⅰ．探究活动

[师]请同学们探究下列问题： （出示投影片，三个问题逐个出现）

（1）前面已经学习了多项式的乘法，你能说说运算法则吗？运算的依据是什么？（点学生口答，老师板书符号叙述.）(第一组必答题)

（2） (xb)(xd)可以利用公式直接写出结果，它是(ab)(cd)在acx时的特例. 在(ab)(cd)acadbcbd中，你认为还有哪些特殊情形？你能得到什么？（分组进行，完全放手让学生探究，学生的结论多种多样，包括完全平方公式和平方差公式.公式由学生自己总结得出，老师给予及时的评价.课堂中给学生充分思考、展示的时间.）(抢答题) （3）完全平方公式有哪些特征？请你用自己的语言描述公式.（学生分小组讨论和展示，老师板书公式的两种叙述）(抢答题)

[生]（1）文字叙述：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

符号叙述：(ab)(cd)acadbcbd. 运算依据是乘法分配律.

222（2）（预设）当acx，bdy时，有(xy)(xy)(xy)x2xyy；

222当acx，bdy时，有(xy)(xy)(xy)x2xyy;…

（3）完全平方公式的结构特征：公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方．而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．

文字叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍． 符号叙述：(ab)a2abb (ab)a2abb

[师]对学生的回答给予及时的肯定、鼓励．

[设计意图]完全平方公式是多项式乘法(ab)(cd)在ca,db时的特例，多项式乘法是完全平方公式的知识生长点.这样设计发挥教师“先行组织者”的作用，引导学生在多项式乘法基础上探究特例，切合知识的发生发展过程和内在的逻辑线索，符合学生的认知规律.

Ⅱ．几何解释

22 [师]如果a,b表示线段长，则a,b分别表示正方形的面积，你能根据公式形式，自己

222222构造图形表示完全平方公式吗？(抢答题)

[生]（预设学生的回答）

从几何角度去解释完全平方差公式．

[生甲]先看图（1），可以看出大正方形的边长是a+b．

还可以看出大正方形是由两个小正方形和两个矩形组成，•所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．

阴影部分的正方形边长是a，所以它的面积是a2；另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是b2；另外两个矩形的长都是a，宽都是b，所以每个矩形的面积都是ab；大正方形的边长是a+b，其面积是（a+b）2．于是就可以得出：（a+b）2=a2+2ab+b2．这正好符合完全平方公式．

[生乙] 如图（2）中，大正方形的边长是a，它的面积是a2；矩形DCGE与矩形BCHF是全等图形，长都是a，宽都是b，所以它们的面积都是a·b；正方形HCGM的边长是b，其面积就是b2；正方形AFME的边长是（a-b），所以它的面积是（a-b）2．从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形ABCD的面积减去两个矩形DCGE和BCHF的面积再加上正方形HCGM的面积．•也就是：（a-b）2=a2-2ab+b2．这也正好符合完全平方公式．

[设计意图]对公式进行几何解释时设计为学生自己构造图形，虽然探究教学耗时多，学生后面的练习量会有所减少，但学生的探究空间大，学生靠自己探究出公式，自己提出好的问题和研究思路.这样设计，希望学生的成就感能得到满足，对学习数学的兴趣能得到充分的激发.

Ⅲ．公式应用

类型一 直接应用

例1 用完全平方公式计算：（出示投影片）

①(53m) ②(ab) ③(x1.5y) ④(ab)

[师生]分析：利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步准确代入公式；第三步化简．（第④小题引导学生用不同的方法计算，深刻理解，灵活应用两个公式.分别请四位举手的学生口答，老师板书.） [师]通过这几个题目的计算，对于用完全平方公式计算，你有什么体会？是否还有新的发现？

[生]（预设）

用完全平方公式计算关键要掌握公式特征：即公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方．而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．

发现：①公式中字母的广泛含义：它可以是数字、字母或其他代数式，只要符合公式的结构特征，就可以运用这一公式．

2222 ②(ab)(ba) (ab)(ab)

222322[师]适时进行引导，对学生的回答给予及时的肯定、鼓励．

练习1 应用完全平方公式计算：（课本P110.1．出示投影片）（第二组必答题）

222 ① (x6) ② (y5) ③(2x5) ④(x3422y) 3 练习由学生独立完成，并随机点四位同学上台板演，师生集体评价.

类型二 灵活应用

例2 简便计算：（出示投影片）（第三组必答题）

① 99 ②(100)

[师]通过这两个题目的计算，你有什么体会？

练习2 （1）简便计算：（补充题．出示投影片） （第四组必答题）

①2002 ②99.9

练习由学生独立完成，并随机点两位同学上台板演，师生集体评价.

（2）将面积为a的正方形边长均增加2，则正方形的面积增加了（ ）（《原创》P60.7, 教材上有同类型的练习题，P112.5.）（第五组必答题） A.4 B.2a4 C.4a4 D.4a

（3） 如图，从边长为(a1)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a1)cm的正方形

2212222(a>1)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则该长方形的面积是（ ）

(《原创》P60.10.)（第六组必答题）

222A.2cm B.2acm C.4acm D.(a1)cm

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类型三 拓展应用

例3 已知xy5，xy6，则xy________. (《原创》P60.8,教材上有同类型的练习题，P112.7.)（第七组必答题）

2222 练习3 已知(xy)18，(xy)6，求xy和xy的值. (《原创》P61.14.)（第

22八组必答题）

[设计意图]根据教材和学生正在使用的配套练习册的题型、难度，以及授课班级学生的接受能力（该校初二有24个班，该班为实验班），设计四个类型的新知应用题目，由对公式的基本应用到灵活应用，由单纯数学练习到建立数学模型解决实际问题，这样由浅入深，既加深对新知的理解与运用，又为学生完成课后作业起很好的引导作用.根据课堂实际情况机动调节题量，类型四可以安排在小结后面或者下一个课时.

Ⅳ．课堂小结（抢答题）

（1）请你说说公式的结构特点及应用时应注意的问题.

（2）请你总结一下这节课讨论问题的基本过程.(从一般到特殊，考察特例.) （3）你能否循着上述思路，再提出一些值得研究的问题？ [设计意图]引导学生反思该课公式的探索过程，有利于学生积累基本活动经验；鼓励学生探究特例，有的学生提出推广次数，研究(ab)，(ab)……有的学生提出推广字母的个数，研究(abc)，有利于培养学生发现和提出问题的能力.同时，向学生渗透了从一般到特殊、归纳的思想，教给学生数学研究的一个重要的“基本套路”——考察特例.

234Ⅴ．课堂检测（抢答题）

（以下5个题目为学生练习册《原创》P60.1、2、3、9、16.）

21.计算：(2ab)___________；(3x2y)_____________.

22.计算：(m121n)____________；(2t)2___________. 24223.填空：（1）(2x___)_________9y； （2）(____3b)16a________.

4.(《原创》P60第9题）用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为

2a3b的正方形，需要A类卡片________张，B类卡片________张，C类卡片________张. a a b

a A类 C类 b b B类

5.(《原创》P60.16）已知xy1,xy25，求xy的值.

[设计意图]从学生手中的练习册中找题目，这是我常用的方法. 因为我们选择配备给学生的练习册往往题量是比较大的，如果全部留作课外作业，学生负担很重，有些练习也没有必要反复那么多次.这样既能给学生减负，让学生体会到老师对他的关爱，又能让学生看到老师选择的这本练习册的作用之大和之好，体会老师对工作的负责，也能感染学生认真学习.

VI. 课后作业

1. 课本P112习题14.2第2、5、7题．

2.《原创》P60-P61剩余的9个题（第4、5、6、8、11、12、13、15、17题）

[设计意图]题目类似例题，层层递进，也有高于课堂的思考题.学生通过独立完成课后作业，进一步提升对本节新知识的理解与应用，真正形成学数学用数学的能力.作业的情况则直接反馈给老师学生的掌握情况，有利于老师开展后续教学.

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