高考数学讲义微专题47多变量表达式范围——放缩消元法(含详细解析)

微专题47多变量表达式的范围——放缩消元法

一、基础知识：

在有些多变量表达式的题目中，所提供的条件为不等关系，则也可根据不等关系进行消元，从而将多变量表达式转化为一元表达式，便于求得最值 1、放缩法求最值的理论基础：

不等式的传递性：若fx,ygx,gxm，则fx,ym 2、常见的放缩消元手段：

（1）抓住题目中的不等关系，若含有两个变量间的不等关系，则可利用这个关系进行放缩消元

（2）配方法：通过利用“完全平方式非负”的特性，在式子中构造出完全平方式，然后令其等于0，达到消元的效果

（3）均值不等式：构造能使用均值不等式的条件，利用均值不等式达到消元的效果 （4）主元法：将多元表达式视为某个变量（即主元）的函数，剩下的变量视为常数，然后利用常规方法求得最值从而消去主元，达到消元的效果。 3、放缩消元过程中要注意的地方：

（1）在放缩过程中应注意所求最值与不等号方向的对应关系，例如：若求最小值，则对应的不等号为“”；若求最大值，则对应的不等号为“”。放缩的方向应与不等号的方向一致 （2）对进行放缩消元后的式子，要明确是求其最大值还是最小值。放缩法求最值的基础是不等式的传递性，所以在求最值时要满足其不等号的方向一致。若将关于x,y 的表达式fx,y进行放缩消去y，得到gx，例如fx,ygx，则下一步需要求出gx的最小值（记为m），即fx,ygxm，通过不等式的传递性即可得到fx,ym。同理，若放缩后得到：fx,ygx，则需要求出gx的最大值（记为M），即fx,ygxM，然后通过不等式的传递性得到fx,yM

（3）在放缩的过程中，要注意每次放缩时等号成立的条件能够同时成立，从而保证在不等式中等号能够一直传递下去

二、典型例题： 例1：设集合3b|1ab2中的最大元素与最小元素分别为M,m，则Mm的值a为____________

33b的最大值与最小值，先求b的最大值，只需a取最小，b取最aa333大：b25即M5 ，再求b的最小值，由1ab可知利用ba进行放

a1a33缩，从而消去b，可得：ba，再利用均值不等式可得：

aa思路：考虑分别求出

3333ba2a23，所以b的最小值m23，从而Mm523 aaaa答案：523 cb的最小值是_______ abc思路：因为abc，所以结合不等号的方向可将a消去，从而转化为关于b,c的表达式：

例2：已知A,B,C是任意三点，则yBCa,CAb,ABc，

cbcbcbb，然后可从出发，构造出与第一项互为倒数的性质abcbcbc2bcccb12b12bc1以便于利用均值不等式解出最值：，从而有：

c2c2c2c12bc11cb12，所以y2

2bc2c22abc21答案：2

2例3：设实数a,b,c满足abc1，则abc的最大值为__________

22a2b2思路：由abc可联想到ab与ab的关系，即ab2，所以

222a2b2abc2c，然后可利用a2b2c进一步放缩消元，得

2a2b2abc2c2cc，在利用c1即可得到最大值：2cc21，

2ab22ab2所以abc的最大值为21，其中等号成立条件为：abc2

c1c1

答案：21

小炼有话说：本题也可从ab入手，进行三角换元：22arcos22，由abc可得

brsinrc，然后根据不等号的方向进行连续放缩，消去,r,c 即可得到最值：

abcrcosrsinc2rsinc2rc2cc21

42例4：已知关于x的一元二次不等式axbxc0在实数集上恒成立，且ab，则

Tabc的最小值为（ ）

baA. 0 B. 1 C. 2 D. 3

思路：由不等式恒成立可得：b4ac0，结合所求表达式和不等号方向可知更易于消

2b2abb24a24abb24a去c，即c，所以T，对于该其次分式可两边同时除以4aba4ab4a2bb44b1aaa2，可得：T，令t由ab可知t1,从而将问题转化为

a4b1at24t4t24t4916t112，从而Ty3 求y的最小值。yt1t1t14答案：D

小炼有话说：本题的关键之处在于选择消去的元，如果选择a,b，则因分式中含a,b的项较多，消元会比较复杂，不利于求得最值。所以处理多变量表达式的最值时，选择消去合适的元是关键

例5（2010，四川）设abc0，则2a221110ac25c2的最小值为（ ） abaabA. 2 B. 4 C. 25 D. 5 思路：表达式含变量个数较多，且没有等量条件消元，所以考虑式子中是否存在不等关系来

减少变量个数，观察式子可发现存在完全平方式，即a210ac25c2a5c0，从而消去了c，得2a22111110ac25c2a2，然后根据分母特征：abaababaab1111a2abab，由均值abaababaabab,aaba2ab构造a2不等式得：aabab2111144a2abab4，验证等abaababaabaa5c号成立条件：211baabab2abaabc答案：D

小炼有话说：本题在处理a222，从而最小值为4 22511的最值时还可以从分式入手：abaab11abb1，从而对分母利用均值不等式：abaabababbab2114baba22aa4 消去，所以babb2abaaba242例6：已知正数x,y,z满足xyz1，则s2221z的最小值是_______ 2xyz思路：所求表达式涉及3个变量，首先确定主元，通过观察可发现分母中的2xy可与条件中的xy具备不等关系，而xy1z可用z表示，且不等号的方向与所求一致，故考虑利用不等式进行放缩消元，进而得到关于z的表达式求得最值

22解：xyz1xy1z，因为2xyxy

22222222222所以有

1112 222xyxy1z

s1z1z1z11 =22xyz1z2z1z1zzzz211z42211114 Qz s242411z426x14z26（等号成立条件：xy ） y4x2y2z211z2例7：设x,y,z0，且xyz2，则2xy3z的最大值是____________ 思路：本题虽然有3个变量，但可通过xyz2进行消元，观察所求式子项的次数可知消去y更方便，从而可得2xy3z2xx3zz2。然后可使用“主元法”进行处理，将x视为主元，即fx2xx3zz2但本题要注意x的取值范围与z相

22222222关，即x0,2z，通过配方（或求导）可知fx的最大值在边界处取得，即

fxmaxmax3z2z2,5z28z8，z0,2，从而达到消去x的效果，再求出gzmax3z2z2,5z28z8中的最大值即可

解：Qxyz2 y2xz

2x2y3z22x2x3z2z2

设fx2xx3zz2 Q22x,y,z0x0 y2xzx2z0x2z

Qf'x4x1 x1为fx的极小值点 4fxmaxmaxf0,f2z

f03z2z2,f2z22z3z25z28z8

2

fxmaxmax3z2z2,5z28z8 其中z0,2

设gzmax3z2z2,5z28z8 若3zz25z8z8223z2 2233zz2,z2,2gz 可得：gzmaxg212

5z28z8,z0,322x2y3z22x2x3z2z2max3z2z2,5z28z8g212

例8：已知函数fxf1e'x1f0x12x 2（1）求fx的解析式及单调区间 （2）若不等式fx解：（1）f'12xaxb恒成立，求a1b的最大值 2xf'1ex1f0x，代入x1可得：

f'1f'1f01f01

fxf1e'x1f'112f'1e xx，令x0可得：f0e2fxexx12x 2f'xexx1，可知f'00

Qf'x在R上单调递增 x,0时，f'x0 x0,时，f'x0

fx在,0单调递减，在0,单调递增

（2）恒成立的不等式为：ex设gxexaxb

xx1212xxaxb即exxaxb0 22gxmin0

g'xexa1，令g'x0，即解不等式exa1

若a10，可解得xlna1

gx在,lna1单调递减，在lna1,单调递增 gxminglna1a1lna1alna1b0

ba1a1lna1

a1ba1a1lna1

下面求a1a1lna1的最大值 令ta1，设htttlntt222221tlntt0 2h't1'111lnt1lnt 22令ht0，可解得0te

ht在0,e单调递增，在e,单调递减 1htmaxhee

2ea1b

2当a10时，可得a1b0xe 2当a10时，gxea1xb gx为增函数

且x时， a1x，gx，与gx0恒成立矛盾

综上所述：a1b的最大值为

e 2例9：已知函数fx,te2x2texxx22t21,tR,xR，求fx,t的最小值 思路：在多元表达式中不易进行变形消元，观察到变量t存在二次函数的结构，所以考虑利用“主元法”，将t视为自变量，x视为参数，通过配方，并利用完全平方数的特征消去t，从而得到关于x的函数，然后求得最小值即可。 解：fx,t2t2e2extx2xx2212xx2exex1 22exx12xx2x 2texe1

222

exx12x12t0 fx,texxex1 222设gx212x12exxex1 22g'xe2xxexxexexxex1

设hxexx，可知h'xex1

hx在,0单调递减，在0,单调递增 hxh010 exx0恒成立

令g'x0，即解不等式ex10x0

gx在,0单调递减，在0,单调递增 gxg03 23fx,tgx

23即fx,t的最小值为

2例10：已知函数fxx3xaaR

3（1）若fx在1,1上的最大值和最小值分别记为Ma,ma，求Mama （2）设bR，若fxb4对x1,1恒成立，求3ab的取值范围

2x33x3a,xa解：（1）fx3

x3x3a,xa23x3,xa'fx2

3x3,xa① 当a1时，可得xa

fxx33x3a fx在1,1单调递增 Maf143a,maf143a Mama8

3x3x3a,xa,1② 当a1,1时，fx3 x3x3a,x1,a23x3,xa,1'fx2可得：fx在1,a单调递减，在a,1单调递增

3x3,x1,aMamaxf1,f143a,23a,mafaa3

由f1f126a可知：

当a1,时，Maf1,Mama43aa3 313当a,1时，Maf1,Mama23aa

13③ 当a1时，xa fxx3x3a

3f'x3x23可得fx在1,1单调递减 Maf123a,maf123a Mama4

8,a1a33a4,1a13综上所述：Mama

1a33a2,a134,a13x3x3ab,xa（2）不妨设hxfxb3

x3x3ab,xa23x3,xahxfx2

3x3,xa''2fxb4由恒成立可知：hx4恒成立 2即2hx2对任意的x1,1恒成立

hxmax2且hxmin2即Mab2且mab2

① 当a1时，由（1）可知hxmaxh143ab,hxminh143ab

43ab23ab2 a,b无解 43ab23ab2② 当a1,，hxmaxh143ab,hxminhaa3b

31a3b23ab2a33a3，即a3a23ab6a2 43ab23ab26aa33a26a2

即a33a0aa230 0a另一方面：6a263'1 3120 32设taa3a2ta33a0恒成立

1ta在1,单调递增

3tat02 23ab0

3③当a,1，hxmaxh13ab2,hxminhaab

13a3b23ab2a33a3，即a3a23ab0 3ab223ab0a33a20解得：a2 1a,1

3设taa3a2ta33a0恒成立

3'21ta在,1单调递增

3281tat

273283ab0 27

④ 当a1时，hxmaxh13ab2,hxminh13ab2

3ab223ab0 3ab0 3ab223ab0综上所述：3ab2,0