2.6 菱形-存在性问题(专项练习) -2020-2021学年湘教版八年级数学下册

菱形的存在性问题，和平行四边形存在性问题一样，在平面直角坐标系中，仍然中考压轴题的重要组成部分内容之一，因此进入菱形学习后，引入菱形的存在性问题，充分利用数形结合的思想对学生的辅导，同样是十分必要的，本专题在进行平行四边形存在性问题训练习后，继续汇集了一些典型的，常考题供老师和学生参考使用，同样对进入四边形的学习和准备参加中考的考生来讲进行巩固练习十分重要。

一、填空题

1．在平面直角坐标系中，直线y(2)把矩形OABC沿直线DE对折，使点C落在点A处，折痕DE分别与OC、AB、AC相交于点D、E、F，求直线DE的解析式；

(3)若点M在直线DE上，平面内是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

3x6分别与x轴、y轴交于A、B两点，M是线段AB上的一个动点（点4A,B除外），在x轴上方存在点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形、则ON的长度为_________．

2．在平面直角坐标系中，直线y3x6分别与x轴、y轴交于A、B两点，M是线段AB上的一个动点（点43x+6分别与x轴、y轴交于点A，B．当点P在线段AB（点P不与A，B46．如图，在平面直角坐标系中，直线l:y顺时针旋转60得点C，解答下列问题:

3x23与x轴、y轴分别交于点A,B，将点B绕坐标原点O3，在x轴上方存在点N，使以O、则ON的长度为____________． A、M、N为顶点的四边形是菱形，B除外）B、3．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣

（1）求出点C的坐标，并判断点C是否在直线l上；

（2）若点P在x轴上，坐标平面内是否存在点Q，使得以P、C、Q、A为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

B，P，N为顶点的四边形为菱形．重合）上运动时，在坐标系内存在一点N，使得以O，请直接写出N点坐标_____．

二、解答题

4．在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC10，边OC6，把矩形OABC沿直线DE对折，使点A落在点C处，直线DE与OA、BC、AC的交点分别为D、E、F． (1)求证：CEF≌ADF； (2)求折痕DE的长；

(3)若点M在x轴上，平面内是否存在点N，使以D、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由

7．如图，在平面直角坐标系中，直线l1:y于点A．

11x6分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l2:yx交22

（1）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式．

（2）在（1）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四

5．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC24，ACO30． (1)求点B的坐标；

边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

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8．如图，在平面直角坐标系中，直线l1:y于点B(0,5)．

（1）求直线l2的函数解析式；

3x与直线l2:ykxb(k0)相交于点A(a,3)，直线l2与y轴交410．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y交于点A．

（1）求点A、B、C的坐标；

11x8分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l2：yx32（2）若M是线段OA上的点，且COM的面积为24，求直线CM的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，设E是射线CM上的点，在平面内是否存在点F，使以O、C、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

（2）将OAB沿直线l2翻折得到△CAB，使点O与点C重合，AC与x轴交于点D．求证：四边形AOBC是菱形；

（3）在直线BC下方是否存在点P，使BCP为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P坐标：若不存在，请说明理由．

11．如图1，在平面直角坐标系中，已知直线：l:ykxb与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线CD相交于点D，其中AC14，C6,0，D2,8．

9．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y交于点A.

（1）分别求出点A、B、C的坐标；

11x6分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l2：yx22（1）求直线l的函数表达式；

（2）如图2，点P为线段CD延长线上的一点，连接PB，当△PBD的面积为7时，将线段BP沿着y轴方向平移，使得点P落在直线AB上的P处，求点P到直线CD的距离；

（3）若点E为直线CD上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点F，使以点A、D、E、F为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内里否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

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12．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，OB=OC=2，AB=13. (1)求点D的坐标，直线CD的函数表达式； (2)已知点P是直线CD上一点，当点P满足S△PAO=

14．在直角梯形OABC中，CB//OA,COA90,CB3,OA6,BA35,分别以OA,OB边所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系.

3S△ABO时，求点P的坐标； 2（1）求点B的坐标；

（2）已知D,E分别为线段OC,OB上的点，OD5,OE2EB，直线DE交x轴于点F，过点E作EG⊥x轴于G，且EG：OG=2．求直线DE的解析式；

（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F（不与A、B重合），使以A、 C、 F、 M为顶点的四边形为菱形?若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由.

13．如图，四边形ABCO是菱形，以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．若点A的坐标为（﹣5，12），直线AC与y轴相交于点D，连接BD． （1）求菱形ABCO的边长； （2）求DC的值；

（3）直线BD上是否存在一点P使得△BCP的面积与△BCA的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

15．如图，四边形 ABCO 是菱形，以点 O 为坐标原点，OC 所在直线为x轴建立平面直角坐标系.若点 A 的坐标为(-5，12)，直线 AC、边 AB 与y轴的交点分别是点 D 与点 E，连接 BD． (1)求菱形 ABCO 的边长； (2)求 BD 所在直线的解析式；

(3)直线 AC 上是否存在一点 P 使得PBD与EBD的面积相等?若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.

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18．在平面直角坐标系中，ABCD的边AB在x轴上，点A2,0，线段AB8，线段AD6，且BAD60，

16．如图1，在平面直角坐标系中，直线L2：y11x6与L1：yx交于点A，分别与x轴、y轴交于点22AD与y轴的交点为E，连接BE．

（1）如图1，在线段BE上有两个动点G、K（G在K上方），且KG3，点F为BC中点，点P为线段CD上一动点，当FGGKKP的值最小时，求出P的坐标及AKG的面积．

B、C．

（1）分别求出点A、B、C的坐标；

（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式； （3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点．

①如图2，过点P作PQ//OC，且使四边形OCPQ为菱形，请直接写出点Q的坐标；

②在平面内是否存在其它点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

x（2）ABE沿x轴平移，当点E平移到BC边上时，平移后的A1B1E1，在轴上一动点M，在平面直角坐标

系内有一动点N，使点B1,E1,M,N形成的四边形为菱形，若存在直接写出点N的坐标，若不存在说明理由．

19．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB． （1）求A、B的坐标．

（2）求证：射线AO是∠BAC的平分线．

17．已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D． （1）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标．

（2）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，是否存在点B′，使得四边形BCB′D是菱形？若存在，请说明理由并求出菱形的边长；若不存在，请说明理由．

（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由．

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20．综合与探究 问题情境

在综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中的旋转问题”．如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O0,0，点A5,0，点B0,3． 操作发现

以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． （1）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标； 继续探究

（2）如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H． ①求证ADBAOB； ②求点H的坐标． 拓展探究

（3）如图①，点M是x轴上任意一点，点N是平面内任意一点，是否存在点N使以A、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

22．在平面直角坐标系中，直线l1：y

1x4分别与x轴、y轴交于点A、点B，且与直线l2：yx于点C． 2(Ⅰ)如图①，求出B、C两点的坐标；

(Ⅱ)若D是线段OC上的点，且BOD的面积为4，求直线BD的函数解析式．

(Ⅲ)如图②，在(Ⅱ)的条件下，设P是射线BD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、B、P、Q为顶点

的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

23．如图，在平面直角坐标系中，直线𝑦=−4𝑥+𝑏分别与𝑥轴，𝑦轴交于点𝐴，𝐵，且点𝐴的坐标为(4,0)，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形．

（1）填空：𝑏=__________． （2）求点𝐷的坐标．

3

21．如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋4交x轴于点A，直线y＝﹣交于点C．

（1）求证：△ABC是直角三角形．

1x＋2交x轴于点B，两直线2（3）点𝑀是线段𝐴𝐵上的一个动点（点𝐴、𝐵除外），试探索在𝑥轴上方是否存在另一个点𝑁，使得以𝑂、𝐵、𝑀、𝑁为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由．若存在，请求出点𝑁的坐标．

（2）平面直角坐标系内是否存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

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24．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=12，∠ACO=30°. （1）求B、C两点的坐标；

（2）过点G（0,-6）作GF⊥AC，垂足为F，直线GF分别交AB、OC于点E、D，求直线DE的解析式； （3）在⑵的条件下，若点M在直线DE上，平面内是否存在点P，使以O、F、M、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

26．如图①，在平面直角坐标系中，直线l1：y11x6分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l2：yx22交于点A，以线段AC为边在直线l1的下方作正方形ACDE，此时点D恰好落在x轴上． （1）求出A,B,C三点的坐标． （2）求直线CD的函数表达式．

（3）在（2）的条件下，点P是射线CD上的一个动点，在平面内是否存在点Q，使得以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

0)、交y轴于点B， 25．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y3xb交x轴于点A(4，（1）求直线l的函数表达式； （2）设点P是y轴上的一点

①在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由．

②若C是线段OA的中点，点D与点C关于y轴对称，点M在直线l上，当CPM为等边三角形时，求直线DM的函数表达式.

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