利用空间向量求二面角的平面角

利用空间向量求二面角的平面角

󰀀一、复习引入： 1.二面角的概念：

二面角的定义.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为l，两个面分别为,的二面角记为

l.

2．二面角的平面角：

OB （1）过二面角的棱上的一点O分别在两个半平面内作棱的两条垂线OA,OB，则A叫做二面角l的平面角 （2）一个平面垂直于二面角l的棱l，且与两半平面交线分别为OA,OB,O为垂足，则AOB也是l的平面角 说明：（1）二面角的平面角范围是[0,180]；

（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直

引导：请学生归纳已学过的求二面角的大小的方法，教师作必要的补充与引导．明确本节课的课题．󰀀

二.求二面角的平面角:

【回顾复习定义法求二面角的平面角】例1：在棱长为1的正方体AC1中，求平面C1BD与底面ABCD所成二面角C1BDC的平面角正弦值大小.

解：过C1作C1OBD于点O，

DCOD1A1B1C1∵正方体AC1，∴CC1平面ABCD，

AB∴COC1为平面C1BD与平面ABCD所成二面角C1BDC的平面角， 可以求得：sinCOC16，所以，平面C1BD与底面ABCD所成 36 3二面角C1BDC的平面角的正弦值大小为

【回顾复习用三垂线法求二面角的平面角】例2．如图，AB平面BCD，BDCD，若

ABBC2BD，求二面角BACD的正弦值 分析：要求二面角的正弦值，首先要找到二面角的平面角 解：过D作DFBC于F，过D作DEAC于E，连结EF，则AC垂直于平面DEF， FED为二面角BACD的平面角， 又AB平面BCD，

∴ABDF，ABCD，

A ∴DF平面ABC， ∴DFEF

E

又∵ABCD，BDCD，

F C ∴CD平面ABD，∴CDAD， B 设BDa，则ABBC2a，

在RtBCD中，

D

SBCD113BCDFBDCD，∴DFa 2223aDF10152同理，RtACD中，DE， a， ∴sinFEDDE51522a22所以，二面角BACD的正弦值为

10． 5cos 让学生观察两平面的法向量的夹角与二面角的平面角之间的关系，引导学生用法向量的夹角解决。

 n2n2n1     n1 cos cosn1,n2cosn,nll12通过观察探究利用法向量解决： 例1：解：建立空间直角坐标系得：

DC1(0,1,1)，DB(1,1,0)，DC(0,1,0)

设平面C1BD的法向量n1(x1,y1,z1)，平面CBD的法向量n2(x2,y2,z2)，可得

n1(1,1,1)，n2(0,0,1)，cosn1,n2例2:解:建立空间直角坐标系得： AC(0,2,2),BA(0,0,2),AD(36，即二面角的平面角sin 3331,,2) 22 设平面BAC的法向量n1(x1,y1,z1)，平面DAC的法向量n2(x2,y2,z2)得：

n1(0,0,1)，n2(1,3315 ,)，cosn1,n233510． 5 所以，二面角BACD的正弦值为

三．归纳小结：本节课回忆巩固了求解二面角的一些方法，并且通过类比用空间向量知识求解二面角，我们感受到空间向量的巧妙之处，但要让同学们认识到法向量之间的夹角与二面角的平面角的异同之处。 四．作业