复数基础练习题(可编辑修改word版)

1． 1 i

1 3i

( )A． 2  i 5

B．

3  3i 5

C．

1 3i 3

D．

3  3i 3

）

z 满足： z 对应的点位于（ z1 i   2  i ，则在复平面上复数 2. 已知i 为虚数单位,复数

A．第一象限 B．第二象限

2

C．第三象限 D．第四象限

D． 2

3. 复数 z 满足 z 1  i 1  i ，则 z

 （

1

2 ）．A． B． C．1 2 2

）A．1 i B. 1+ 2i

)．A． B．

C.

z (1 i)  2i ，则复数 z  （ 4. 复数 z 满足

1 i

D.

1 i

5．若(1＋2ai)i＝1－bi，其中 a，b∈R，则|a＋bi|＝( C． D．5 B．2

C．1 或 2

D．-1

6．若复数a2  3a  2 a 1i 是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A．1

7. 复数



的虚部是( )A． B． C． D．1

，则 的虚部为（ ）A．-4

B．

C．4

D．

8. 已知复数 满足

9.

2  i 的共轭复数是（

复数 z 

1  2i

3 3

 i B. i C. i D. i ）.A． 5 5

分别是：(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？

10. 实数 m 取什么数值时，复数

11. 设复数

，当 为何值时.（Ⅰ） 是实数？ （Ⅱ） 是纯虚数？

12. 已知 是复数，

与均为实数．（1）求复数 ；

（2）复数 在复平面上对应的点在第一象限，求实数 的取值范围．

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13. 已知复数 z 

2  4mi 1 i

m  R, i 是虚数单位）.（1）若 z 是纯虚数，求 m 的值和 z ； （

（2）设 z 是 z 的共轭复数，复数 z  2z 在复平面上对应的点位于第三象限，求 m 的取值范围.

14.

是虚数单位，且

，且满足复数

．（Ⅰ）求 的值；

在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求 ．

（Ⅱ）设复数

15. 已知复数，（ ，i 是虚数单位）

（1）.若 z 是纯虚数，求 m 的值；（2）.设 是 z 的共轭复数， 在复平面上对应的点在第四象限，求 m 的取值范围．

16. 已知复数 z1  a  2i ， z2  3  4i ( a  R ， i 为虚数单位).

(1) 若 z1z2 是纯虚数，求 a .(2)若复数 z1z2 在复平面上对应的点在第二象限，且z1

 4 ，求实数 a 的取值范围.

217. 已知复数 z1  m  (m2

z  2m)i ， 2  1 m  3m 1i ，其中 m  R .



（1）若复数 z1 为实数，求 m 的取值范围；（2）求 z1  z2 的最小值.

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1．A

参考答案

【解析】

【分析】

根据复数的除法运算，可得 【详解】

1 i 1 3i

 ，即可求解. 2  i 5

2  i

1 i 1 i2  i 1 3i 由题意，根据复数的运算，可得   ，故选 A.

2  i 2  i 

5

【点睛】

本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算的法则是解答的关键，着

重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．D

【解析】

【分析】

先求出 并化简，从而确定复数 对应的点的坐标为( , z 【详解】

1

2 3

z) ，进而判断其位于第四象限. 2

2  i (2  i)(1 i) 1 3i 1 3

    i ，1 i 2 2 2 2

1 3

z ) ，位于第四象限， 所以复平面上复数 对应的点为( , 

2 2

因为 z  故选 D .

【点睛】

本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，属于基础题. 3．B 【解析】

【分析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式，即可求解，得到答案．

【详解】

由题意，复数 z 1  i 1  i ，得 z 

2

1 i 1 i (1 i)  i 1 1

     i ，

(1 i)2 2i 2i2 2 2

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 1  1  2 ．

∴| z |     

2  2  2 故选：B．

2 2

【点睛】

本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 4．D 【解析】

【分析】

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【详解】



2i 2i 1 i 1 i

由题意得： z 

1 i 1 i 1 i 

本题正确选项： D 【点睛】



 z  1 i



本题考查复数的运算、共轭复数的定义，属于基础题. 5．C

【解析】

试题分析：由已知，－2a＋i＝1－bi，根据复数相等的充要条件，有 a＝－，b＝－1 所以|a＋bi|＝

，选 C

考点：复数的代数运算，复数相等的充要条件，复数的模

6．B

得 a  1或2 ，且 a 1  0得a  1，  a  2 。

【解析】由

视频 7．A

【解析】

试题分析： ，因此，复数的虚部是，故选 A.

考点：1.复数的除法；2.复数的概念

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8．D

【解析】

试题解析：设

∴ ，解得

考点：本题考查复数运算及复数的概念

点评：解决本题的关键是正确计算复数，要掌握复数的相关概念

9．C

【解析】

2  i 2  i1 2i 5i 的共轭复数是i   i ,∴复数 2  i 1 2i 1 2i 1 2i 1 4 1 2i

故选：C

点睛：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．

10．（1）【解析】

；（2）；（3） .

本试题主要是考查了复数的概念的运用。先求解实数和虚数以及纯虚数的前提下各个参数 m 的取值问题。注意虚数虚部不为零，虚部为零是实数，实部为零，虚部不为零是纯虚数， 因此可知结论。 解：(1)当

(2) 当 (3) 当

，即，即，且

时，复数 z 是实数；……4 分 时，复数 z 是虚数；……8 分

时，即

时，复数 z 是纯虚数.…12 分

11．(1)m=2 或 m=-1;(2)m=3. 【解析】

【详解】

试题分析：（1）若使 是实数，只需（2）若使 是纯虚数，只需

，即可；

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试题解析：

（1)要使复数 z 为实数，需满足

.

解得 m＝－2 或－1.

即当 m＝－2 或－1 时，z 是实数． (2)要使复数 z 为纯虚数，需满足

.

解得 m＝3.

即当 m＝3 时，z 是纯虚数．

12．（Ⅰ） z=4-2i．（Ⅱ）2＜a＜6

【解析】第一问设 所以，由条件得，第二问由条件得：解：（1）设

； 且

所以， ； ---------------- 1 分 ---------------4 分

由条件得，

且 ， --------------- 6 分

所以 --------------------------------- 7 分

(2) ---------------------------------------------------------------------------------------- 10 分 由条件得：解得

， ------------------- 12 分

所以，所求实数 的取值范围是 -------------------------- 14 分

m  ， 13．（1）

2

【解析】

1

z  2

  m  ；（2） 2 2

1 1【分析】

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将复数 z 

2  4mi 1 i

化成 z  a  bi 形式。

（1） 若 z 是纯虚数，则 a  0, b  0 ，从而求出 m ，进而求模。

（2） 复数 z  2z 在复平面上对应的点位于第三象限，则横坐标小于零，纵坐标小于零，列

出不等式求 m 的取值范围。 【详解】

）（1）由题复数 z 

2  4mi

m  R, i 是虚数单位）， （

1 i

2  4mi 2  4mi 1+i 2  4mi2  4mi  2i

  1 2m  2m 1i 化简 z 2

1 i 1+i 1 i  1 i

11 2m=0

m  ，解得 若 z 是纯虚数，则

2 2m 1  0

此时 z  2i 所以 z  2 .

（2）由（1）可知 z  1 2m  2m 1i ，所以 z  1 2m  2m 1i

z  2z  2m 1 2m 1i

又因为复数 z  2z 在复平面上对应的点位于第三象限

1 12m 1  0

  m  ，即 所以

2m 1  0 2 2 

【点睛】

本题考查复数的基本运算及复数的几何意义，解题的关键是将复数化成 z  a  bi 形式，属

于基础题。

14．（Ⅰ） 【解析】

；（Ⅱ） .

【分析】

（Ⅰ）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求 a、b 的值；

（Ⅱ）利用复数代数形式的乘除运算，再由实部与虚部相等列式求得 y，则 z 可求．

【详解】

（Ⅰ）∵a+bi=∴

；

，

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（Ⅱ）∵z=-1+yi，∴（a+bi）z=（3-i）（-1+yi）=（-3+y）+（3y+1）i， 由题意，-3+y=3y+1，即 y=-2． ∴z=-1-2i．

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数相等的条件，是基础题．

15．（1）

（2）

【解析】

【分析】

先根据复数的运算，化简复数为

．

（1） 根据 z 是纯虚数定义，列出方程组，即可求解； （2） 根据共轭复数的定义，得

，再根据复数的表示，列出不等式组，

即可求解． 【详解】

由题意，可得复数

（1） 若 z 是纯虚数，则满足（2） 由题意，得

．

，解得 ，

，解得

．

；

又因为复数 在复平面上对应的点在第四象限，得【点睛】

本题主要考查了复数的运算，复数的分类，以及复数的表示和共轭复数的应用，其中解答中是复数的运算法则和复数的基本概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基 础题．

8  8 

a | 2  a   a=  16．（1） ；（2）  。

3 33

 

【解析】

试题分析：（1）先运用复数乘法计算 z1 • z2 ，再依据虚数的定义建立方程求解；（2）借助（1）

的计算结果，依据题设条件“复数 z1 • z2 在复平面上对应的点在第二象限”建立不等式组，

再结合条件“ z1  4 ”，求参数 a 的取值范围。

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解：（1）依据 z1  z2 =a  2i 3  4i   3a  8  4a  6i

根据题意 z  z 是纯虚数，故3a+8=0 ， 且4a  6  0 ， 故 a=  ；

1

2

8

3

（2）依 z  4  a2  4  16  a2  12  2 3  a  2 3 ，

1

根据题意 z1  z2 在复平面上对应的点在第二象限，可得

 3a  8  0 8

即a   

4a  6  0 3 



综上，实数 的取值范围为

8 

a | 2 3  a   3  



17．（1） m  2或m  0 ；（2） 2

【解析】

【分析】

（1） 由复数 z1 为实数，则m2  2m  0 ，即可求解 m 的取值范围；

z1  z2  (m 1)  (m 1)i ，由模的计算公式得 z  z  （2） 根据题意，求得

1

2

2m2  2 ，

即可求解，得到答案.

【详解】

（1）由复数 z1 为实数，则m2  2m  0 ，解得 m  2或m  0 ， 即复数 z1 为实数，求 m 的取值范围为 m  2或m  0 ； （2）因为 z1  z2  (m 1)  (m 1)i ，

所 以 z  z  1

2

(m 1)2  (m 1)2  2m2  2 ，

故 z1  z2 的最小值为 2 ，此时 m  0

【点睛】

本题主要考查了复数的分类，以及复数的模的计算，其中解答中熟记复数的分类，以及复数的模的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

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